2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之圆的对称性质

第23页（共23页）2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之圆的对称性质一．选择题（共5小题）1．（2025•长沙一模）要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦AB的垂直平分线交AB于点C，交圆弧于点D，测出AB和CD的长度，即可计算出轮子的半径．若测得AB＝48cm，CD＝12cm，则轮子的半径为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm2．（2025•碑林区校级一模）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB与弦CD位于圆心O的异侧，AB∥CD，CD＝6，在AB上取点E，连结EO并延长交CD于点F．若OE：OF＝1：2，则AB的长为（）A．12 B．221 C．6 D．3．（2024秋•沂源县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．10 B．12 C．18 D．244．（2024秋•桓台县期末）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，则CE的度数为（）A．38° B．44° C．48° D．54°5．（2024秋•蓬莱区期末）将一小球放在长方体盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知EF＝8，CD＝8，则此小球的直径是（）A．4 B．5 C．8 D．10二．填空题（共5小题）6．（2024秋•朝阳区期末）在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是．7．（2024秋•海曙区期末）已知⊙M与x轴交于点A（2，0），B（﹣6，0），与y轴交于点C（0，4），D（0，﹣3），则圆心M的坐标是．8．（2024秋•莱州市期末）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，圆心到水面AB的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为米．9．（2024秋•南关区校级期末）如图，在⊙O中，弦AB=23，圆心O到AB的距离OC＝1，则⊙O的半径为10．（2024秋•天门期末）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝m．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•合川区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）若CD＝5，EF=32，求（2）求证：AC＝BD．12．（2024秋•桓台县期末）如图，AB，DE是⊙O的直径，AC∥DE，AC与⊙O相交于点C．BE与EC的大小有什么关系？为什么？13．（2024秋•招远市期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN//GH．（1）作OC⊥MN于点C，求OC的长；（2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时水面截线减少了多少？14．（2024秋•阳谷县期末）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是多少？15．（2024秋•信阳期末）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设AB所在圆的圆心为O，拱顶为点C，OC⊥AB交AB于点D，连接OB．当桥下水面宽AB＝8m时，CD＝2m．（1）求这座石拱桥主桥拱的半径；（2）有一条宽为7m，高出水面1m的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之圆的对称性质参考答案与试题解析题号12345答案BBDBB一．选择题（共5小题）1．（2025•长沙一模）要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦AB的垂直平分线交AB于点C，交圆弧于点D，测出AB和CD的长度，即可计算出轮子的半径．若测得AB＝48cm，CD＝12cm，则轮子的半径为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【考点】垂径定理的应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解答】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝24根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣12）2+242＝OB2，解得：OB＝30；故轮子的半径为30cm．故选：B．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（2025•碑林区校级一模）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB与弦CD位于圆心O的异侧，AB∥CD，CD＝6，在AB上取点E，连结EO并延长交CD于点F．若OE：OF＝1：2，则AB的长为（）A．12 B．221 C．6 D．【考点】垂径定理；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】B【分析】连接OB，OD，根据AB∥CD，可得△MEO∽△NFO，即可得到OMON=OEOF=【解答】解：连接OB，OD，作MN⊥CD于点N，∵AB∥CD，∴△MEO∽△NFO，MN⊥AB，∴OMON∵MN⊥CD，∴ND=在Rt△OND中，ON=52∴OM=在Rt△MBO中，MB=5AB=2故选：B．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2024秋•沂源县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．10 B．12 C．18 D．24【考点】垂径定理；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．【专题】一次函数及其应用；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】D【分析】根据直线y＝kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．【解答】解：连接OB，当x＝3时，kx﹣3k+4＝4，∴直线y＝kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=32∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB＝13，∴BD=OB∴BC＝2BD＝24，∴BC的长的最小值为24；故选：D．