直线、平面垂直的判定与性质（解析版）

第25节直线、平面垂直的判定与性质

基础知识要夯实

i.直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法.

②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直.

③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个

平面.

(2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.

②垂直于同一个平面的两条直线平行.

③垂直于同一条直线的两平面平行.

文字语言图形表示符号表示

l-La)

一条直线与一个平面内的两条lib

判定定理相交直线都垂直，则该直线与aC\b=O>=/_La

此平面垂直aua

1bua>

b

两直线垂直于同一个平面，那a.La\

性质定理\=>a//b

么这两条直线平行T

2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法.

②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

(2)平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于支线的直线垂直于另一个平面.

［难点正本疑点清源］

1.两个平面垂直的性质定理

两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂

直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点尸作平面的垂线，通常是先作(找)

一个过点P并且和a垂直的平面小设例1a=/,在P内作直线0_1/,则a_La.

2.两平面垂直的判定

(1)两个平面所成的二面角是直角；

(2)一1个平面经过另一■平面的垂线.

基本技能要落实

考点一线面垂直的判定与性质

【例11(2020•全国II卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2巾,B4=P2=PC=AC=4,O

为AC的中点.

(1)证明：POJ_平面48C；

(2)若点M在棱BC上，且MC=2Affi,求点C到平面POM的距离.

【解析】(1)证明因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点,

所以。尸_LAC,且。尸=26.

J71

连接.因为AB=BC=—AC,所以ZVIBC为等腰直角三角形，＜OB1AC,OB=-AC=2.

22

由。尸+。鼠=尸32知，OP±OB

由OP_LOB,OP±AC5.0BC}AC=0,知尸。_L平面ABC.

(2)解作CHLOM,垂足为H

又由⑴可得OP_LCH,所以CH_L平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离.

124A/2

由题设可知OC=—AC=2,CM--BC=------,ZACB=45°.

233

所以OM=2亚OCMCsinNACB4A/5

CH=

OM

所以点C到平面POM的距离为逑.

5

［方法技巧］1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(〃〃/?,〃_La=/?_La);(3)面面平行的性质(〃_LQ,a〃夕今Q_L£);

(4)面面垂直的性质(aJj?,aC\f)=a,ILa,Zcy?=>/±a).

2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与

性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

【跟踪训练】

1.如图，等腰梯形45。中，对角线AC与30交于点P,点E,尸分别在两腰A。，5c上，EF

过点P,且EF〃A5,则下列等式中成立的是()

A.AD=BCB.AC=BDC.PE=PFD.EP=PF

【答案】D

【解析】根据相等向量的定义，分析可得与不平行，AC与3。不平行，所以AD=BC，

UUULUUIU

AC=BD均错误•PE与PF平行，但方向相反也不相等，只有EP与PF方向相同，且大小都等于

线段E尸长度的一半，所以EP=PE•故选：D

2.(2020•南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC—AiBiCi中，已知A8_L侧面381clC,AB=BC

=1,BBi=2,ZBCCi=60°.

⑴求证：8G_L平面ABC；

(2)E是棱CG上的一点，若三棱锥E—A3C的体积为普，求线段CE的长.

【解析】⑴证明平面2&GC,BC1U平面班1CC，

：.AB.LBClt

在ACBG中，BC=1,CG=BBi=2,ZBCCi=60°,

由余弦定理得BC{=BC2+CC?-2BC-CCi-cosZBCCi=12+22-2x1x2cos60°=3,:.BC\=6,

：.BC2+BCl=CCl,：.BC±BCi,

又AB,BCu平面ABC,BCHAB^B,ABC.

]1x/3

(2)解•.NB，平面BBiGC,：.VE-ABC^VA—EBC=—S^BCE-AB=—S^BCE'i=-----，

3312

石11石

SABCE=—=-CEBCsin/BCE=-CE—,：.CE=1.

