北师大版九年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)

北师大版九年级下册数学

全册知识点梳理及重点题型巩固练习

锐角三角函数一知识讲解

【学习目标】

1.结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；

3.理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.

【要点梳理】

要点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△八BC中，ZC=90r,/A所对的边BC记为a,叫做/A的对边，也叫做/B的

邻边，/B所对的边AC记为b,叫做/B的对边，也是/A的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做

斜边.

锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA,即

乙如勺对边

sinA=

"Mir

,“、口.NA的邻边b

锐角A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦记作cosA,即COSA=--­：----=-

斜边c

/丽勺对边a

锐角A的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA,即tanA-

乙的勺邻边~b

N喇邻边

同理sin3=/砒对边2；…

斜边斜边c勺邻边a

要点诠释：

⑴正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条

线段的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.

(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成Sin•4,COS•Ay

tan•?!,不能理解成sin与NA,cos与NA,tan与/A的乘积.书写时习惯上省略/A的

角的记号“N”，但对三个大写字母表示成的角(如NAEF),其正切应写成“tan/AEF"，不能写成

“tanAEF"；另外，(sin彳尸、(cos/)'、(tan用‘常写成$1/4、cos。、tan，4

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.

(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<ZA<90°间变化时，OvsmXvl,0<COSi4<l,tanA>0.

要点二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30’、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:

锐角仪sinacosatana

£

30。也坦

223

<2

45°1

60。迫

22

要点诠释：

⑴通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道

了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若sm6=亚，则锐角0=45°.

2

⑵仔细研究表中数值的规律会发现:

sm3b、sin4'、60*的值依次为,而cos3CT、cos45*'cos60•的值的

222

顺序正好相反，tan30*、tan45°、tan60°的值依次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）.

要点三、锐角三角函数之间的关系

如图所示，在RtZ\ABC中，/C=9O°.

⑴互余关系：sin=cos（90*-ZJ4）=cos,cosA=sin（90*-£Ji）=sin5;

⑵平方关系：$in2i4+cos2J4=1»

(3)倒数关系：tan月•tan(9T-乙4)=1或tan/=---;

tan3

⑷商数关系：tan吆

cosA

要点诠释：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算

时巧用这些关系式可使运算简便.

【典型例题】

类型一、锐角三角函数值的求解策略

小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则/ABC的

AB的长，根据正切函数的定义，可得答案.

【答案】D.

【解析】

解：如图：

由勾股定理，得

AC=V2,AB=2&,BC=V10,

/.△ABC为直角三角形，

工，

AB2

故选：D.

【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数.

举一反三：

【变式】在RtAABC中，zC=90°,若a=3,t)=4,则c=____,

sinA=____,cosA=____,sinB=____,cosB=____.

B

33

44

【答案】c=5,sinA=-,AN-------------------'CcosA=-,sinB=-

Jh--------------------55

3

cosDB=-.

5

类型二、特殊角的三角函数值的计算

&

▼2.求下列各灰的值：

（1）（2015•茂名校级一模）6tan230°-英sin60"-2sin45";

（2）（2015•乐陵市模拟）V2sin600-4cos230"+sin45*tan60；

（3）（2015•宝山区一模）s【n?0_+tan60'_________2_______

COS26002cos450+tan600

【答案与解析】_「，

解：（1）原式二6X（旁）2-«X,-2X¥2

?

工日

2__

（2）原式二血乂专一4义（喙2+*乂近

二近—3+近

22

=76-3；

V3

2丘2

（3）原式=

(1)2V2+73

2

2(V3"V2)

=273+73-

(V2+V3)(V3-V2)

二375-2加+2亚

二6+2忘.

【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值,

再进行化简.

举一反三：

【变式】在RtAABC中，zC=90°,若/A=45°,则1B=

sinA=cosA=,sinB=cosB=

【答案】止45。，sinA邛,cosA=克，sinB」也,cosB邛

22

类型三、锐角三角函数之间的关系

.（2015•河北模拟）已知AABC中的/A与/B满足（1-tanA）2+|sinB-

•1）试判断AABC的形状.

（2）求（1+sinA）2-2,>/cosB-（3+tanC）"的值.

【答案与解析】

解:(1)•••11-tanA)2+|sinB-2^|=O,

.".tanA=l,sinB=近，

2

ZA=45°,ZB=60°,ZC=1800-45"-60"=75°,

」.△ABC是锐角三角形；

(2).../A=45°,/B=60',ZC=180°-45=-60c=75°,

.•・原式二（1

—,1—•

2

【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.

