广州市越秀区2024年八年级《数学》上学期期末试题与参考答案

6/24广州市越秀区2024年八年级《数学》上学期期末试题与参考答案一、选择题本大题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．【解答】解：由图可知，选项A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足的条件是（）A．x＞﹣2 B．x≠﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠2【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2，故选：B．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．3．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，则ab+1的值为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得：a＝﹣2，b＝﹣1，故ab+1＝（﹣2）0＝1．故选：C．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．（x+y）2＝x2+y2 C．3x（x﹣y）＝3x2﹣y D．（a3）2＝a6【分析】根据幂的乘除法则，单项式乘单项式法则，多项式乘多项式法则一一计算判断即可．【解答】解：A、a6÷a2＝a4，本选项错误，不符合题意；B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，本选项错误，不符合题意；C、3x（x﹣y）＝3x2﹣2xy，本选项错误，不符合题意；D、（a3）2＝a6，本选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查整式是混合运算，解题的关键是掌握去括号法则，合并同类项法则．5．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（）A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷一个外角的度数计算即可．【解答】解：180°﹣144°＝36°，360°÷36°＝10，故这个多边形的边数是10．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．6．（3分）如果把分式中的x，y都变为原来的2倍，那么分式的值（）A．变为原来的2倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的【分析】根据分式的性质计算即可．【解答】解：＝＝×，即分式的值变为原来的，故选：C．【点评】本题考查分式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．7．（3分）一个正方形按如图所示的方式分割成若干个正方形和长方形，据此，下列四个等式中正确的是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝2a2+2b2+2c2 C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+bc+ac D．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac【分析】从“整体”和“部分”分别用代数式表示图中的面积即可．【解答】解：图中是边长为a+b+c，因此面积为（a+b+c）2，图2中9个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故选：D．8．（3分）如图，已知点D在△ABC的边BC上，以AD为边作△ADE，若BC＝DE，∠1＝∠2，则添加条件（），使得△ABC≌△ADE．A．AB＝AD B．AC＝AE C．∠2＝∠3 D．AC⊥DE【分析】由全等三角形的判定，即可判断．【解答】解：因为∠1＝∠2，所以∠BAC＝∠DAE，A、AB＝AD，∠BAC和∠DAE分别是BC和DE的对边，不能判定△ABC≌△ADE，故A不符合题意；B、AC＝AE，∠BAC和∠DAE分别是BC和DE的对边，不能判定△ABC≌△ADE，故B不符合题意；C、由∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，得到∠E＝∠C，由AAS判定△ABC≌△ADE，故C符合题意；D、由AC⊥DE，不能推出△ABC和△ADE的角的关系，不能判定△ABC≌△ADE，故D不符合题意．故选：C．9．（3分）如图，∠AOB＝120°，以O为圆心，任意长为半径作弧交OA于点M，OB于点N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接OP，过P作PF⊥OA于点F，PE∥OA交OB于点E．若PF＝a，OF＝b，那么△EOP的面积为（）A． B．ab C．a+b D．2ab【分析】如图，过点O作OH⊥PE于点H．证明PE＝PO＝2OF＝2b，OH＝PF＝a，可得结论．【解答】解：如图，过点O作OH⊥PE于点H．由作图可知OP平分∠AOB，因为∠AOB＝120°，所以∠POF＝∠AOB＝60°，因为PF⊥OA，所以∠PFO＝90°，所以∠OPF＝30°，所以OP＝2OF＝2b，因为OH⊥PE，PE∥OA，所以OH⊥OA，所以∠OHP＝∠HOF＝∠OFP＝90°，所以四边形OFPH是矩形，所以OH＝PF＝a，因为PE∥OA，所以∠EPO＝∠POA＝∠PEO，所以PE＝PO＝2b，所以S△POE＝•PE•OH＝×2b×a＝ab．故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC，则∠PFC＝（）A．100° B．90° C．80° D．60°【分析】延长AP交BC于点G，连接BP，由AB＝AC，∠BAC＝50°，求得∠ACB＝∠ABC＝65°，则∠PAC＝∠PAB＝∠BAC＝25°，由AG垂直平分BC，得PB＝PC，由PD垂直平分AC，得PA＝PC，则∠PCA＝∠PAC＝25°，所以∠PBF＝∠PCB＝40°，由折叠得PF＝BF，则∠BPF＝∠PBF＝40°，所以∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝80°，于是得到问题的答案．