北师大版九年级数学下册举一反三系列37切线长定理、三角形的内切圆【十大题型】同步练习(学生版+解析)

专题3.7切线长定理、三角形的内切园【十大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1利用切线长定理求解】...................................................................1

【题型2利用切线长定理证明】..................................................................2

【题型3由三角形的内切圆求长度】..............................................................3

【题型4由三角形的内切圆求角度】..............................................................4

【题型5由三角形的内切圆求面积】..............................................................5

【题型6由三角形的内切圆求最值】..............................................................6

【题型7直角三角形的周长、面枳与三角形内切圆的关系】.........................................7

【题型8圆外切四边形的计算】..................................................................8

【题型9一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】........................................10

【题型10三角形内切圆与外接圆的综合运用】....................................................11

，举一反三

【知识点1切线长定理】

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【题型1利用切线长定理求解】

【例1】（2023春浙江杭州•九年级校联考期中）如图，点，是半径为「的。。外一点，PA,分别切。。于

4B点,若△PAB是边长为Q的等边三角形，则（）

A

A.a=2rB.a=V3rC.a=V2r

【变式1-1］（2023春・江苏南京•九年级统考期末）如图，4B为0。的直径，PB,PC分别与。0相切于点B,

C,过点C作A8的垂线，垂足为E,交。。于点D.若CD=PB=2®则BE长为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式1-2］（2023春•天津河西•九年级统考期末）如图，PA,P8是。。的切线，A,8为切点，力。是。。的

直径.

（I）若N84C=25。，求乙P的度数;

（2）若NP=60。,PA=2,求。。的半径.

【变式1-3］（2023春・浙江•九年级期中）小明准备以“青山看口出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，

如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点8,E,C,尸在同一条直线上，

且BE=EC=2CF,四边形4BEG和四边形GCFD的面积之差为7百，则。尸的长是；连结4D,若O。是

△4DG的内切圆，则圆心。到8尸的距离是.

【题型2利用切线长定理证明】

【例2】（2023春・天津河东•九年级天津市第四十五中学校考期末）如图，RtAABC中，"=90。，以8C为宜

径的。。交45于E,ODJ.BC交。0于D,DE交BC于F,点P为CB延长线上的一点，PE延长交4?于G,PE=

PF，下列4个结论：①G£=GC；®AG=GE；③OG||8E；@LA=ZP.其中正确的结论是（填写所

有正确结论的序号）

I）

【变式2-1］（2023春•全国.九年级统考期末）如图，0O是梯形ABCD的内切圆，AB〃DC,E、M、F、N

分别是边AB、BC、CD、DA上的切点.

(1)求证：AB+CD=AD+BC

（2）求NAOD的度数.

【变式2-21（2023春・江苏南通•九年级校联考期中）如图,A6、C3、CQ分别与。。切于E,凡G,且A8〃CQ.连

接08、OC,延长CO交。。于点M,过点加作仞7〃04交CQ于N.

（I）当08=6。〃，OC=8c〃i时，求。。的半径;

(2)求证：MN=NG.

【变式2-3］（2023春・广东云浮.九年级统考期末）如图I所示，0。为△CDE的外接圆，CD为直径，AD.BC

分别与。。相切于点。、C（BOAD）.£在线段45上，连接。E并延长与直线BC相交于点P,B为PC中点、.

（1）证明：AB是。0的切线.

(2)如图2,连接04,0B,求证：0A_L03.

【知识点2三角形的内切圆】

内切圆的圆心是

与三角形各边都三角形三个内角三角形的内心到

三角形内切圆相切的圆叫做三的角平分线的交三角形三边的距

角形的内切圆点，叫做三角形的离相等

内心

【题型3由三角形的内切圆求解】

【例3】（2023春・天津西青・九年级统考期末）如图，在△力BC中，々1=60。，BC=12,若。0与zMBC的

三边分别相切于点。，E,F,且的周长为32,则。尸的长为（）

A.2B.3C.4D.6

【变式3-1］（2023春・山东淄博•九年级统考期末）如图，△ABC中，ZC=90°,圆O是的内切圆，D,

E,尸是切点.若A8=5,AC=3,则。。=.

【变式3-2］（2023春・天津河西•九年级校考期末）如图，。/是直角△力8C的内切圆，切点为。、E、F,若

AF=10,BE=3,则△力BC的面积为.