类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用

4.如图所示，AB是0O的直径，且AB=10,CD是0O的弦，AD与BC相交于点P、

若弦CD=6,试求cos/APC的值.

【答案与解析】

连结AC,-/AB是0O的直径，ZACP=905,

又•「ZB=ZD,ZPAB=ZPCD,△PCDC^APAB,

PCCD

~PA~~AB

又/CD=6,AB=10,

在RtAPAC中,

pcCD=±=3

cos/.APC=----

PAAB-TO-5

【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似

三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值.

锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB是(DO的直径得/ACB=90°,

COSZAPC=——，PC、PA均为未知，而已知CD=6,AB=10,可考虑利用APCD^APAB得一=——.

PAPAAB

▼5.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确

定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们

定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1①，在AABC中，AB=AC,顶角A的

正对•记作sadA,这时sadA=^^^二生.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定

腰AB

的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

(l)sad60=.

(2)对于0VAV180。，NA的正对值sadA的取值范围是________

图1

【答案与解析】

(1)1；(2)0<sadA<2;

(3)如图2所示，延长AC到D,使AD=AB,连接BD.

图2

BC3

设AD=AB=5a,由sinA=-----=一得BC=3a,

AB5

AC=J(5a)2—Ra)?=4a,

CD=5a-4a=a,BD=+(3。y=>/10«,

【总结升华】⑴将60,角放在等腰三角形中，底边和腰相等,故sadA=1;(2)在图①中设想AB=AC的

长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当NA接近工时，BC接近0,则wlA接近0但永远

不会等于0,故sadAA),当/A接近180,时，BC接近2AB,则$adA接近2但小于2,故sadA

<2;(3)将/A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解.

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

锐角三角函数一巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.(2016•乐山)如图，在RtZ\ABC中，NBAC=90',AD_LBC于点D,则下列结论不正确的是()

A-sinB=—B.sinB=-c*sinB=—D,sinB=—

2.(2015•山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则NABC的正切值

B.过1

5

3.已知锐角a满足sin25°=cosa,则a=(

A.25°B.55C.65°D.75°

4.如图所示，直径为10的OA经过点C(0,5)和点0(0,0),B是y轴右侧OA优弧上一点，则/OBC

的余弦值为()

5.如图，在AABC中，ZA=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是（）

5A/7V3V2TV21

A.-----B.----C.-----D.-----

145714

6.在Rt^ABC中，ZC=90o,若将各边长度都扩大为原来的2倍，则/A的正弦值（）

A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.不变

7.如图所示是教学用具直角三角板，边AC=30cm,ZC=90°,tan/BAC=-y,则边BC的长为()

A.30\/3cmB.20\/3cmC.1OA/3cmD.5\/3cm

若AC=y/5

8.如图所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD1AB,垂足为DBC=2,则sin/ACD

的值为（)

如2石2

A.D・-----------1D.-

33c23

二、填空题

9.（2016・临夏州）如图，点A（3,匚）在第一象限，。A与x轴所夹的锐角为a,tana二0，则t的值是

2

10.用不等号连接下面的式子.

(l)cos50Qcos2QL(2)tanl8°tan21

11.在AABC中，若SinA史+(@cosB=0,/A、/B都是锐角，则/C的度数为

22

12.如图所示，AABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=.

13.已知：正方形ABCD的边长为2,点P是直线CD上一点，若DP=1,则tan/BPC的值是

14.如果方程/-4工+3=0的两个根分别是RtZsABC的两条边，△ABC的最小角为A,那么tanA的

值为.

15.如图所示，AABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2,0),点B的坐标是(0,2),直线AC的解析式

为了=—X—1,则tanA的值是_________.

16.(2014•高港区二模)若a为锐角，且cosCl二工£三，则m的取值范围是.

三、解答题

17.如图所示，^ABC中，D为AB的中点，DC1AC,且/BCD=30'，

求/CDA的正弦值、余弦值和正切值.

18.计算下列各式的值.

⑴（2015•普陀区一模）4sin30-近cos45+加tan60；

（2）（2015•常州模拟）在in45°+tan450-2cos60a.

（3）（2015•奉贤区一模）。.%—冬）s60。.

2sin60-tan452

19.如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC,DF1AE,垂足为F,连接DE.

(1)求证：AB=DF;

⑵若AD=10,AB=6,求tan/EDF的值.

20.如图所示，已知QO的半径为2,弦BC的长为26，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点

除外).