4222

考点二面面垂直的判定与性质

【例2］如图，在四棱锥尸一ABC。中，AB//CD,AB±AD,CD=2AB,平面B4O_L底面ABC。,

PALAD,E和尸分别是CD和PC的中点，求证：

p

(1)B4_L底面ABC。；

(2)BE〃平面PAD-,

(3)平面8E/U平面PCD.

【证明】(1)：平面底面48CD,

且B4垂直于这两个平面的交线AD,E4u平面B4D

底面A8CD

(2)-：AB//CD,CD=2AB,E为CD的中点，

：.AB//DE,5.AB=DE.

四边形ABED为平行四边形.

J.BE//AD.

又平面E4£),AOu平面必£),

〃平面PAD.

(3)VAB±A£),而且ABE。为平行四边形.

：.BE±CD,ADLCD,

由(1)知B4_L底面ABCD,CZ)u平面ABCD,

：.PAVCD,>PAHAD^A,PA,AOu平面B4Z),

.•.CD_L平面必£),又P£)u平面E4D,

J.CDLPD.

,/E和/分别是CD和PC的中点，

J.PD//EF.

CDYEF,又BELCD且EFCBE=E,

：.CO_L平面BEF,又COu平面PCD,

平面BE凡L平面PCD.

【方法技巧】L证明平面和平面垂直的方法：⑴面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.

2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直,

然后进一步转化为线线垂直.

【跟踪训练】

1.(如图，在四棱锥S-ABCO中，底面ABC。是梯形，AB//DC,/ABC=90。，AD=SD,BC=CD

=-AB,侧面SA£)_L底面ABCD.

2

⑴求证：平面S8Z)_L平面SAQ；

(2)若/SZM=120。，且三棱锥S—BCD的体积为唱，求侧面ASAB的面积.

⑴证明设BC=a,则C£)=a,AB=2a,由题意知△BCD是等腰直角三角形，且/2。。=90。,

则6a,ZCB£>=45°,

所以NAB£>=NABC—NC8D=45。，

^AABD中，

AD=VAB2+BD2-2AB£>Bcos45O=区,

因为4。2+8。2=4々2=482,所以BO_LA。，

由于平面SAD_L底面ABCD,平面SADCl平面ABCD=AD,BOu平面ABCD,

所以8O_L平面SAD,

又8Du平面SBD,所以平面S8O_L平面SAD.

(2)解由⑴可知AD=SD=J^a,在△54。中，NSD4=120。，SA=2SDsin60。=指a

作阳，A。，交A。的延长线于点X,

A/6

贝(ISH^SDsin60°=—tz,

2

由(1)知fiD_L平面SAD,

因为S”u平面SAD所以

又4008。=。，所以SH_L平面A8CZ),

所以S”为三棱锥S-BCD的高,

g、i”_1V61V6

所以Vs-BCD-----x----QX—xa---------

32212

解得4=1.

s

由平面SAD,SDu平面SAD,可得BDLSD,

则SB=^SET+BD1=V2+2=2.

又4B=2,SA=46,

在等腰三角形S8A中，

边SA上的高为J4--=叵,

\22

则ASTIB的面积为LXy/6=@5.

222

达标检测要扎实

一、单选题

1.在空间中，下列命题是真命题的是（）

A.经过三个点有且只有一个平面

B.平行于同一平面的两直线相互平行

C.如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

D.如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面

【答案】D

【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；

平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；

由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；

如果两个相交平面冬"垂直于同一个平面7,且aB=l,则在平面a、夕内分别存在直线”，〃垂

直于平面由线面垂直的性质可知〃//1,再由线面平行的判定定理得血/口，由线面平行的性质得

出加〃/,贝l"_L7,故D正确；故选：D

2.如图，在棱长为1的正方体ABC。-AgCQ中，点尸在线段上运动，则下列命题中错误的是

()

A.直线PC和平面所成的角为定值

B.点尸到平面GB3的距离为定值

C.异面直线C|P和C4所成的角为定值

D.直线CD和平面BPG平行

【答案】A

【解析】对A,由平面当点P分别在点A或2时，线面角不一致，故A错误；

对B,由ADJ/BC\,BQu平面CtBD,AD,<z平面ClBD，所以AR//平面C（BD,

所以点P到平面C{BD的距离为直线AD,上任意点到平面C.BD的距离，故B正确

对C,由平面C/3即平面BQ=B.