【变式3-3］（2023春・甘.肃金昌・九年级校考期末）如图，在A/IBC中，4/1=90。，AB=AC=2,。0是的

内切圆，它与力B、BC、&4分别相切于点。、E、F.求。。的半径.

【题型4由三角形的内心的有关应用】

【例4】（2023春•江苏盐城•九年级统考期中）如图，点。是A/IBC的内心，也是ADBC的外心.若N4=84。,

贝吐。的度数（）

A.42°B.66°C.76°D.82°

【变式4-1】（2023春・江苏苏州•九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点/为△A8C的内切圆的圆心,

连接A/并延长交△4BC的外接圆于点0,连接8D.已知AZ)=5,BD=3,则A/的长为(

A.1C2D.|

【变式4-2](2023春•河北衡水,九年级校考期中)如图,在中,ABAC=50°,点/是A2BC的内心,

(I)乙BIC=°；

(2)若8/的延长线与△ABC的外角乙4CD的平分线交于点巴当〃CB=。时，CEWAB.

【变式4-3](2023春•九年级课时练习)如图，在平面直角坐标系中，点4(0,6),点8(8,0),/是△。力B的内

心，则

(2)点/关于x轴对称的点的坐标是.

【题型5坐标系中的三角形内切圆】

【例5】(2023♦山东日照•日照市田家炳实验中学校考一模)如图，把RQ048置于平面直角坐标系中，点A

的坐标为(0,4),点8的坐标为(3,0),点尸是RtA内切圆的圆心.将RtZiOAB沿y轴的正方向

作无滑动滚动.使它的三边依次与工轴重合.第一次滚动后，圆心为匕，第二次滚动后圆心为。2…依次规

律，第2019次滚动后，RQ048内切圆的圆心P20/9的坐标是()

A.(673,1)B.(674,1)C.(8076,i)D.(8077,1)

【变式5-11(2023春・湖北鄂州•九年级校联考期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，24CB=

90%乙48c=30。,直角边BC在x轴上，其内切圆的圆心坐标为1(0,1),抛物线y=Q/+2”+1的顶点为

Af则Q=.

A

COBX

【变式5-2](2023春・全国•九年级统考期末)如图，△ABC中，A、EhC三点的坐标分别为A(0,8),

B(-6,0),C(15,0).若△ABC内心为D,求点D的坐标.

八J

B0C'x

【变式5-3](2023春・江苏•九年织专题练习)如图，矩形OA8cB(43),点M为bABC的内心,

将矩形绕点C顺时针旋转9()。，则点M的对应点坐标为()

A.(-2,6)B.(-6,1)C.(-1,1)D.(-L6)

【题型6由三角形的内切圆求最值】

【例6】(2023春•扬州月考)如图是一块AABC余料，已知A8=20a〃，BC=lan,4c=15刖，现将余料

裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是」^

【变式6-1]（2023春・浙江•九年级专题练习）如图，在矩形A8CO中，AB=8,BC=6,点E、广分别是

AD.8c的中点，点。在线段七〃上，△P48内切圆半径的最大值是（）

A.1B.-C.-D.-

543

【变式6-2]（2023春・江苏南京•九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，矩形A8CQ,AD=6,AB

=8,点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆。上的一个动点，点M是CQ的中点，则尸M的最

大值是.

【变式6-3]（2023•陕西西安・西安市第六中学校考模拟预测）如图，矩形为8C。的顶点A,C分别在无轴、y轴

上，点8的坐标为（-8,6）,0M是△4OC的内切圆，点N,点P分别是OM,”轴上的动点，则BP+PN的最

【题型7直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】

【例7】（2023•全国.九年级专题练习）Rt△43c两直角边的长分别为3cm和4cm,则其内心与外心的距离为

()

A.2B.1C—D•苧

【变式7-1］（2023春・全国•九年级专题练习）如图，在ABC中，2c=90。，AC=6,BC=8,则△ABC的

内切圆的半径/•是（）

A.2B.3C.4D.无法判断

【变式7-2］（2023春・山东济宁•九年级校考期末）如图，△力"的内切圆。0与8。、。4、AB分别相切于点

。、E、F,且AB=8,BC=17,CA=15,则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）

A.4B.6.25C.7.5D.9

【变式7-3］（2023春・江苏南京•九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，矩形A8CQ,AD=6,AB

=8,点P为3c边上的中点，点Q是△力CD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最

大值是.

