控制工程基础－计算机采样控制系统(2)学习资料

2025/4/15第九章计算机采样控制系统1控制工程基础第八章计算机采样控制系统（2）陈凤祥

2025/4/15第九章计算机采样控制系统2主要内容

采样控制系统的数学模型采样控制系统的性能分析本章小结2025/4/15第九章计算机采样控制系统3脉冲传递函数（1）其脉冲传递函数G(z)定义为：在零初始条件下，系统（或环节）输出采样脉冲函数的Z变换和输入采样脉冲函数的Z变换之比称为系统（或环节）的脉冲传递函数或Z传递函数。脉冲传递函数的定义:对于如下线性时不变采样系统(或环节）2025/4/15第九章计算机采样控制系统4脉冲传递函数（2）

一个采样系统，输出实际上是连续信号。为了能应用脉冲传递函数描述该系统，可以人为在输出端虚设一个与输入同步采样的采样开关，以该采样开关的采样脉冲输出信号作为该系统或环节的输出信号。如下图所示：G(s)G(z)r(t)C(t)2025/4/15第九章计算机采样控制系统5脉冲传递函数（3）单位脉冲响应：当理想脉冲函数激励一个系统（或环节）G(s)时，系统的响应称为“系统的单位脉冲响应”。系统的传递函数根据定义可求出G(s)2025/4/15第九章计算机采样控制系统6脉冲传递函数（4）

同理：当理想采样脉冲函数激励一个系统（或环节）G(s)时，系统产生响应“单位脉冲响应”。的采样脉冲序列为亦称权序列。

根据Z传递函数定义，系统的Z传递函数.

或G(s)相反2025/4/15第九章计算机采样控制系统7脉冲传递函数（5）以上的分析表明：

一个系统（或环节）脉冲传递函数就是该系统（或环节）单位脉冲响应的采样脉冲序列g(kT)的Z变换。通常系统（或环节）的传递函数G(s)是已知的，由G(s)可求出其单位脉冲响应函数g(t），再对离散化后的单位脉冲时间序列求Z变换，从而求得系统的脉冲传递函数G(z)。因此，也常用以下的符号表示求一个系统的Z变换即符号、和、是等价的。2025/4/15第九章计算机采样控制系统8脉冲传递函数（6）如果系统的输入为任意函数的采样脉冲序列，其Z变换为R(z),则由脉冲传递函数定义其反变换脉冲传递函数的求法1)由连续系统（或环节）的传递函数G(s)求相应离散系统(或环节）的脉冲传递函数可以采用下例的部分分式法。2025/4/15第九章计算机采样控制系统9脉冲传递函数（7）例：对以下采样系统求当时的脉冲传递函数G(z).解：2025/4/15第九章计算机采样控制系统10脉冲传递函数（8）2.根据系统的差分方程求系统的Z变换已知一个系统（或环节）的差分方程该系统（或环节）的脉冲传递函数，可通过对差分方程的两边分别求Z变换直接得到2025/4/15第九章计算机采样控制系统11脉冲传递函数（9）环节串联时的脉冲传递函数

两种不同的串联结构：1.两连续环节间有采样开关隔开2.两连续环节间无采样开关隔开

实际系统是由一些基本环节组成的，环节之间又以一定的方式相互联系着。最基本的联系形式有三种：串连、并联和反馈。2025/4/15第九章计算机采样控制系统12

脉冲传递函数（10）1.有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传递函数等于各环节的脉冲传递函数之积。

将X(z)代入C(z)

2.没有采样开关分隔的两环节串联时，其脉冲传递函数为各个环节传递函数乘积的Z变换。注意！2025/4/15第九章计算机采样控制系统13脉冲传递函数（11）例9[9-9]以上的结论可以推广到n个串联环节情况；1)2)2025/4/15第九章计算机采样控制系统14脉冲传递函数（12）环节并联时的脉冲传递函数

带保持器的广义控制对象脉冲传递函数控制器T2025/4/15第九章计算机采样控制系统15脉冲传递函数（13）

为控制对象的传递函数；为保持器的传递函数；2025/4/15第九章计算机采样控制系统16脉冲传递函数（14）令并根据前面介绍的环节串、并联脉冲传递函数求取方法，参照上图，则带保持器的广义控制对象脉冲传递函数故2025/4/15第九章计算机采样控制系统17脉冲传递函数（15）例:已知控制对象传递函数，求广义控制对象的脉冲传递函数。解：利用分式法

