2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之直角三角形

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之直角三角形一．选择题（共5小题）1．（2024秋•奉贤区期末）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1，b=3，c=2 B．b2＝（a+c）（aC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C2．（2024秋•永康市期末）如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（）A．22 B．1.8 C．﹣1+22 D．33．（2024秋•石狮市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠C＝∠A+∠B B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．a4．（2024秋•临淄区期末）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，CD＝2，则AD的长为（）A．6-23 B．43-4 C5．（2024秋•府谷县期末）如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（）A．30° B．15° C．60° D．25°二．填空题（共5小题）6．（2024秋•莱山区期末）如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为．7．（2024秋•崂山区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是．8．（2025•浙江一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为．9．（2024秋•广饶县期末）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，则△BEC的周长是．10．（2024秋•福山区期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．则这片绿地的面积是m2．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•萍乡期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD=3，AD＝1，且∠B＝90（1）∠BAD的度数．（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）12．（2024秋•周村区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．（1）△ACD是直角三角形吗？请说明理由；（2）求四边形ABCD的面积．13．（2024秋•开封期末）如图，为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，B，D分别为便利店和面馆，E为公路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A，D之间距离为250米，且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到便利店B的距离BE长为120米，到面馆的距离DE长为150米．（1）若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？（2）求面馆D到公路AC的距离．14．（2024秋•岚皋县校级期末）如图所示，已知等腰△ABC的底边BC＝3cm，D是腰AB上一点，且CD=5cm，BD＝（1）求证：CD⊥AB；（2）求△ABC的面积．15．（2024秋•纳雍县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD与∠DHE的度数．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之直角三角形参考答案与试题解析题号12345答案CCDDB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•奉贤区期末）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1，b=3，c=2 B．b2＝（a+c）（aC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵12+（2）2＝3＝（3）2，∴a2+c2＝b2，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B、∵b2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，∴b2+c2＝a2，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴此三角形是直角三角形，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题关键．2．（2024秋•永康市期末）如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（）A．22 B．1.8 C．﹣1+22 D．3【考点】勾股定理；实数与数轴．【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】C【分析】由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2，再由勾股定理求出BC＝22，则BA＝22，然后求出DA＝BA﹣BD＝22-2【解答】解：如图，由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2，∴BC=BD2∴BA＝22，∴DA＝BA﹣BD＝22-2∴数轴上点A所表示的数为22-2+1＝﹣1+22故选：C．【点评】本题考查了勾股定理以及实数与数轴等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2024秋•石狮市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠C＝∠A+∠B B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．a【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∵（c+b）（c﹣b）＝a2，∴c2﹣b2＝a2，∴c2＝a+b2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；D、∵（2）2+（3）2≠（6）2，∴△ABC不是直角三角形，符合题意，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和是180°是解题的关键．4．（2024秋•临淄区期末）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，CD＝2，则AD的长为（）A．6-23 B．43-4 C【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】D【分析】延长BC和AD交于点E，根据题意可推出∠CED＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求得DE，AE，即可得到答案．【解答】解：延长BC和AD交于点E，如图，由题意可得：∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵∠CDE＝90°，∴∠E＝90°﹣60°＝30°，∵CD＝2，∠E＝30°，∴CE＝2CD＝2×2＝4，∴DE=∵∠B＝90°，AB＝4，∠E＝30°，∴AE＝2AB＝2×4＝8，∴AD=故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．5．（2024秋•府谷县期末）如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（）A．30° B．15° C．60° D．25°【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAE＝45°，再根据三角形外角性质求解即可．【解答】解：∵∠E＝45°，∠D＝90°，∠DAE+∠D+∠E＝180°，∴∠DAE＝45°，∵∠DAE＝∠F+∠ABF，∠F＝30°，∴∠ABF＝15°，故选：B．【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•莱山区期末）如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为24．【考点】勾股定理．【专题】推理能力．【答案】24．【分析】由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△ABC直角边重合，故内部四个小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长，利用勾股定理得到AB的长度，然后计算△ABC周长即可．【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角△ABC直角边平移得到的，∵AC＝6，BC＝8，∴AB=AC由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△ABC直角边重合，∴内部四个小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长，∴内部四个小直角三角形的周长为：AB+AC+BC＝10+6+8＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部四个小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长是解题的关键．7．（2024秋•崂山区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是18．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】18．【分析】连接AC，根据S4＝S2+S3﹣S1即可得出结果．