【题型8圆外切四边形的计算】

【例8】（2011•浙江温州・中考真题）如图，。是正方形4BCQ的对角线8。上一点，。。与边A3,8c都相

切，点、E,〃分别在A。，上，现将沿着EF对折，折痕E”与。。相切，此时点。恰好落在圆心

。处.若DE=2,则正方形48CD的边长是（）

A.3B.4

C.2+V2D.2V2

【变式8-1］（2023春.九年级课时练习）如图，圆。是四边形4BCQ的内切圆，若/8。。=118。，则NA。。

【变式8-2］（2023春・浙江温州・九年级校考期末）如图，正方形£W7,正方形MFCG和正方形HLGD都在正

方形ABCD内，且8F=HD.。0分别与4E,EhHL,力，相切，点M恰好落在。。上，若BF=4,则。。的

直径为.

【变式8-3］（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器中的底面ABCD

是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形.如图②，已知正方形力8CD与矩形EFG”满足如下条件：正方形力88

外切于一个半径为5米的圆。，矩形E尸GH内接于这个圆。，EF=2EH.

3）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？

（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立•方米

/小时，4小时后.把容器甲的注水流量增加。立方米/小时，同时保持容器乙的注水流最不变，继续注水2

小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变.直到两个

容器的水位高度相同，停止注水.在整个注水过程中，当注水时间为£时，我们把容器甲的水位高度记为九伊,

容器乙的水位高度记为力/,设八/一九尹=九，已知九（米）关于注水时间£（小时）的函数图像如图③所示,

其中MN平行于横轴.根据图中所给信息，解决下列问题:

①求a的值：

②求图③中线段PN所在直线的解析式.

图①图②

图③

【题型9一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】

【例9】（2023春・广东梅州•九年级校考开学考试）若四边形48co的对角线AC,80相交于O,△，。乩△B0C,

△COD,a。。力的周长相等，且△力OB,△80C,△C0D的内切圆半径分别为3,4,6,则△D04的内切圆

半径是（）

A.gB.C.D.以上答案均不正确

【变式9-1]（2023•湖南长沙•长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，。。是^ABC的内切圆，若^ABC的

周长为18,面积为9,则O0的半径是（）

A.1B.V2C.1.5D.2

【变式9-2]（2023春•内蒙占呼伦贝尔・九年级统考期末）如图，在△力8C中，AB+AC=^BC,AO_LBC于

D,。。为△48C的内切圆，设。0的半径为R,40的长为九，贝。的值为（

【变式9-3]（2023春•九年级课时练习）已知的周长为20,其内切圆半径R=5,则△ABC的面积

为•

【题型10三角形内切圆与外接圆的综合运用】

【例10】（2023•全国•九年级专题练习）如图,点/为的内心，连接加并延长交△力BC的外接圆于点。,

若4=2CD,点E为弦4C的中点，连接£7,1C,若/C=6,/D=5,则/E的长为（）

B.4.5D.3.5

【变式10-1】（2023•游仙区模拟）如图，在△人BC中，/84C=60。，其周长为20,。/是△/WC的内切圆,

其半径为V5,则△引。的外接圆直径为_畔_.

«5

专题3.7切线长定理、三角形的内切圆【十大题型】

【北师大版】

，题型梳理

【题型1利用切线长定理求解】...................................................................1

【题型2利用切线长定理证明】..................................................................2

【题型3由三角形的内切圆求长度】..............................................................3

【题型4由三角形的内切圆求角度】..............................................................4

【题型5由三角形的内切圆求面枳】..............................................................5

【题型6由三角形的内切圆求最值】..............................................................6

【题型7直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】.........................................7

【题型8圆外切四边形的计算】..................................................................8

【题型9一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】........................................10

【题型10三角形内切圆与外接圆的综合运用】....................................................11

，举一反三

【知识点1切线长定理】

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【题型1利用切线长定理求解】

【例1】（2023春・浙江杭州•九年级校联考期中）如图，点P是半径为r的。。外一点，PA,P8分别切O。于

A,B点、,若△PAB是边长为a的等边三角形，则（）

A

A.a=2rB.a=V3rC.a=V2r

【答案】B

【分析】连结。P、OA,OB,根据切线的定理得H41OA,PB1OB,再根据直角三角形的性质可知OP=20A,

最后利用勾股定理即可解答.