【解答】解：延长AP交BC于点G，连接BP，因为AB＝AC，∠BAC＝50°，所以∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣50°）＝65°，因为AP平分∠BAC，所以∠PAC＝∠PAB＝∠BAC＝×50°＝25°，BG＝CG，所以AG垂直平分BC，所以PB＝PC，所以PD⊥AC于点D，点D是AC的中点，所以PD垂直平分AC，所以PA＝PC，所以∠PCA＝∠PAC＝25°，所以∠PBF＝∠PCB＝∠ACB﹣∠PCA＝65°﹣25°＝40°，由折叠得PF＝BF，所以∠BPF＝∠PBF＝40°，所以∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝40°+40°＝80°，故选：C．二、填空题本大题共6小题，每小题3分，满分18分。11．（3分）分式方程＝的解是x＝5．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣2＝x+3，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故答案为：x＝5【点评】此题考查了解分式方程，利用转化的思想，解分式方程注意要检验．12．（3分）前不久“未发先售”的华为手机Mate60Pro在全球引发拆解热潮，9月4日，著名半导体行业观察机构Techlnsights发布的拆解报告显示，华为Mate60Pro搭载的华为麒麟9000S芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程.7纳米也就是0.000000007米，用科学记数法表示0.000000007为7×10﹣9．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9，故答案为：7×10﹣9．【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD，∠BAD＝30°，则∠ADC的度数为105°．【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数即可解答．【解答】解：因为AB＝AD，所以∠ABD＝∠ADB，因为∠BAD＝30°，所以∠ABD＝∠ADB＝75°，所以∠ADC＝180°﹣∠ADB＝105°．故答案为：105°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．14．（3分）已知a+b＝7，ab＝2，则a2+b2＝45．【分析】把已知条件a+b＝7利用完全平方公式两边平方，然后再把ab＝2代入即可求解．【解答】解：因为a+b＝7，ab＝2，所以a2+2ab+b2＝49，即a2+2×2+b2＝49，解得a2+b2＝49﹣4＝45．故答案为：45．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（3分）已知△ABC的三边分别为3，a﹣2，7，且a为偶数，则代数式4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）的值为﹣32或﹣40．【分析】根据“三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”和“a为偶数”求得a的值；然后代入求值即可．【解答】解：根据题意，得7﹣3＜a﹣2＜7+3，解得6＜a＜12．又因为a是偶数，所以a的值为8或10．当a＝8时，4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）＝﹣4a＝﹣4×8＝﹣32．当a＝10时，4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）＝﹣4a＝﹣4×10＝﹣40．综上所述，代数式4a2b﹣3•（﹣a﹣1b3）的值为﹣32或﹣40．故答案为：﹣32或﹣40．【点评】此题考查三角形三边关系，关键是根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边解答．16．（3分）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是②③④．【分析】由角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质可得出答案．【解答】解：因为AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，所以∠EAD＝∠CAD，∠ACD＝∠FCD，因为EF∥AC，所以∠EDA＝∠CAD，∠FDC＝∠ACD，所以∠EAD＝∠EDA，∠FDC＝∠FCD，所以AE＝DE，DF＝CF，所以AE+CF＝ED+DF＝EF，故②正确；因为AB≠AC，EF∥AC，所以AE≠CF，所以ED≠DF，故①错误；因为AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，所以BD平分∠ABC，故③正确；所以∠ABD＝∠CBD，所以∠ADB＝∠EAD﹣∠ABD因为∠ACD+∠FCD＝∠ABC+∠BAC，所以2∠FCD＝2∠ABD+180°﹣2∠EAD，所以∠CDF＝∠ABD+90°﹣∠EAD，所以∠ADB+∠CDF＝∠EAD﹣∠ABD+∠ABD+90°﹣∠EAD＝90°，故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤.）17．（4分）分解因式：a3﹣4a2+4a．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（4分）如图，点D是AB上的一点，DF交AC于点E，点E是DF的中点，FC∥AB．求证：△ADE≌△CFE．【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．【解答】证明：因为FC∥AB，所以∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE与△CFE中，，所以△ADE≌△CFE（AAS）．【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS，ASA．19．（6分）已知：，①化简A；②若x2﹣2x﹣4＝0．求A的值．【分析】①先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法即可；②求出x2﹣2x＝4，再代入求出答案即可．【解答】解：①＝÷＝÷＝•＝＝；②因为x2﹣2x﹣4＝0，所以x2﹣2x＝4，所以原式＝＝1．