2024-2025学年下学期初中数学北师大版七年级期中必刷常考题之频率的稳定性

第19页（共19页）2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级期中必刷常考题之频率的稳定性一．选择题（共5小题）1．（2024秋•揭阳期末）在一个不透明的盒子中装有30颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在0.6，则盒子中黑色棋子可能有（）A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗2．（2025•深圳模拟）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为24cm2的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（）A．36.8cm2 B．15.6cm2 C．37.8cm2 D．16.8cm23．（2024秋•莱州市期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（）次数2004006008001000频率0.210.290.300.320.33A．三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5 B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数 C．在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 D．掷一枚一元的硬币，正面朝上4．（2024秋•歙县期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能的是（）A．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 B．从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心” C．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 D．掷一枚硬币，正面朝上5．（2024秋•滨江区期末）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：每批粒数n100300400600100020003000发芽的粒数m9628238256794519122850发芽频率0.9600.9400.9550.9450.9450.9560.950则绿豆发芽的概率估计值是（）A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940二．填空题（共5小题）6．（2024秋•巩义市期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的8个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率约为0.6，估计袋中黑球有个．7．（2024秋•未央区期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干个黑球，将袋子的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋子中黑球有个．8．（2024秋•市北区期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为9．（2024秋•濠江区期末）某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表：草莓总质量n/斤2050100200500损坏草莓质量m/斤3.127.715.229.874.5草莓损坏的频率m0.1560.1540.1520.1490.149根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为．（结果保留两位小数）10．（2024秋•淮阳区期末）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，现向长方形内随机投掷小石子（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是m2．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•镇巴县期末）现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）501001502005008001000合格数4288141176445721900合格率0.84a0.940.88b0.900.90（1）填空：a＝，b＝；（2）估计任抽一件衬衣是合格品的概率．（结果精确到0.1）12．（2024秋•赣州期末）某水果公司新进了10000千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中：柑橘总质量（n/千克）损坏柑橘质量（m/千克）柑橘损坏的频率（mn505.500.11010010.500.10515015.150.10120019.420.09725024.350.09730030.93a35035.320.10140039.24b45044.570.09950051.54c（1）写出a＝，b＝，c＝（精确到0.001）．（2）估计这批柑橘的损坏概率为（精确到0.1）．（3）该水果公司以2元/千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到0.1）．13．（2024秋•宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996b295480601摸到白球的频率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝，b＝；（2）“摸到白球的”的概率的估计值是（精确到0.1）；（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？14．（2024秋•汉阴县期末）一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3．估计其中黑球的个数．15．（2024秋•禅城区期末）某水果店以2元/千克的成本购进2000千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题：（1）估计完好的橙子的质量约有千克；（2）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是1000元，每千克的售价应为多少元？（精确到0.1元）

2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级期中必刷常考题之频率的稳定性参考答案与试题解析题号12345答案CBDCB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•揭阳期末）在一个不透明的盒子中装有30颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在0.6，则盒子中黑色棋子可能有（）A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】C【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．【解答】解：设盒子中黑色棋子有x颗，根据题意可列方程：x30解得x＝18，经检验，x＝18是分式方程的解．∴盒子中黑色棋子可能有18颗．故选：C．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．2．（2025•深圳模拟）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为24cm2的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（）A．36.8cm2 B．15.6cm2 C．37.8cm2 D．16.8cm2【考点】利用频率估计概率；条形统计图．【答案】B【分析】先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可．【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在0.65左右，∴P＝0.65，∴不规则图案的面积为24×0.65＝15.6（cm2），故选：B．【点评】本题考查的是利用频率估算概率，条形统计图，熟知以上知识是解题的关键．3．（2024秋•莱州市期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（）次数2004006008001000频率0.210.290.300.320.33A．三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5 B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数 C．在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 D．掷一枚一元的硬币，正面朝上【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】D【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．【解答】解：A、三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5的概率为：13≈B、掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数的概率为26=C、在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率是13≈D、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率为12故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．4．（2024秋•歙县期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能的是（）A．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 B．从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心” C．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 D．掷一枚硬币，正面朝上【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布折线图．【专题】统计的应用．【答案】C【分析】由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即13【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即13A、掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2的概率为16B、从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”的概率为1354C、暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球的概率为13D、掷一枚硬币，正面朝上的概率为12故选：C．【点评】此题考查了用频率估计概率，掌握用频率估计概率是解题的关键．5．