【详解】解：连结OP、OA.0B,则。4=丁,

•・NPA3是边长为a的等边三角形，

：,PA=a,Z.APB=60°,

〈PA,PB分别切。。于A,8点，

・・・PA1OA,PB1OB,

：.LOAP=90°,OP平分N；4P8,

：

.WPA=Z-OPB=-2^APB=30°,

：.LOAP=90°,

：.0P=20A,

・••在Rt△04P中，PA=\/OP2-OA2=yJ(2OA)2-OA2=y130A,

.*.a=V3r,

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质定理，切线长定理，直角三角形中30。角所对的直角边

等于斜边的•半，勾股定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

【变式1-1】（2023春・江苏南京•九年级统考期末）如图，AB为。。的直径，PB,PC分别与。0相切于点8,

C,过点C作的垂线，垂足为凡交。0于点D.若CD=PB=2®则BE长为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】作CH_LPB于〃，由垂径定理得到CE的长，从而求出P"的长，由勾股定理求出CH的长，即可求出BE

的长.

【详解】解：作CH1P5于"，

:・CE=DE=3CD=®

•:PC,PB分别切0。于C,B,

:・PB=PC=CD=2V3,直径AB1PR,

・•・四边形EG/8是矩形,

：.BH=CE=痘,BE=CH,

:,PH=PB-BH=2/一用=冷,

：22J(2V3)2-(V3)2

.CH=y/PC-PH==3,

：,BE=CH=3.

【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理

求出CH的长.

【变式1-2](2023春.天津河西.九年级统考期末)加图，PA.P8是。O的切线，A.R为切点,,{◊是OO的

直径.

(1)若484。=25。，求NP的度数；

(2)若4P=60。，PA=2,求。。的半径.

【答案】(1)50。

⑵誓

【分析】（1）先利用切线的性质得到a/IP=90。，则利用互余计算出NP/18的度数，再根据切线长定理得到

PA=PB,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算乙P的度数：

（2）连接BC,根据切线的性质得到PA=P3,4CAP=90。，推出AP45是等边三角形，根据直角三角形的性

质即可得到结论.

【详解】（1）,.,PA是。。的切线，

：,OA1PA,即皿P=90。.

：.LPAB=90°-Z-BAC=90°-25°=65°.

,：PA,PB是。。的切线，

：.PA=PB,

：.LPBA=Z.PAB=65°,

：,LP=50°.

（2）连接CB,

*：PA=PB,且，P=60。，

•••Z.P/18是等边三角形，

：.AB=24=2,乙CAB=30°.

•・NC为直径,

：.LCBA=90°,

在Rt△4BC中，

由勾股定理：AC2=BC2+AB2,可得4C二竺纥

3

・・・0。的半径为手.

【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的

关键.

【变式1-3]（2023春•浙江•九年级期中）小明准备以“青山看川1厂为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，

如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示吉山和日出，已知点8,E,C,尸在同一条直线上，

且BE=EC=2CF,四边形48EG和四边形GCFD的面积之差为76，则CF的长是；连结力。，若O0是

△40G的内切圆，则圆心。到8尸的距离是

【答案】24V3-2

【分析】设CF=x，表示出相关线段的长，根据四边形力BEG和四边形GC尸。的面积之差，得到一S.DEF=

7V3,求出大值即可：连结A。，连接0G并延长交8/于点M,设圆。HAC的切点为H,连接0〃，连接AE,

作DN_L4E,垂足为N,证明△/WG为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切线长定理得到NHG。，从而

证明0/_L8F,求出GM,从而得到OM即可.

【详解】解：.・・BE=EC=2CF,

・,・设CF=x,则BE=EC=2%,

，BC=2x+2x=4x,FF=2x4-x=3x,

•・•△力。。与4OEF为等边二角形，

・2222

:SAABC=^BC?=yx(4x)2=4V3x,ShDEF=yFF=yx(3x)=^V3x,

:S^ABC-S&DEF=7A/3,

A4V3X2--V3x2=7V3,

4

.*.x2=4,

.二%=2.

