九年级数学下册 第二章 二次函数2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y=ax2+c的图象与性质教学设计 （新版）北师大版

九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质教学设计（新版）北师大版学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图嗨，亲爱的同学们，今天我们要一起走进数学的奇妙世界，探索二次函数的奥秘。这节课，我们将重点关注二次函数y=ax^2+c的图象与性质。我会通过生动的实例和互动游戏，让大家在轻松愉快的氛围中掌握知识。让我们一起感受数学的魅力，加油哦！🎉💪📚核心素养目标培养学生运用数学模型解决问题的能力，提升逻辑推理和数学抽象素养。通过探究二次函数y=ax^2+c的图象与性质，激发学生对数学规律的探索兴趣，培养其数学思维和创新能力。同时，强化几何直观和数学表达能力的培养，使学生能够在实际问题中灵活运用二次函数知识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入九年级之前，已经学习了二次函数的基本概念，包括二次函数的解析式、图像特征以及简单的性质。他们应该熟悉一次函数和二次函数的基本图象，以及如何通过解析式分析函数的增减性和对称性。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级学生对数学仍然保持着较高的兴趣，尤其是对图形和几何问题。他们的数学能力正在逐渐成熟，能够处理较为复杂的数学问题。学习风格上，有的学生偏好通过直观的图形来理解抽象的数学概念，有的学生则更倾向于通过代数方法进行推理。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习二次函数y=ax^2+c的图象与性质时，学生可能会遇到以下困难：

-理解二次函数的对称轴和顶点坐标与参数a、c的关系；

-将二次函数的性质与实际应用场景相结合，如求解实际问题中的最大值或最小值；

-在处理涉及多个变量和条件的复合函数问题时，如何准确分析函数图象的变化趋势。教学资源-软件资源：几何画板、MicrosoftExcel、在线图形计算器

-课程平台：学校内部数学学习平台、网络教学资源库

-信息化资源：二次函数图像生成软件、在线教育视频资源

-教学手段：实物模型、多媒体课件、白板、教具（如二次函数图象的模板纸）教学过程设计一、导入新课（5分钟）

目标：引起学生对二次函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们还记得我们在八年级学过的一次函数吗？今天，我们将一起走进二次函数的世界，看看它有哪些神奇之处。”

接着，展示一些生活中的二次函数实例，如抛物线运动轨迹、建筑物的屋顶形状等，让学生初步感受二次函数的魅力或特点。

最后，简短介绍二次函数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

二、二次函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解二次函数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解二次函数的定义，包括其主要组成元素或结构：自变量x、因变量y、二次项ax^2、一次项bx和常数项c。

详细介绍二次函数的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解二次函数的图像特点，如开口方向、顶点坐标等。

三、二次函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解二次函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的二次函数案例进行分析，如抛物线在物理学中的应用、二次函数在经济学中的最大利润问题等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解二次函数的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用二次函数解决实际问题。

四、学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与二次函数相关的主题进行深入讨论，如“二次函数在生活中的应用”、“二次函数图像的对称性”等。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

五、课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对二次函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

六、课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调二次函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括二次函数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调二次函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用二次函数。

七、布置课后作业（5分钟）

目标：让学生巩固所学知识，提高独立解决问题的能力。

过程：

布置课后作业：让学生完成以下任务：

1.选择一个生活中的二次函数实例，分析其图像特征和实际意义。

2.利用二次函数的知识，解决一个简单的实际问题，如求二次函数的最大值或最小值。

3.思考二次函数在其他学科中的应用，如物理学、工程学等，并撰写一篇短文进行阐述。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：

学生通过本节课的学习，能够熟练掌握二次函数y=ax^2+c的基本概念，包括二次项、一次项、常数项的定义，以及如何通过解析式分析函数的开口方向、顶点坐标和对称轴等特征。

2.技能提升：

学生在解决实际问题时，能够运用二次函数的知识，如求解二次函数的最大值或最小值，分析函数图像的变化趋势，以及将二次函数应用于几何问题中。

3.思维发展：

通过对二次函数图像与性质的学习，学生的逻辑推理能力和数学抽象能力得到提升。他们能够从具体的实例中抽象出数学模型，并运用这些模型解决实际问题。

4.合作能力：

在小组讨论环节，学生学会了如何与他人合作，共同解决问题。他们学会了倾听他人的观点，尊重不同的意见，并能够有效地表达自己的看法。

5.创新意识：

学生在案例分析中，不仅能够理解二次函数的常规应用，还能够提出创新性的想法，如如何改进二次函数模型以适应新的应用场景。

6.实践应用：

学生能够将二次函数的知识应用于实际生活，例如在物理学中分析抛物线运动，在经济学中分析成本与收益的关系，以及在工程学中设计曲线结构。

7.学习兴趣：

通过本节课的学习，学生对数学产生了更浓厚的兴趣，尤其是对函数图像和性质的学习，激发了他们进一步探索数学奥秘的欲望。

8.自主学习：

学生在课后作业的完成过程中，能够独立思考，自主解决问题，这有助于培养他们的自主学习能力和终身学习的意识。典型例题讲解1.例题：

已知二次函数y=ax^2+c的图象经过点A(-1,3)，且开口向上，求该函数的解析式。

解答：

因为函数开口向上，所以a>0。根据点A的坐标(-1,3)，我们可以得到：

3=a(-1)^2+c

3=a+c

由于a>0，我们可以任意选择一个正数作为a的值，例如a=1，然后解出c：

3=1+c

c=2

所以，二次函数的解析式为y=x^2+2。

2.例题：

二次函数y=ax^2+bx+c的图象顶点坐标为(2,-3)，且经过点(0,4)，求该函数的解析式。

解答：

二次函数的顶点坐标为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。根据顶点坐标(2,-3)，我们有：