(1)求/BAC的度数；

(2)求△ABC面积的最大值.

(参考数据：sin600二等，cos30°=^y,tan30°=^).

o

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】在RtAABC中，ZBAC=90°,sinB二柜,

BC

AD1BC,

/.inB=—,

sAB

sinB=sinZD/\C=—,

AC

综上，只有C不正确

故选：C.

2.【答案】D;

【解析】如图：由勾股定理得，_

AC=V2,AB=2比，BC=V10,

「.△ABC为直角三角形，

AB2

故选：D.

3.【答案】C；

【解析】由互余角的三角函数关系,cosa=sin(90°-a),/.sin250-sin(900-a),

即90,-a=25°,/.a=65".

4.【答案】C;

【解析】设OA交x轴于另一点D,连接CD,根据已知可以得到CC-5,CD-10,

6>£)=>/102-52=573,vZOBC=ZODC,

,2。/小心「—八/cn「_°D_58丛

..cosNOBC=cos40DC=----=------=—.

CD102

5.【答案】D;

【解析】如图所示，过点C作CD1AB于D,1/ZBAC=120J,：.ZCAD=60°,

又AC=2,/.AD=1,CD=V5,

22

BD=BA+AD=5,在RtABCD中,BC=VBD+CD=>/28=2>/7,

口CD6向

sinB=----=-f==------.

BC2>/714

6.【答案】D;

【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的

比值或角的大小有关.

7.【答案】C；

BCGJ7Q

【解析】由tan/8/AC^C=—AC=—X30=10V3

AC333

8.【答案】A;

【解析】•「AB=ylAC2^-BC2=3,sinZACD=sinZB=—=—

AB3

二、填空题

9.【答案】1.

2

【解析】过点A作AB_Lx轴于B,

二•点A(3,t)在第一象限，

.-1AB=t,OB=3,

又q...toannf¥a_--A--B-_--t--_--3,

OB32

•.•I—9—.

2

故答案为：1.

2

10.【答案】⑴v；⑵v；

【解析】当a为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，，cos50u<cos200；

当a为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，tanl80<tan21°.

1：.【答案】105

【解析】si"-也一cosB=0,

2

sinA—=0,---cosB=0

22

,C°SB=B

即sinA咚

2

又.//A、/B均为锐甭，.../A=45°,/B=30°,

在AABC中，ZA+ZB+ZC=180a,/.ZC=W5°.

正

【答案】

12.T,

【解析】假设每一个小正方形的边长为1,利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CH.垂足为H,

则NA在直角△ACH中，利用勾股定理得AC=A/42+22=2X/5,/.

.ACH2V5

sinA=----=-；==——.

AC2>/55

,2

13.【答案】2或一

3

【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点，所以点P

既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，

BC2

当P在边CD上时，tanZBPC=--=2;当P在CD延长线上时，tanZBPC=

PC3

14.【答案】

由2得电①当为直角边时，最小角的正切值为

【解析】x-4x+3=0X]=1,=3,3Atan4=g;

②当3为斜边时，另一直角边为J32—V=2及，：.最小角A的正切值为tanA=—==——.

2V24

故应填，或

34

15.【答案】；；

【解析】由△ABC的内心在y轴上可知QB是/ABC的角平分线，则/QBA=45',

易求AB与x轴的交点为(-2,0),所以直线AB的解析式为：y=x+2,

y=x+2

联立《1可求A点的坐标为(-6,-4),

y=-x-\

-2

AB=\JAD2+BD2=6>/2,又QC=QB=2,

BC_2A/2_1

7B~6^2~3'

16.【答案】

【解析】,.0<cosa<1,

<1,

2

解得

33

三、解答题

1二【答案与解析】

过D作DE”AC,交BC于点E.

AD=BD,CE=EB,/.AC=2DE.

又;DC1AC,DE"AC,

DC1DE,即NCDE=90".

又・•.zBCD=30°,j.EC=2DE,DC=73DE.

设DE=k,则CD=VJk,AC=2k.

在RtZikACD中，AD=\lAC2+CD1=\[lk.

sinZ.CDA==1^2-cosZCDA=CD辰后

AD币k7AD币k7

AC2k273

tanZ.CDA=----=-j=-=------.

CDyj3k3

18.【答案与解析】一

(1)原式=4X^-&X孕加X加

M:

_22

=l+3&.

(2)腺式cp汝爽：+1-2x1

22

=1+1—1

=1.