：.CF=2.

连结AO,连接OG并延长交8尸于点M,设圆。与AC的切点为“，连接O"，连接A£,作。N1AE,垂足

为N,

•・・等边4718。的边长为4乂2=8,E为8c中点,

：,AE=V3CE=4^3,Z.AEC=90°,

■:乙DEC=60°,

，乙DEN=30°,

，：DE=3x2=6,

：.DN=-DE=3,NE=娼DN=373,

2

.\/l/V=4V3-3V3=V3,

：.AD=7ANZ+DNz=2V3,

*：AG=AC-GC=8-4=4,DG=DE-EG=6—4=2,

：,AG2=16=DG2+AD2,

：.LADG=90°,AnDG为直角三角形,

・•・内切圆半径。H=也等竺=旦产=V3-1,

■:乙HGD=60°,

:•乙HGO=+乙HGD=30°,

2

JOG=2OH=2（V3-1）=2V3-2,

*：LHGO=30°,Z-AGE=180°-60°=120°,

：,LEGM=180°-30°-120°=30°,

：,LGME=180°-60°-30°=90°,

，OM1BF,

-：CM=^GE=^x4=2V3,

,OM=OG+GM=-2+2国=4百一2,

，圆心。至ljB/的距离为4g-2,

故答案为：2,473-2.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，切线长定理，切线的性质，

【题型2利用切线长定理证明】

【例2】（2023春・天津河东•九年级天津市第四十五中学校考期末）如图，RW18C中，"=90。，以8C为直

径的。。交48于OD上BC交于D,DE交BC于F,点P为。8延长线上的一点，PE延长交RC于G,PE=

PF,下歹ij4个结论：①GE=GC：②AG=GE；③OG||BE；®LA=乙P.其中正确的结论是（填写所

有正确结论的序号）

A

I)

［答案］®@®

【分析】①首先连接。E，CE,由。E=。。，PE=PF,易得4。£＞。+4/55尸=乙。。£+4尸产£，又由。。1BC,

可得0E1PE,继而证得PE为0。的切线;

②又由是直径，可得CEJ.48,由切线长定理可得GC=GE,根据等角的余角相等，可得乙1=4/EG,

根据等腰三角形的判定，可得答案;

③易证得0G是A4BC的中位线，则可得0GIIBE.

④由于在RtAABC中，LA+/.ABC=90°,在RtAPOE中，LP+LPOE=90°,而/POE不一定等于4ABC,

则可得〃不一定等于

【详解】解：如图，连接。E,CE,

v0E=0D,PE=PF,

•••iOED=CODE,LPEF=Z.PFE,

•••0D1BC,

...Z.ODE十Z.OFD=90°,

vZ.OFD=Z.PFE,

Z.OED+/.PEF=90°,

即0E1PE,

•••点E。。匕

・•・GE为O0的切线;

丁点。在。。上，OCLGC,

・•.GC为。。的切线，

AGC=GE

故①正确；

•••8C是直径，

•••ZBEC=90°,

Z.AEC=90°,

vZ.ACB=90°,

.•dC是。。的切线，

二EG=CG,

,Z.GCE=Z.GEC»

V乙GCE+Z./4=90°,乙GEC十乙AEG=90°,

•••NA=/.AEG,

•••AG=EG；故②正确；

v0C=OB,AG=CG

二OG是A48C的中位线，

AOG||AB；故③正确；

在RtA/lBC中，z/l+/.ABC=90°,

在RtAPOE中，ZP+/.POE=90°.

vOE=OB,

•••々OBE=乙OEB,

但/POE不一定等于乙4BC,

不一定等于NP.故④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的

性质.此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

【变式2-1］（2023春・全国•九年级统考期末）如图，。。是梯形ABCD的内切圆，AB〃DC,E、M、F、N

分别是边AB、BC、CD、DA上的切点.

(1)求证：AB+CD=AD+BC

(2)求NAOD的度数.

【答案】(1)证明见解析；(2)90。.

【分析】(1)根据切线长定理可证得AE=AN,BE=BM,DF=DN,CF=CM,进而证明AB+DC=AD+BC；

(2)连OE、ON、OM、OF,通过证明△OAE丝ZXOAN,得到NOAE=NOAN.同理：ZODN=ZODE,再

利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出NAOD的度数.