h=2

k=-3

因此，解析式可以写为y=a(x-2)^2-3。现在，我们使用点(0,4)来解出a：

4=a(0-2)^2-3

4=4a-3

4a=7

a=7/4

所以，二次函数的解析式为y=(7/4)(x-2)^2-3。

3.例题：

二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴相交于点(-2,0)和(3,0)，求该函数的解析式。

解答：

因为二次函数与x轴相交，所以x=-2和x=3是函数的根。这意味着：

a(-2)^2+b(-2)+c=0

a(3)^2+b(3)+c=0

我们可以用这两个方程来解出a、b和c。首先，我们可以将这两个方程相减，消去c：

9a+3b+c-(4a-2b+c)=0

5a+5b=0

a+b=0

b=-a

现在，我们可以将b的表达式代入其中一个方程中解出a和c：

a(-2)^2-a(-2)+c=0

4a+2a+c=0

6a+c=0

c=-6a

选择a=1，得到b=-1和c=-6。所以，二次函数的解析式为y=x^2-x-6。

4.例题：

二次函数y=ax^2+bx+c的图象的对称轴是x=1，且函数的最大值是2，求该函数的解析式。

解答：

对称轴是x=1，意味着顶点的x坐标是1。因为函数的最大值是2，所以顶点的y坐标也是2。因此，函数的解析式可以写为：

y=a(x-1)^2+2

由于我们不知道a的具体值，我们可以选择一个简单的值，比如a=1，这样函数的解析式就是：

y=(x-1)^2+2

y=x^2-2x+1+2

y=x^2-2x+3

5.例题：

二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴相交于点(0,-4)，且在x=2时函数值为0，求该函数的解析式。

解答：

因为函数与y轴相交于点(0,-4)，所以c=-4。又因为函数在x=2时值为0，所以：

a(2)^2+b(2)-4=0

4a+2b-4=0

2a+b=2

我们可以选择a=1，那么b=0。所以，二次函数的解析式为：

y=x^2-4作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第XX页的练习题，包括填空题、选择题和解答题，以确保学生对二次函数y=ax^2+c的基本概念和性质有深入的理解。

2.选择两个生活中的实例，应用二次函数的知识进行分析，如物体的抛体运动、地形分析等，并撰写简短报告。

3.利用几何画板或Excel软件，绘制二次函数y=ax^2+c的图像，观察并记录不同a和c值对图像的影响。

作业反馈：

1.及时批改学生的作业，对于填空题和选择题，检查学生是否正确理解了二次函数的基本性质和图像特征。

2.对于解答题，评估学生是否能够正确应用二次函数的知识解决问题，如求解函数的最大值或最小值、确定函数的开口方向等。

3.在反馈中，指出学生在解题过程中存在的问题，如概念混淆、计算错误、逻辑不清等。

4.提供具体的改进建议，如对于概念混淆的学生，建议重新复习相关章节；对于计算错误的学生，强调仔细检查的重要性；对于逻辑不清的学生，鼓励他们多练习，提高解题的条理性。

5.对于完成报告的学生，评估其是否能够将二次函数的知识与实际生活相结合，以及报告的结构是否清晰、逻辑是否严密。

6.鼓励学生之间互相交流作业，通过小组讨论的方式，共同解决作业中的难题，提高团队合作能力。

7.定期组织作业展示，让学生分享自己的学习心得和解决方法，促进全班同学的学习进步。

8.对于表现优秀的学生，给予表扬和奖励，激发学生的学习积极性；对于进步显著的学生，给予肯定和鼓励，增强其学习信心。教学反思与改进回望这节课，我觉得自己在教学过程中有许多值得肯定的地方，也有一些需要改进的空间。

首先，我发现学生们对二次函数y=ax^2+c的图象与性质表现出浓厚的兴趣，尤其是在案例分析环节，他们的参与度和积极性都非常高。这让我感到欣慰，因为这说明我的教学方法在一定程度上激发了学生的学习热情。

然而，我也注意到一些问题。比如，在基础知识讲解环节，有些学生对于二次函数的开口方向、顶点坐标等概念理解不够深入，这在后续的案例分析中体现出来。这让我意识到，在基础知识讲解时，我需要更加注重学生的理解过程，而不仅仅是知识的传授。

1.与学生交流：我会与学生进行个别交流，了解他们对课程内容的理解程度，以及他们在学习过程中遇到的困难和问题。

2.观察课堂表现：我会仔细观察学生在课堂上的表现，包括他们的参与度、解决问题的能力以及合作交流的能力。

3.分析作业情况：我会仔细分析学生的作业，看看他们是否能够将所学知识应用到实际问题中，以及他们在解题过程中是否遇到了困难。

针对以上反思活动，我制定了以下改进措施：

1.优化基础知识讲解：在讲解基础知识时，我会更加注重学生的理解过程，通过实例和直观的演示来帮助学生理解抽象的概念