【点评】此题考查的是垂径定理，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．4．（2024秋•桓台县期末）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，则CE的度数为（）A．38° B．44° C．48° D．54°【考点】圆心角、弧、弦的关系；对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【答案】B【分析】由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝112°，由CE∥AB得到∠DCE＝180°﹣∠AOC＝68°，由OC＝OE得到∠OCE＝∠OEC＝68°，即可求出∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝44°，得到CE的度数．【解答】解：如图，连接OE，∵∠BOD＝112°，∴∠AOC＝112°，∠AOD＝180°﹣112°＝68°，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠AOD＝68°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC＝68°，∴∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝44°，∴CE的度数为44°．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键．5．（2024秋•蓬莱区期末）将一小球放在长方体盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知EF＝8，CD＝8，则此小球的直径是（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】设小球与BC切于点G，取小球所在视图的圆的圆心为O，连接GO并延长交⊙O于点H，交EF于点K，连接OE，则GK⊥EF，根据垂径定理得到EK=FK=12EF=4，OE＝OG＝CD﹣OK＝8﹣OK，在Rt△EOK中由勾股定理列式OE2【解答】解：设小球与BC切于点G，取小球所在视图的圆的圆心为O，连接GO并延长交⊙O于点H，交EF于点K，连接OE，则GK⊥EF，∴EK=FK=12EF=4，OE＝OG＝CD在Rt△EOK中，（8﹣OK）2＝42+OK2，解得，OK＝3，∴OE＝OG＝5，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•朝阳区期末）在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是1≤x≤7．【考点】垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】1≤x≤7．【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，根据垂径定理得到AE＝BE＝3，CF＝DF＝4，再利用勾股定理计算出OE＝4，OF＝3，所以点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点E在以O点为圆心，3为半径的圆上，然后求出两圆上两点之间的最小距离和最大距离即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，AB＝6，CD＝8，则AE＝BE=12AB＝3，CF＝DF=12在Rt△OBE中，OE=OB在Rt△ODF中，OF=OD∴点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点E在以O点为圆心，3为半径的圆上，∵两圆上两点之间的最小距离为4﹣3＝1；两圆上两点之间的最大距离为4+3＝7，∴x的取值范围为1≤x≤7．故答案为：1≤x≤7．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2024秋•海曙区期末）已知⊙M与x轴交于点A（2，0），B（﹣6，0），与y轴交于点C（0，4），D（0，﹣3），则圆心M的坐标是M（﹣2，12）【考点】垂径定理；坐标与图形性质．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据点的坐标，画出图形，利用垂径定理及中点坐标公式求出点M的坐标即可．【解答】解：如图，由垂径定理可知点M的横坐标为-6+22=-2∴M（﹣2，12故答案为：M（﹣2，12【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质，画出图形是解答本题的关键．8．（2024秋•莱州市期末）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，圆心到水面AB的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为1米．【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】1．【分析】如图，作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB交AB于点E，交⊙O于点D，如图，∵OD⊥AB，∴AE=根据题意得：OE＝4米，设圆的半径为r米，则r=∵圆心到水面AB的距离为4米，∴5﹣4＝1（米），∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为1米，故答案为：1．【点评】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．（2024秋•南关区校级期末）如图，在⊙O中，弦AB=23，圆心O到AB的距离OC＝1，则⊙O的半径为2【考点】垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】由圆心O到AB的距离OC＝1可得OC⊥AB，根据垂径定理得到AC＝BC=3，然后根据勾股定理计算OB【解答】解：根据题意得OC⊥AB，∴∠BCO＝90°，AC＝BC=12AB在Rt△BOC中，OB=OC即⊙O的半径长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．10．（2024秋•天门期末）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝9m．【考点】垂径定理；勾股定理的应用．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】9．【分析】连接OA，由垂径定理求出AM，在Rt△AMO中利用勾股定理求出OM，根据CM＝OC+OM计算即可．