【详解】(1)证明：切梯形ABCD于E、M、F、N,由切线长定理：AE=AN,BE=BM,DF=DN,

CF=CM,

/.AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM,

；・AB+DC=AD+BC

(2)连OE、ON、OM、OF,

VOE=ON,AE二AN,OA=OA,

AAOAE^AOAN,

AZOAE=ZOAN.

同理，ZODN=ZODF.

・•・ZOAN+ZODN=ZOAE+ZODE.

又7AB〃DC,ZEAN+ZCDN=I8O0,

ZOAN+ZODN=ixI80°=90°,

2

.,.ZAOD=180°-90o=90°.

【点睛】本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补,

解题的关键是构造全等三角形.

【变式2-2](2023春・江苏南通•九年级校联考期中)如图,/W、CA、C。分别与。。切于E,尸,6,旦48〃。。.连

接。B、OC,延长CO交。O于点M,过点M作MN〃OB交C7)于M

(1)当OB=6cm,OC=8C〃I时，求OO的半径;

（2）求证：MN=NG.

【答案】（1）的半径为4.8；（2）见解析.

【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分NEBF,OC平分NGCF,OF±BC,再根据平行线的性质得

ZGCF+ZEBF=180°,则有NOBC+NOCB=90。，即NB0090。；连接OF,则OF_LBC,根据勾股定理就可

以求出BC的长，然后根据2BOC的面积就可以求出。O的半径；

（2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】（1）VAB.BC、CD分别与。O切于E、F、G,

，OB平分NEBF,OC平分/GCF,OF1BC,

/.ZGCF+ZEBF=I8O°,

AZOBC+ZOCB=90°,

AZBOC=90°；,

连接OF,则OF_LBC,

由(1)知，△BOC是直角三角形，

/.BC=VOB2+OC2=10,

,/SABOC=?OB・OC=1・BC・OF,

6x8=10xOF,

.\OF=4.8,

A<00的半径为4.8；

(2)证明：TAB、BC、CD分别与0O切于点E、F、G,

AZOBC^ZABC,ZDCB=2ZDCM,

2

VABZ/CD,

/.ZABC+ZDCB=180°,

AZOBC+ZOCB=-2(2ZABC+ZDCB)=-xl80°=90°,

AZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-90°=90°,

VMN/7OB,

AZNMC=ZBOC=90o,

即MN1MC且MO是。O的半径，

/.MN是0O的切线，

AMN=NG.

【点睛】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线

为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连

线平分两切线的夹角.

【变式2-3](2023春・广东云浮•九年级统考期末)如图1所示，00为△CDE的外接圆，8为直径，AD.BC

分别与。。相切于点。、CCBOAD).E在线段48上，连接DE并延长与直线8c相交于点P,B为PC中点.

(1)证明：AB是。。的切线.

(2)如图2,连接040B,求证：04_L0B.

【答案】(I)见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接。£,根据宜角三角形斜边上的中线的性质以及等边对■等角得出N0EC=40CE,进而根据

为切线，Z.OCB=90°,乙OEC+乙BEC=LOCE+乙BCE=9。。,得出乙。E8=90。，即可得证；

(2)根据AD、AB.分别与。。相切于点。、E、C,根据切线长定理得出4。_LCD，BC1CD,^\AD\\BC,

^OAE=^DAE,乙OBE=JBE,+/CBE=180。，即可得出4力08=90。，进而即可得证.

【详解】(1)证明：连接0E,

B

〈CD为O。直径，

工乙CEP=90°.

在RT/kCEP中,B为PC中点,

：.EB=BC=-CP,

2

：,LBCE=乙BEC,

TOE=OC,

：,LOEC=乙OCE,

乂・・・BC为切线，

：,L0CB=90。，

：.LOEC+乙BEC=LOCE+乙BCE=90°

工人OEB=90°.

即OE1A8,

・•"/?是。。的切线.

（2）证明：・・・AD、AB.8C分别与。0相切于点。、E、C,

：.AD\\BC,

・"O4E+"BE=180。，

：.LOAE+乙OBE=1x(Z.DAE+zCBE)=1x180°=90°,

：.£AOB=90°,

AOA1OB：

【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键.

