高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法（2）教学设计 北师大版选修2-2

高中数学第一章推理与证明1.3反证法（2）教学设计北师大版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图嗨，同学们！今天我们来继续探讨反证法这个数学利器。😊咱们已经了解了反证法的基本概念，现在要深入挖掘它的更多妙用。🔍通过本节课的学习，我希望你们能掌握反证法的应用技巧，并在解决数学问题时灵活运用。📚让我们一起走进数学的奥秘，感受推理与证明的乐趣吧！💪🏻核心素养目标分析1.数学抽象：理解反证法作为一种逻辑推理方法，提升抽象思维能力。

2.逻辑推理：通过反证法的运用，锻炼严谨的推理能力和逻辑判断能力。

3.数学建模：学会将实际问题转化为数学问题，并用反证法进行解决，提高建模能力。

4.实践应用：将反证法应用于实际问题，提高解决实际问题的能力。教学难点与重点1.教学重点，

①掌握反证法的基本原理和步骤，能够识别并构建反证法的逻辑框架。

②灵活运用反证法解决具体的数学问题，特别是在涉及不等式、几何证明等领域的应用。

2.教学难点，

①理解反证法中“否定结论”与“推出矛盾”之间的逻辑关系，确保推理过程的严密性。

②在复杂问题中识别合适的反证法切入点，并准确构造反例，以揭示矛盾。

③将反证法与其他数学方法（如综合法、分析法等）结合使用，提高解题的多样性和效率。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-2教材，特别是第一章“推理与证明”部分。

2.辅助材料：准备与反证法相关的图片、图表，以及展示反证法应用的视频资料，以增强直观理解。

3.教学工具：准备几何模型、图形软件等，帮助学生直观地构建反证法的逻辑框架。

4.教室布置：设置小组讨论区，方便学生进行合作学习，并确保教室环境安静、整洁。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：发布预习任务

-通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕反证法的基本原理，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何构建反例？反证法的适用场景有哪些？”

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：自主阅读预习资料

-按照预习要求，自主阅读预习资料，理解反证法的基本概念和步骤。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

教学方法/手段/资源：自主学习法

-利用在线平台和微信群，实现预习资源的共享和监控。

-通过预习问题的设置，引导学生主动探究反证法的原理。

2.课中强化技能

教师活动：导入新课

-通过数学故事或实际案例引出反证法的应用，如“如何证明一个图形的对称性？”

