2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之线段的垂直平分线

第19页（共19页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之线段的垂直平分线一．选择题（共5小题）1．（2024秋•福山区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点2．（2024秋•曲阜市期末）如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（）A．87° B．62° C．90° D．93°3．（2024秋•惠安县期末）如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，BC的垂直平分线，若∠ABC＝100°，则∠DBF的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°4．（2024秋•交城县期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．155．（2024秋•滨城区期末）如图是一风筝的骨架图，点E是BD中点，且AC垂直于BD，若AB＝2cm，四边形ABCD的周长为16cm，则CD的长为（）A．2cm B．6cm C．7cm D．14cm二．填空题（共5小题）6．（2024秋•四会市期末）如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝7．（2024秋•招远市期末）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝3，△ABE的周长为11，则△ABC的周长为8．（2024秋•利辛县期末）如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝°．9．（2024秋•静安区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别是32cm和20cm，则BD的长为cm．10．（2024秋•阳谷县期末）如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE，若∠CDE＝65°，则∠ABE的度数为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•开封期末）如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为18cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．12．（2024秋•福山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．13．（2024秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，垂足为G．（1）求证：AB＝2CD；（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度数．14．（2024秋•兰州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．15．（2024秋•谷城县期末）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之线段的垂直平分线参考答案与试题解析题号12345答案AAACB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•福山区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线、中线和高．【答案】A【分析】用线段垂直平分线性质判断即可．【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．故选：A．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．2．（2024秋•曲阜市期末）如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（）A．87° B．62° C．90° D．93°【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】根据垂直平分线的性质得到∠DBE＝∠ECE＝31°，再根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝31°，由三角形内角和定理即可求解．【解答】解：由条件可知DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE＝31°，∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝31°，∴∠ABC＝62°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣62°﹣31°＝87°，故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握垂直平分线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．3．（2024秋•惠安县期末）如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，BC的垂直平分线，若∠ABC＝100°，则∠DBF的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，CF＝BF，求出∠A＝∠ABD，∠C＝∠CBF，再求出∠ABD+∠CBF＝80°，再求出答案即可．【解答】解：∵∠ABC＝100°，∴∠A+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∵DE、FG分别是线段AB、BC的垂直平分线，∴AD＝BD，CF＝BF，∴∠ABD＝∠A，∠CBF＝∠C，∴∠ABD+∠CBF＝∠A+∠C＝80°，∵∠BAC＝100°，∴∠DBF＝∠ABC﹣（∠ABD+∠CBF）＝100°﹣80°＝20°，故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于180°．4．（2024秋•交城县期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．15【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】连接DC，则DC＝BD，AD+BD＝AD+DC≥AC，若要△ABD的周长最小，则A，D，C三点共线，即D为AC与MN的交点，△ABD的周长为AB+AC，问题可解．【解答】解：连接DC，如图，∵AD，CD，AC是△ACD的三条边，∴AD+DC≥AC，∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9，∴DC＝BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14，故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键．5．（2024秋•滨城区期末）如图是一风筝的骨架图，点E是BD中点，且AC垂直于BD，若AB＝2cm，四边形ABCD的周长为16cm，则CD的长为（）A．2cm B．6cm C．7cm D．14cm【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质得到AD＝AB＝2cm，CB＝CD，由四边形ABCD的周长即可求出CD．【解答】解：由条件可知AD＝AB＝2cm，CB＝CD，∴AD+AB+BC+CD＝16cm，∴2CD+2+2＝16cm，∴CD＝6cm．故选：B．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•四会市期末）如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝5【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．7．（2024秋•招远市期末）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝3，△ABE的周长为11，则△ABC的周长为17【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】17．【分析】先根据作图过程得到EF垂直平分AC，然后根据线段垂直平分线得到AC＝2AD＝6，AE＝CE，再根据三角形的周长公式求得AB+BC＝11，进而可求解．【解答】解：由题意可知，EF垂直平分AC，∵AD＝3，△ABE的周长为11，∴AC＝2AD＝6，AE＝CE，∴AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝11，∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝11+2×3＝17，故答案为：17．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．8．（2024秋•利辛县期末）如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝44°．【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】44．【分析】连接OA、OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠CBO，计算即可．【解答】解：如图，连接OA、OC，∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，∴OA＝OC，OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，在△AOB和△COD中，OA=∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠ABO＝∠CBO，∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°，∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°，故答案为：44．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．9．（2024秋•静安区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别是32cm和20cm，则BD的长为6cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】6．【分析】根据垂直平分线上的点到两端距离相等，得出AE＝BE，进而得到AB为△ABC与△BCE的周长之差，即可求解．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，△ABC与△BCE的周长分别是32cm和20cm，∴AE＝BE，∴△BCE的周长C△BCE＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝20cm，∵△ABC的周长C△ABC＝AB+BC+AC＝32cm，∴AB＝C△ABC﹣C△BCE＝32﹣20＝12（cm），∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=12AB＝6（故答案为：6．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．10．（2024秋•阳谷县期末）如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE，若∠CDE＝65°，则∠ABE的度数为65°．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．【答案】65°．【分析】证明△ABE≌△CDE（SSS），推出∠ABE＝∠CDE，可得结论．【解答】解：如图，连接AE、CE，∵AC、BD的垂直平分线相交于点E，∴AE＝CE，BE＝DE．在△ABE和△CDE中，AB=∴△ABE≌△CDE（SSS），∴∠ABE＝∠CDE．∵∠ABE＝65°，∴∠CDE＝65°．故答案为：65°．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•开封期末）如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为18cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）8cm；（2）5cm；（3）60°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．【解答】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8（cm）；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝18cm，∴OA＝OB＝OC＝5（cm）；（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12．（2024秋•福山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【专题】作图题；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．（2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．（2）∵DF垂直平分线段AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=12∠DAC＝【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（2024秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，垂足为G．（1）求证：AB＝2CD；（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度数．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）23°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰三角形的性质等边对等角解答即可．【解答】（1）证明：∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=∴DC=∴AB＝2CD；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝69°，∴∠BCE＝23°．【点评】此题考查了直角三角形的性质等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质解答是解此题的关键．14．（2024秋•兰州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】常规题型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．15．（2024秋•谷城县期末）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】证明题．【答案】见试题解答内容【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE＝DE，得出点