【知识点2三角形的内切圆】

内切圆的圆心是

与三角形各边都三角形三个内角三角形的内心到

三角形内切圆相切的圆叫做三的角平分线的交三角形三边的距

角形的内切圆点，叫做三角形的离相等

内心

【题型3由三角形的内切圆求解】

【例3】（2023春・天津西青・九年级统考期末）如图，在△力BC中，Z/1=60°,BC=12,若。。与△人"的

三边分别相切于点7）,E,F,且△48。的周长为32,则OF的长为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】根据切线长定理可得：AD=AF,BD=BE,CE=CF,再证明△AOF是等边三角形即可作答,

【详解】:。。内切于

：.AD=AF,BD=BE,CE=CF,

'：LA=60%

・・・A/WF是等边三角形,

•\AD=AF=DF,

的周长为32,

••.4B+BC+4c=32,

：.AD+BD+BE+EC+CF+AF=32,

'：BC=12,

：.BE+EC=12,

：.BE+EC=BD+FC=12,

：.AD+4/=32—(BD+BE+EC+CF)=8,

*：AD=AF=DF,

：,AD=AF=DF=4,

【点睛】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键.

【变式3・1】(2023春・山东淄博•九年级统考期末)如图，△斐BC中,LC=90°,圆。是的内切圆,D,

E,b是切点.若｛8=5,AC=3,则。0=.

【答案】1

【分析】根据内切圆的性质先证明四边形。ECO是矩形，可得OD=CE,再由切线长定理可得/尸==

BD.CD=CE,设X)D=CD=CE=r,可得4/=4E=3—r,BF=BD=4-r,可得到关于「的方程，即

可求解.

【详解】解：•・•圆。是△48。的内切圆，

：,0E1AC,OD1BC,

，乙ODC=iOEC==90°,

・•・四边形OECD是矩形，

：・0D=CE,

•・•圆。是△ABC的内切圆，

：.AF=AE,BF=BD,CD=CE,

设00=CD=CE=r,

*：AB=5,AC=3,

：.BC=>]AB2-AC2=4,AF=AE=3-r

：,BF=BD=4-r,

•：AF4-BF=5,

/.3-r+4—r=5,

解得：r=l,

即00=1.

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线

长定理是解题的关键.

【变式3-2]（2023春・天津河西•九年级校考期末）如图，是直角△48C的内切圆，切点为D、E、F,若

AF=10,BE=3,则的面积为.

【答案】30

【分析】根据切线长定理得出8。=BE,AF=ADfCE=CF,设CE=CF=%,根据勾股定理得出工的值，

再利用三角形的面枳公式求得△48C的面枳即可二

【详解】解：•••。/是直角4?1。。的内切圆，且AF=10,BE=3,

：•BD=BE=3,AF=AD=10,CE=CF,

•••AB=10+3=13,

设CE=CF=x,则BC=3+x,AC=10+x,

在RS48C中,AC2+BC2=AB2,即（10+X）2+（3+X）2=132,

解得x=2或％=-15V0（不符题意，舍去），

:.CE=2,

•••BC=5,AC=12,

••.△ABC的面积为工=1x12x5=30,

22

故答案为：30.

【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟记切线长定理是解题的关键.

【变式3-3]（2023春・甘肃金昌・九年级校考期末）如图，在AjBC中，乙4=90。，AB=AC=2,。0是的

内切圆，它与48、BC、&4分别相切于点。、E、F.求。。的半径.

BE

【答案】2-V2

【分析】首先连接。。、OF、OE,进而利用切线的性质得出乙。04=LOFA=41=90°,进而得出四边形ODAF

是正方形，再利用勾股定理求出0。的半径.

【详解】解：连接00、OE.OF,

•・・00是448。的内切圆，切点为。、E、F,

：.LODA=/.OFA=^A=90°,

又・：0D=OF,

工四边形。D4尸是正方.形，

设00=AD=AF=r,

则BE=BD=CF=CE=2-r,

在AABC中，乙4二90。，

:.BC=y/AB2+AC2=2V2,

又•；BC=BE+CE,

A(2-r)+(2-r)=2V2,

得：r=2—V2,

・・・0。的半径是2-四.

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，正方形的性质和判定，解题的关键是掌握“圆的切

线垂直于经过切点的半径”，“从圆外一点引圆的两条切线，它父的切线长相等”.