【解答】解：如图，连接AC，∵S1＝8，S2＝11，S3＝15，∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15，在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得，AC2＝AB2+BC2＝26，∴CD2＝AC2﹣AD2，∴CD2＝26﹣8＝18，∴S4＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了勾股定理，正确得出S4＝S2+S3﹣S1是解题的关键．8．（2025•浙江一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为16．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；推理能力．【答案】16．【分析】根据勾股定理求出AB的长，再分别求出以AC为直径的半圆的面积与以BC为直径的半圆的面积以及以AB为直径的半圆的面积与△ABC的面积，即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB=AC2以AC为直径的半圆的面积=πr2以BC为直径的半圆的面积=πr2以AB为直径的半圆的面积=πS△ABC=∴S阴影＝8π+2π+16﹣10π＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理，半圆面积的计算，正确得出阴影部分面积的计算方法是解题的关键．9．（2024秋•广饶县期末）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，则△BEC的周长是16．【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】16．【分析】先利用勾股定理求得AC＝10，再利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．【解答】解：∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，∴AC=∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝10，BC＝6，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝16．故答案为：16．【点评】此题主要考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．10．（2024秋•福山区期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．则这片绿地的面积是114m2．【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】114【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理逆定理求出△ACD为直角三角形，利用分割法求出绿地的面积即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC=∵CD＝17m，AD＝8m，∵152+82＝172，∴AC2+AD2＝CD2，∴△ACD为直角三角形，∠DAC＝90°，∴绿地的面积=12AB•BC+1=12×9×12+＝54+60＝114（m2）．故答案为：114．【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟知以上知识是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•萍乡期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD=3，AD＝1，且∠B＝90（1）∠BAD的度数．（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积；勾股定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，进而可求出∠BAD的度数；（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．【解答】解：（1）连接AC，∵AB＝BC＝1，∠B＝90°∴AC=又∵AD＝1，DC=∴（3）2＝12+（2）2即CD2＝AD2+AC2∴∠DAC＝90°∵AB＝BC＝1∴∠BAC＝∠BCA＝45°∴∠BAD＝135°；（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝1×1×12=1【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（2024秋•周村区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．（1）△ACD是直角三角形吗？请说明理由；（2）求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）是，见解析；（2）212【分析】（1）根据勾股定理得出AC=32，CD=22，AD（2）根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下，∵AC=CD=∴AC2+CD2＝（32）2+（22）2＝26，∵AD2＝52+12＝26，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD=1=1=21【点评】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．13．（2024秋•开封期末）如图，为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，B，D分别为便利店和面馆，E为公路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A，D之间距离为250米，且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到便利店B的距离BE长为120米，到面馆的距离DE长为150米．（1）若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？（2）求面馆D到公路AC的距离．【考点】勾股定理；两点间的距离．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】（1）350米；（2）150米．【分析】（1）根据勾股定理求出BD，进而求出AB，在干净勾股定理求出AE；（2）根据勾股定理的逆定理得到∠AED＝90°，根据点到直线的距离解答即可．【解答】解：由题意可知：∠ABE＝∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，DE＝150米，BE＝120米，由勾股定理得：BD=DE∴AB＝AD﹣BD＝250﹣90＝160（米），∴AE=AB∴小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，两人的总路程为：200+150＝350（米）；（2）∵DE2+AE2＝1502+2002＝62500，AD2＝2502＝62500，∴DE2+AE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴面馆D到公路AC的距离为150米．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．14．（2024秋•岚皋县校级期末）如图所示，已知等腰△ABC的底边BC＝3cm，D是腰AB上一点，且CD=5cm，BD＝（1）求证：CD⊥AB；（2）求△ABC的面积．【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）证明见解析．（2）98【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得△DBC为直角三角形，进而即可求证；（2）由等腰三角形的性质得AB＝AC，利用勾股定理求出AB，再根据三角形的面积公式计算即可求解．【解答】（1）证明：∵等腰△ABC的底边BC＝3cm，CD=5cm，BD＝∵22+（5）2＝32，即BD2+CD2＝BC2＝9，∴△DBC为直角三角形，且∠BDC＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵△ABC为等腰三角形，BC为底边，∴AB＝AC，设AB＝AC＝a，则AD＝（a﹣2）cm，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD2+CD2＝AC2，即(a解得a=∴AB=∴S△【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键．15．（2024秋•纳雍县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD与∠DHE的度数．【考点】直角三角形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再根据∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD代入数据计算即可得解；然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DHE＝∠BAD+∠AEH计算即可得解．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，由三角形的外角性质得，∠DHE＝∠BAD+∠AEH＝42°+90°＝132°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

考点卡片1．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．2．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．3．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．4．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．5．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．6．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．7．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一