（2024秋•滨江区期末）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：每批粒数n100300400600100020003000发芽的粒数m9628238256794519122850发芽频率0.9600.9400.9550.9450.9450.9560.950则绿豆发芽的概率估计值是（）A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】B【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.950左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.950．故选：B．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•巩义市期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的8个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率约为0.6，估计袋中黑球有12个．【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用．【答案】12．【分析】由题意可知摸到黑球的概率为0.6，进而根据概率计算公式列分式方程求解即可．【解答】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率约为0.6，∴摸到黑球的概率为0.6，设袋中黑球有x个，由题意得：xx解得：x＝12，经检验，x＝12是原分式方程的解，即估计袋中黑球有12个，故答案为：12．【点评】本题主要考查了用频率估计概率，分式方程的应用，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题关键．7．（2024秋•未央区期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干个黑球，将袋子的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋子中黑球有14个．【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用．【答案】14．【分析】利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为30%，然后根据概率公式构建方程求解即可．【解答】解：设黑球有x个，根据题意得：66+解得：x＝14，经检验：x＝14是分式方程的解，所以估计袋子里黑球的个数是14个．故答案为：14．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．8．（2024秋•市北区期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为5.4cm2【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．【解答】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右则点落入黑色部分的频率稳定在1﹣0.4＝0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为9×0.6＝5.4（cm2）．故答案为：5.4cm2．【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．9．（2024秋•濠江区期末）某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表：草莓总质量n/斤2050100200500损坏草莓质量m/斤3.127.715.229.874.5草莓损坏的频率m0.1560.1540.1520.1490.149根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为0.15．（结果保留两位小数）【考点】利用频率估计概率；近似数和有效数字；统计表．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】0.15．【分析】根据利用频率估计概率得到随抽取次数的增多，草莓损坏率越来越稳定在0.15左右，由此可估计草莓的损坏率大约是0.15．【解答】解：根据表中的损坏的频率，当抽取次数次数的增多时，草莓损坏的频率越来越稳定在0.15左右，所以可估计草莓损坏率大约是0.15．故答案为：0.15．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．10．（2024秋•淮阳区期末）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，现向长方形内随机投掷小石子（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是5m2．【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；推理能力．【答案】5．【分析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．【解答】解：∵过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，∴不规则区域的面积是5×4×0.25＝5m2，故答案为：5．【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•镇巴县期末）现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）501001502005008001000合格数4288141176445721900合格率0.84a0.940.88b0.900.90（1）填空：a＝0.88，b＝0.89；（2）估计任抽一件衬衣是合格品的概率．（结果精确到0.1）【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表．【专题】概率及其应用；推理能力．【答案】（1）0.88；0.89（2）估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.9．【分析】（1）根据表格中总数和频率求解即可求出a和b；（2）由频率估计概率求解即可．【解答】解：（1）由表格中的数据可知，a＝88÷100＝0.88；b＝445÷500＝0.89，故答案为：0.88；0.89；（2）由表格中的数据可知，随着抽取件数的增加，合格频率稳定在0.9附近，估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.9．【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．12．（2024秋•赣州期末）某水果公司新进了10000千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中：柑橘总质量（n/千克）损坏柑橘质量（m/千克）柑橘损坏的频率（mn505.500.11010010.500.10515015.150.10120019.420.09725024.350.09730030.93a35035.320.10140039.24b45044.570.09950051.54c（1）写出a＝0.103，b＝0.098，c＝0.103（精确到0.001）．（2）估计这批柑橘的损坏概率为0.1（精确到0.1）．（3）该水果公司以2元/千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到0.1）．【考点】利用频率估计概率．【专题】统计与概率；数据分析观念．【答案】（1）0.103，0.098，0.103；（2）0.1；（3）每千克大约定价为2.8元时比较合适．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出a、b、c的值；（2）根据表格中的数据，可以估计这批柑橘的损坏概率；（3）根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．【解答】解：（1）由题意可得，a＝30.93÷300≈0.103，b＝39.24÷400≈0.098，c＝51.54÷500≈0.103，故答案为：0.103，0.098，0.103；（2）由表格可得，估计这批柑橘的损坏概率为0.1，故答案为：0.1；（3）设每千克大约定价为x元时比较合适，由题意可得：10000（1﹣0.1）x﹣2×10000＝5000，解得x≈2.8，答：每千克大约定价为2.8元时比较合适．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．13．（2024秋•宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996b295480601摸到白球的频率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝0.59，b＝116；（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数．【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．故答案为：0.59，116（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；故答案为：0.6（3）12÷0.6﹣12＝8（个）．答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．（2024秋•汉阴县期末）一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3．估计其中黑球的个数．【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】利用频率估计概率可得摸到黑球的概率为0.3，再利用概率公式求解可得出答案．【解答】解：∵经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3，∴估计摸到黑球的概率为0.3，∴20×0.3＝6（个），答：估计其中黑球的个数为6个．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．15．（2024秋•禅城区期末）某水果店以2元/千克的成本购进2000千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题：（1）估计完好的橙子的质量约有1800千克；（2）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是1000元，每千克的售价应为多少元？（精确到0.1元）【考点】利用频率估计概率．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】（1）1800；（2）2.8元．【分析】（1）根据图形即可得出橙子损坏率，再用整体1减去橙子损坏率即可得出橙子完好率，然后乘以2000即可得出答案；（2）设每千克的售价应为x元，根据每千克的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出x的值即可得出答案．【解答】解：（1）根据所给的图可得：橙子损坏率估计值为0.1，所以橙子完好率估计值为1﹣0.1＝0.9，所以估计完好的橙子的质量约有2000×0.9＝1800（千克）；故答案为：1800；（2）设每千克的售价应为x元，根据题意得：1800x﹣2000×2＝1000，解得：x≈2.8，答：每千克的售价应大约为2.8元．【点评】此题考查了利用频率估计概率，解题的关