【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OC＝5m．∵CO⊥AB，AB＝6m，∴AM=12AB＝3在Rt△AMO中利用勾股定理，得OM=OA2-∴CM＝OC+OM＝5+4＝9（m），∴隧道的最大高度CM＝9m．故答案为：9．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•合川区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）若CD＝5，EF=32，求（2）求证：AC＝BD．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）176（2）见解析．【分析】（1）由垂径定理得CF=DF=12CD=52，设CO＝r，由勾股定理得（2）由等腰三角形的性质得AF＝BF，即可得证．【解答】（1）解：由题意可得：CF=设CO＝r，则OF=∵CF2+OF2＝OC2，∴(r∴r=∴⊙O的半径为176（2）证明：∵OA＝OB，OF⊥AB，∴AF＝BF，由（1）得CF＝DF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．12．（2024秋•桓台县期末）如图，AB，DE是⊙O的直径，AC∥DE，AC与⊙O相交于点C．BE与EC的大小有什么关系？为什么？【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】证明见解析．【分析】连接OC，由等腰三角形的性质推出∠A＝∠OCA，由平行线的性质推出∠BOE＝∠A，∠COE＝∠OCA，因此∠BOE＝∠COE，即可证明BE＝EC．【解答】解：BE＝EC，理由如下：连接OC，∵AO＝CO，∴∠A＝∠OCA，∵AC∥DE，∴∠BOE＝∠A，∠COE＝∠OCA，∴∠BOE＝∠COE，∴BE＝EC．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．（2024秋•招远市期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN//GH．（1）作OC⊥MN于点C，求OC的长；（2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时水面截线减少了多少？【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】（1）OC的长7cm；（2）此时水面截线减少了18cm．【分析】（1）如图1：连接OM，由圆的性质可得OM＝25cm，再利用垂径定理得出MC＝24cm，再运用勾股定理计算即可解答；（2）如图2：过点O作OD⊥EF，垂足为点D，连接OE，利用勾股定理求出ED＝15，再利用垂径定理得出EF＝2ED＝2×15＝30，最后MN与EF相减即可解答．【解答】解：（1）如图1：连接OM，∵AB＝50，∴OM＝25cm，∵OC⊥MN，∴∠OCM＝90°，MC＝NC=12MN=12在Rt△OMC中，根据勾股定理得：OC2+242＝252，解得：OC＝7，∴OC的长7cm．（2）如图2：过点O作OD⊥EF，垂足为点D，连接OE，∴∠ODE＝90°，EF＝2ED由题意可知：OD＝7+13＝20cm在Rt△OED中，根据勾股定理得：202+ED2＝252，解得：ED＝15，∴EF＝2ED＝2×15＝30，∴48﹣30＝18，∴此时水面截线减少了18cm．【点评】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键．14．（2024秋•阳谷县期末）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是多少？【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接OA，OC交AB于点D，再由勾股定理得OD2＝OA2﹣AD2，然后计算即可求解．【解答】解：如图，连接OA，OC交AB于点D，即OC＝OA＝6m，∵AB＝8m，点C为运行轨道的最低点，∴AD=BD=12由勾股定理，得OD2＝OA2﹣AD2，即OD=∴CD=故点C到弦AB所在直线的距离是(6-2【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．15．（2024秋•信阳期末）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设AB所在圆的圆心为O，拱顶为点C，OC⊥AB交AB于点D，连接OB．当桥下水面宽AB＝8m时，CD＝2m．（1）求这座石拱桥主桥拱的半径；（2）有一条宽为7m，高出水面1m的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．【答案】（1）5m；（2）此渔船不能顺利通过这座桥，理由见解答过程．【分析】（1）根据垂径定理可得，AD＝BD，∠ODB＝90°，设主桥拱半径为R，则OD＝R﹣2，根据勾股定理即可求出半径R；（2）设CD的中点为E，过点E作CD的垂线交AB于MN，连接CN，再求出MN＝6，然后比较MN与矩形船的宽度即可得出答案．【解答】（1）解：∵OC⊥AB，AB＝8m∴AD＝BD＝4m，∠ODB＝90°，设主桥拱半径为R，则OB＝OC＝R，∴OD＝OC﹣CD＝R﹣2，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣2）2+42＝R2，解得：R＝5，∴这座石拱桥主桥拱的半径为5m．（2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，设CD的中点为E，过点E作CD的垂线交AB于MN，连接CN，∵CD＝2m，∴CE＝DE＝1m，由（1）可知：OC＝5m，∴OE＝OC﹣CE＝4（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN=∴MN＝2EN＝6＜7，∴此渔船不能顺利通过这座桥．【点评】本题主题考查了考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．3．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．4．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．5．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．6．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．7．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．8．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．9．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．10．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．