【题型4由三角形的内心的有关应用】

【例4】(2023春•江苏盐城•九年级统考期中)如图，点。是的内心,也是aOBC的外心.若41=84。,

则，D的度数()

D

A.42°B.66°C.76°D,82°

【答案】B

【分析】利用三角形内心的性质得。氏。。分别是角平分线，进而求出N80C的大小，再利用三角形外心的性

质得出Z8DC等于乙80。的一半，即可得出答案.

【详解】解：连接。氏0C,如图，

•.•点。是AABC的内心，Z/1=84°,

Z.0BC=-2/-ABC,Z2-OCB=-Z-ACB,

11

Z.0BC+Z.0CB——Z.ABC十—乙ACB

22

1

=-(Z.ABC+Z.ACB)

=j(1800-Z/l)=48°,

Z.B0C=180°-SOBC+NOCB)=132°,

•.•点O是AOBC的夕卜心，

ZD="0C=66°,

2

【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本

题的关键.

【变式4-1】（2023春・江苏苏州•九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点/为△ABC的内切圆的圆心，

连接4/并延长交△4BC的外接圆于点D,连接BD.已知40=5,BD=3,则4/的长为（）

【答案】A

【分析】由三角形内切圆的圆心为三条角平分线的交点，可知4=UBA=4BC,利用三角形外

角的性质可得43/0=LlAB+Z.IBA,利用同弧所对的圆周角相等可得乙IMC=乙DBC,进而可证乙/B0=

人BID,推出/D=8D=3,^\AI=AD-ID=5-3=2.

【详解】解：•••点/为△4BC的内切圆的圆心，

•••伍平分Z84C,/8平分〃8C,

:.L1AB=Z.IAC,/-IBA=乙IBC,

vLIBD=/.IBC+Z-DBC,乙BID=ZJAB+ZJBA,Z.DAC=Z.DBC,

:.LlBD=乙BID,

:.ID=BD=3,

・•・AI=AD-ID=5-3=2,

故选C.

【点睛】本题考查三角形的内切圆、三角形外角的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，难度一般，解

题的关键是通过导角证明N/8D=

【变式4-2](2023春•河北衡水•九年级校考期中)如图,在△ABC中,^BAC=50°,点/是△ABC的内心，

(1)乙B1C=

(2)若B/的延长线与△力3C的外角乙4CD的平分线交于点E,当44C3=。时，CEIIAB.

【答案】11580

【分析】（1）根据三角形内角和求上UA8C+乙力C8=180°-LA=130°,根据B/、G分另U平分乙48C、匕4CB,

得出乙C8/乙BCI岩乙ACB,根据48%=180。一（4。8/+43。）求出结果即可；

（2）根据角平分线的性质求出NE=\Z-A=25。，根据当"BE=zF=25。时，CEWAB,得出此时乙ABC=

2Z-ABE=50°,求出〃CB=180）-/.ABC-=80°.

【详解】解：（1）•・•在△4BC中，ABAC=50°,

：.Z.ABC+Z.ACB=180°-Z.A=130°,

•・•点/是△R8C的内心，

・・・B/、C7分别平分/ABC、乙ACB,

/.乙CBI=-/.ABC,Z.BCI=-Z-ACB,

22

:“BIC=180°-（乙CB1+乙BCI）

1

=180°--^ABC+^ACB）

乙

1

=180°--X130°

乙

=115。；

故答案为：115：

（2）TN/CO是△力的夕卜角，

Z.ACD=乙ABC4-乙A,

・1£平分乙40），

/DCE=-22LACD="24ABC+-LA,

■:乙DCE=乙E+乙CBE,

:.zF+Z-CBE=-2Z-ABC+-2/-A,

：

'LCBE=-2Z-ABC,

:•/E=-2^A=25°,

•・•当乙4BE==250时，CEWAB,

・•・此时乙4BC=2LABE=50°,

：.LACB=180°-Z-ABC-/-A=80°.

故答案为：80.

【点睛】本题主要考查了内心的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定，解题的关键是

熟练掌握三角形的内心为三角形三个内角平分线的交点.

【变式4-3］（2023春,九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点4（0,6）,点B（8,0）,/是△。88的内

心，则

AB=；

(2)点/关于x轴对称的点的坐标是.

【答案