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC各顶点坐标分别为A（1，4），B（2，1），C（3，3）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；（2）在y轴上求作一点P，使得点P到点A，B的距离之和最小．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接A'B，交y轴于点P，则点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）如图，连接A'B，交y轴于点P，连接AP，此时AP+BP＝A'P+BP＝A'B，为最小值，即点P到点A，B的距离之和最小，则点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．21．（8分）如图，△ABC，△ADE都是等边三角形．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：BD+CD＝AD．【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠BAD＝∠CAE＝60°﹣∠CAD，即可根据“SAS”证明△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质得BD＝CE，所以BD+CD＝CE+CD＝DE＝AD．【解答】证明：（1）因为△ABC，△ADE都是等边三角形，所以AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，所以∠BAD＝∠CAE＝60°﹣∠CAD，在△ABD和△ACE中，，所以△ABD≌△ACE（SAS）．（2）因为△ABD≌△ACE，所以BD＝CE，所以BD+CD＝CE+CD＝DE，因为AD＝DE，所以BD+CD＝AD．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠BAD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE是解题的关键．22．（10分）一辆汽车开往距离出发地120km的目的地，出发后第一小时内按照原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶．设原计划的行驶速度为xkm/h．（1）原计划到达目的地所用的时间为h，实际用时为（1+）h；（2）若实际比原计划提前20min到达，求这辆汽车原计划到达目的地所用的时间．【分析】（1）由路程÷速度＝时间，即可得出结论；（2）根据实际比原计划提前20min到达，列出分式方程，解方程，即可解决问题．【解答】解：（1）由题意得：原计划行驶的时间为h，实际用时为（1+）h，故答案为：，（1+）；（2）由题意得：1++＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，所以＝＝2，答：这辆汽车原计划到达目的地所用的时间为2h．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（10分）如图，AB＝AC，D为BA延长线上一点．（1）尺规作图：过D作DE⊥BC，垂足为E，DE与AC相交于点F．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）求证：AD＝AF；（3）若F为AC的中点，求证：DF＝2EF．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明∠ADE＝∠AFD，可得结论；（3）证明HD＝HF，FH＝EF即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：因为DE⊥CB所以∠BED＝∠CED＝90°，所以∠B+∠BDE＝90°，∠C+∠CFE＝90°，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，所以∠BDE＝∠CFE，因为∠AFD＝∠CFE，所以∠ADE＝∠AFD，所以AD＝AF．（3）证明：过点A作AH⊥DF于点H，因为AD＝AF，所以HF＝HD，因为∠AHF＝∠CEF＝90°，∠AFH＝∠CFE，AF＝FC，所以△AHF≌△CEF（AAS），所以EF＝FH，所以DE＝2EF．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出图形，寻找全等三角形解决问题．24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∠ABD＝30°，M为BD上的动点，连结AM，MC．（1）当AM⊥BD时，求AM；（2）当AB＝BM时，求证：AM＝CM；（3）求BM+2CM的最小值．【分析】（1）由直角三角形的性质可求出答案；（2）过点A作AE⊥BM于点E，MF⊥AC于点F，证出∠EAM＝∠DAM，证明△AEM≌△AFM（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝AF，证出AF＝CF，则可得出结论；（3）过点M作MG⊥AB于G，由直角三角形的性质得出MG＝BM，BM+2CM＝2（MG+CM），则可求出答案．【解答】（1）证明：因为AM⊥BD，所以∠AMB＝90°，因为∠ABM＝30°，所以AM＝AB＝2；（2）证明：过点A作AE⊥BM于点E，MF⊥AC于点F，因为AB＝BM，∠ABD＝30°，所以∠BAM＝∠BMA＝75°，AE＝AB，所以∠EAM＝15°，因为∠BAD＝90°，所以∠DAM＝90°﹣75°＝15°，所以∠EAM＝∠DAM，又因为∠AEM＝∠AFM，AM＝AM，所以△AEM≌△AFM（AAS），所以AE＝AF，因为AB＝AC，所以AF＝AC，所以AF＝CF，又因为MF⊥AC，所以AM＝CM；（3）解：过点M作MG⊥AB于G，因为MG⊥AB，∠ABD＝30°，所以MG＝BM，所以BM+2CM＝2（BM+CM）＝2（MG+CM），所以当M，A，C三点共线时，即CM+MG＝AC，BM+2CM有最小值．所以BM+2CM＝2AC＝2×4＝8．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．25．（12分）如图1，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，连结BD，点C关于BD的对称点为点E，连结BE．（1）若AB是∠DBE的平分线，求∠ABD的度数；（2）如图2，连结EA并延长交BD的延长线于点F，①求∠F的度数；②探究EA，AF和BF三者之间满足的等量关系，并说明理由．【分析】（1）设∠EBA＝∠ABD＝α，根据点C与点E关于BD对称得出∠C