-讲解知识点：详细讲解反证法的逻辑步骤，结合具体例子说明如何构造反例。

学生活动：听讲并思考

-认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：通过小组讨论，尝试独立应用反证法解决简单问题。

教学方法/手段/资源：讲授法、实践活动法、合作学习法

-通过讲授法，帮助学生理解反证法的理论基础。

-通过实践活动，如角色扮演，让学生在模拟情境中练习反证法的应用。

-通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：布置作业

-根据本节课内容，布置涉及反证法的练习题，如“证明一个数列的通项公式”。

-提供拓展资源：推荐相关数学证明的书籍或网站，供学生深入探索。

学生活动：完成作业

-认真完成老师布置的课后作业，巩固反证法的应用。

-拓展学习：利用老师提供的资源，尝试解决更复杂的数学证明问题。

教学方法/手段/资源：自主学习法、反思总结法

-通过自主学习法，让学生在课后独立完成作业，巩固所学知识。

-通过反思总结法，引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。教学资源拓展1.拓展资源：

-数学证明的历史：介绍数学证明的发展历程，从古希腊的欧几里得《几何原本》到现代数学证明的理论研究，展示证明在数学发展中的重要性。

-逻辑学基础：探讨逻辑学的基本概念，如命题、推理、证明等，帮助学生从更广阔的视角理解反证法。

-数学悖论：介绍历史上著名的数学悖论，如“理发师悖论”，通过分析悖论的产生，加深学生对逻辑推理和证明局限性的认识。

-数学证明的应用：探讨反证法在数学各领域的应用，如数论、几何学、微积分等，展示证明在解决实际问题中的价值。

2.拓展建议：

-阅读数学史书籍，如《数学简史》、《数学之美》等，了解数学证明的发展历程和重要人物。

-学习逻辑学基础，如阅读《逻辑学导论》、《形式逻辑》等书籍，提高逻辑思维能力。

-通过网络平台，如“中国知网”、“万方数据”等，查找相关学术论文，了解数学证明领域的最新研究成果。

-参与数学竞赛，如全国高中数学联赛、数学建模竞赛等，将反证法应用于实际问题，提高解决数学问题的能力。

-加入数学俱乐部或社团，与志同道合的同学一起探讨数学问题，分享学习心得，拓宽知识面。

-观看数学讲座或公开课，如“数学之美”系列讲座、Coursera上的《数学思维》课程等，提升数学素养。

-亲手制作几何模型，如正方体、圆锥、圆柱等，直观感受几何图形的特点，加深对反证法的理解。

-撰写数学小论文，如对反证法在某一数学领域的应用进行深入研究，提升论文写作能力。

-参与数学教育志愿者活动，为需要帮助的学生提供辅导，分享自己的学习经验，回馈社会。板书设计①反证法基本概念

-反证法定义：通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原结论成立的方法。

-反证法步骤：提出反设、推导矛盾、得出结论。

②反证法应用实例

-实例一：证明一个数列的通项公式

-提出反设：假设数列的通项公式不成立。

-推导矛盾：通过计算或逻辑推理，展示反设导致的矛盾。

-得出结论：原数列的通项公式成立。

③反证法注意事项

-反设的合理性：反设应该是合理的，不能与已知条件相违背。

-推导过程的严谨性：推导过程要严密，避免逻辑错误。

-反例的构造：反例的构造要准确，能够有效揭示矛盾。

④反证法与其他证明方法的比较

-综合法：通过综合已知条件，逐步推导出结论。

-分析法：从结论出发，逐步分析得到前提条件。

-反证法：通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明结论成立。

⑤反证法在数学各领域的应用

-数论：证明质数存在性定理、同余定理等。

-几何学：证明几何图形的性质、证明几何定理等。

-微积分：证明极限、导数、积分等概念。课后作业1.作业题：

设数列{an}满足an>0，且an+1=(an+2)/(an+1)，证明：数列{an}单调递增。

答案：

假设存在正整数k，使得ak+1≤ak。

则有(ak+2)/(ak+1)≤ak。

化简得ak+2≤ak^2+ak。

移项得ak^2-ak+2≥0。

由于a_n>0，所以a_n^2-a_n+2>0。

这与原假设矛盾，因此原假设不成立。

所以数列{an}单调递增。

2.作业题：

证明：对于任意正整数n，有1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

答案：

假设对于某个正整数k，命题成立，即1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6。

那么对于k+1，有：

1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2。

化简得：

1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6。

这证明了对于任意正整数n，命题成立。

3.作业题：

证明：对于任意正整数n，有1+3+5+...+(2n-1)=n^2。

答案：

假设对于某个正整数k，命题成立，即1+3+5+...+(2k-1)=k^2。

那么对于k+1，有：

1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)。

化简得：

1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2。

这证明了对于任意正整数n，命题成立。

4.作业题：

证明：对于任意正整数n，有1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1)=1-1/n。

答案：

假设对于某个正整数k，命题成立，即1/2+1/6+1/12+...+1/k(k+1)=1-1/k。

那么对于k+1，有：

1/2+1/6+1/12+...+1/k(k+1)+1/(k+1)(k+2)=1-1/k+1/(k+1)(k+2)。

化简得：

1/2+1/6+1/12+...+1/k(k+1)+1/(k+1)(k+2)=1-1/(k+1)。

这证明了对于任意正整数n，命题成立。

5.作业题：

证明：对于任意正整数n，有sin(π/3)+sin(2π/3)+...+sin((2n-1)π/3)=n。

答案：

假设对于某个正整数k，命题成立，即sin(π/3)+sin(2π/3)+...+sin((2k-1)π/3)=k。

那么对于k+1，有：

sin(π