2025/4/15第九章计算机采样控制系统18脉冲传递函数（16）其中：2025/4/15第九章计算机采样控制系统19脉冲传递函数（17）2025/4/15第九章计算机采样控制系统20脉冲传递函数（18）采样控制系统的闭环脉冲传递函数与连续系统不同，采样系统的闭环脉冲传递函数与闭环系统的结构有密切的关系。以下面的闭环采样系统为例，介绍系统闭环脉冲传递函数的求取2025/4/15第九章计算机采样控制系统21脉冲传递函数（19）闭环系统的脉冲传递函数为：闭环传递函数的推导步骤：1)

在主通道上建立输出与中间变量的关系；

2)

在闭环回路中建立中间变量与输入的关系；

3)

消去中间变量，建立和的关系。；2025/4/15第九章计算机采样控制系统22脉冲传递函数（20）一种典型的闭环采样系统脉冲传递函数在求取系统闭环脉冲传递时，要特别注意采样开关在系统中的环节间的具体位置2025/4/15第九章计算机采样控制系统24脉冲传递函数（20）闭环采样系统的的响应系统输入为单位阶跃2025/4/15第九章计算机采样控制系统25脉冲传递函数（20）用多项式除法求出2025/4/15第九章计算机采样控制系统26采样控制系统的稳定性分析（1）

平面和平面间的映射关系：将带入Z,则

S平面Z平面虚轴： 单位圆上：右半平面：，单位圆外：左半平面：，单位圆内：

;2025/4/15第九章计算机采样控制系统27采样控制系统的稳定性分析（2）2025/4/15第九章计算机采样控制系统28采样控制系统的稳定性分析（3）在Z平面上是同一点。

S平面与Z平面之间的映射关系是“多对一”的关系，即在左半S平面上每个宽的带状区域都映射到Z平面上同一单位圆内。令

则2025/4/15第九章计算机采样控制系统29采样控制系统的稳定性分析（4）设闭环采样系统的脉冲传递函数式中为系统的特征方程设即故2025/4/15第九章计算机采样控制系统30采样控制系统的稳定性分析若D(z)有k个不相同的实根（即有k个不相同的极点）（i=1,2…k)，则C(z)可分解为：则2025/4/15第九章计算机采样控制系统31采样控制系统的稳定性分析（5）对上式求Z反变换，得暂态分量稳态分量如果系统稳定，随着时间的增长，即K时有显然，只有当D(z)=0所有的根得模时，上述条件才能满足。也即，只有当闭环系统特征方程所有的根都位于Z平面单位园内，系统才是稳定的。2025/4/15第九章计算机采样控制系统32采样控制系统的稳定性分析（6）采样系统的劳斯（Routh）稳定判据：当系统的阶数高于两阶时须采用代数判据的方法对系统的稳定性进行判定。为了能利用劳斯判据需进行复平面的线性变换（Z平面W平面）。具体的作法是：令代入采样系统的特征方程，进行变换后，即可在平面中利用劳斯判据判断采样系统的稳定性。双线性变换：即令变量变换对，进行Z平面与W平面的相互变换。2025/4/15第九章计算机采样控制系统33采样控制系统的稳定性分析（7）在Z平面中在W平面中将Z和W带入变换式整理后，得到可见：对应W平面的虚轴；对应W平面的左半W平面；对应W平面的右半W平面；2025/4/15第九章计算机采样控制系统34采样控制系统的稳定性分析（8）例[9-11]

采样系统的框图如右图所示，试确定系统稳定的K值范围。解：系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数及特征方程为将代入，则有2025/4/15第九章计算机采样控制系统35采样控制系统的稳定性分析（9）结论：采样系统较模拟系统稳定性变差，采样系统的稳定性与采样周期T有直接关系，一般采样周期T越大，相对稳定性越差。当采样频率增高时，系统的稳定性会得到改善。从这个意义讲：如有可能应尽可能提高系统的采样频率。列劳斯判据表若使系统稳定，应有2.74-0.63k>0和0.63k>0。也即k值的范围为0<k<4.352025/4/15第九章计算机采样控制系统36采样控制系统的稳态误差分析（1）误差的脉冲传递函数：离散控制系统可按开环脉冲传递函数中含有的极点个数而分为0型，和型等系统。III单位阶跃输入作用下：定义位置误差系数：采样系统的稳态误差及误差系数：2025/4/15第九章计算机采样控制系统37采样控制系统的稳态误差分析（2）单位速度输入作用下：定义速度误差系数：单位加速度输入作用下：定义加速度误差系数：采样系统特点：

1）稳态误差与采样周期大小有关；

2）上述结果仅反映了采样时刻的稳态误差。2025/4/15第九章计算机采样控制系统39采样控制系统的动态响应分析（1）闭环采样系统的脉冲传递函数：设闭环脉冲传递函数的极点为