2X§

⑶原式二存T制

-V3+1_3

~2~1

_2>/3-l

19.【答案与解析】

(1)证明：•/四边形ABCD是矩形,

：.AD/BC,AD=BC

/.ZDAF=ZAEB

又「AE=BC,

AE=AD

又丁/B=/DFA=90",

AEAB^AADF.

AB=DF.

⑵解：在RtZkABE中，BE=VAE2—AB2=A/102-62=8

,/AEAB^AADF,

DF=/\B=6,AF=EB=8,

/.F.F=AF.-AF=10-R=2.

EF2I

tan/EDF=—=-=-

DF63

20.【答案与解析】

⑴连接B。并延长，交OO于点D,连接CD.

,/BD是直径，/.BD=4,/DCB=90°.

在RtADBC中，sinZBDC=—=—=—,

BD42

⑵因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，AABC的面积最大，此时点A应落

在优弧BC的中点处.

过Q作QE」BC于点E,延长E。交于点A,则A为优孤BC的中点.连结AB,AC,

则AB=AC,ZBAE=-ZBAC=303.

2

在Rt4ABE中，BE=>/3,ZBAE=30°,

tan30°也

T

.・S△八8c=~xx3=3G.

答：ZkABC面积的最大值是3G.

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

解直角三角形及其应用一知识讲解

【学习目标】

1.了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直

角三角形；

2.会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题.

【要点梳理】

要点一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在RtZSABC中，ZC=90；,/A、ZB./C所对的边分别为a、b、c,则有：

①三边之间的关系：a?+b2=,2（勾股定理）.

②锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

③边角之间的关系:

Sltl=—,COS=—,t蠡1ZM一,

ccb

$in5=-,cos5=—,tan5=

®S^=-ab=-cA,h为斜边上的高.

C22

要点诠释：

⑴直角三角形中有一个元素为定值（直角为90°）,是已知值.

（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.

（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

要点二、解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形类丁已知条件解法步骤

由tanA=2求NA,

b

两直角边（）

a,b/B=90°-ZA,

两C-Jj+3

边,.a,

由sinH=一求/A,

RtAABCc

斜边，一克角边（如）

c,aZB=90a-ZA,

B

b«JJ-J

ZB=90a-ZA,

锐角、邻边

b

力N-----------------（如NA,b）a=6-tanJ4,c=

0一直向边cosA

边和一锐角/B=90°—/A,

锐角、对边

aa

（如/A,a）c—.b—------

角sinA,tanA

ZB=90°-ZA,

斜边、锐角（如c,ZA）

…"ccoM

要点诠释：

1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素

是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为

边.

要点三、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数

量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

⑴弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画

出几何图形，建立数学模型.

⑵将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形

的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

⑷得出数学问题的答案并检险答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展：

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

⑴坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离/的比叫做坡度，用字母，表示，则i

如图，坡度通常写成X力：/的形式.

⑵仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫

做俯角，如图.

/视线

眼睛^—水平线

、视线

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标

方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中

的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东450,南偏西80',北偏西

60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,

西北方向指的是北偏西45°.

要点诠释：

1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，

最好画出它的示意图.

2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩

形来解.

3.解直角三角形的应用题时，首先弄济题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示

意图，进而根据条件选择合适的方法求解.

【典型例题】

类型一、解直角三角形

▼1.在RtAABC中，/C=90",a、b、c分别是/A、ZB./C的对边，根据下列条件，解这个

直角三角形.

(1)ZB=60°,a=4;(2)a=l,b=43.

【答案与解析】

(l)ZA=90°一/13=90°-60°=30°.

由tan3=2知，b=a•tanB=4xtan60°=475.

a

,na,a4c

由cosB=一知,c=------=----------=8.

ccos3cos600

n

(2)由tan3=2=6得/B=60",/.ZA=90-600=30".

1/a2+b-=c2,/.c=J/+.2=4=2.

【总结升华】解直角三角形的两种类型是：⑴已知两边；⑵已知一锐角和一边.解题关键是正确选择边

角关系.常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切).

(1)首先用两锐角互余求锐角NA,再利用NB的正切、余弦求b、c的值；

⑵首先用正切求出NB的值，再求NA的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值.

举一反三：

【变式】(1)已知/C=90°,a=2>/3,b=2,求/A、/B和c；(2)已知sinA=g,c=6,求a和b；

【答案】(1)c=4;/A=60'、ZB=30°;(2)a=4;b=2\5

C2.(2015•湖北)如图，AD是AABC的中线，tanB二工