A民BGu平面ABG2,所以C耳，平面ABCS，所以C与，C/，故C正确

对D,由平面C/B即平面ABC12，CDHCR,CQu平面ABCQ,

CDC平面A3GD，所以8〃平面ABG2,所以D正确故选：A

3.在如图所示的棱长为20的正方体ABCD-中，点M为8的中点，点P在侧面ADDX\上,

且到A2的距离为6,到AA的距离为5,则过点P且与AM垂直的正方体截面的形状是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】B

【解析】如图所示，过点尸作所〃AR分别交"，DR于点瓦/，因为AR，4，可得匹，AQ,

在正方体A8CD-a4GR中，。。_1平面4。24，所以EF_LCD

又CDA。=。,所以EF_L平面,a。U平面MD\，所以A。，EF

过尸作交于AA点K,则PK=6,设KF=x

FKKPx6

则AE=AF,所以年=丁丁，即仁=仁,则无=6

FAAtE\E\F

所以4歹=AK+"=5+6=ll

在正方形4瓦£2中，取CA的中点M],连接肱％,AM1

则与VRGN,则=NDG

所以NA©1/+=2NDM+/乌4/=90。,即儿叫±D、N

取4G的中点N,过F作FH//DN交BG于点H,连接RN,则人叫，

又MM,1平面A4G。，所以MMX，EH,由MM{c人叫=监

所以FHL平面所以切，4加

又EFcFH=F,所以平面EF”

连接8C一过a作HG//BG，由BG//AR,则BCJAFE,所以HG//FE（且HGHFE）

连接EG,则四边形EEHG为梯形，所以4加，平面EFHG

所以截面的形状为四边形边形EFHG.

故选：B.

4.如图，正方体A8CD-4862的棱长为1,线段42上有两个动点E,F,且历=孝，则三棱锥

A-3EF的体积为（）

CfD.不确定

【答案】A

【解析】由题可知，正方体ABCZ）-A4GR的棱长为1,

则42//平面ABC。，又E,歹在线段3Q上运动，

EF〃平面45CD,

...点8到直线片口的距离不变，

由正方体的性质可知BB11平面A与CQ，则BBJEF,

而EF=,BB]=1,

故二BEF的面积为立"1=,

224

又由正方体可知，AC.LBD,AC±BBlf且BDcBB1=B,

.•.人。_1平面3与9。，则AC_L平面BE厂，

设AC与50交于点0,则AO_L平面BEF,

点A到平面BEF的距离为A0=—,

2

“_1V2V2_1

•.VARFF——XX---------

A-BEF34212

故选：A.

5.如图.A3是圆的直径，PA1AC,PA1BC,C是圆上一点（不同于A,B）,S.PA=AC,则二

A.ZPACB.ZCPAC.ZPCAD.ZCAB

【答案】C

【解析】C是圆上一点（不同于A,B）,AB是圆的直径,

/.ACLBC,PA1BC,ACr>PA=A,即3C_L面尸AC,而PCu面PAC,

BCLPC,又面ABC}^PBC=BC,PCcAC=C,

由二面角的定义：/PC4为二面角P-BC-A的平面角.故选：C

6.如图1,已知B4BC是直角梯形，AB//PC,AB±BC,。在线段PC上，AD±PC.将△B4D沿A。

折起，使平面平面ABCD,连接PB,PC,设尸8的中点为N,如图2.对于图2,下列选项

错误的是（）

A.平面平面P8CB.8c，平面尸。C

C.PDLACD.PB=2AN

【答案】A

【解析】图1中AD±PC,则图2中PDLAD,

又•.•平面以。_1_平面ABC。，平面B4OA平面A8C£)=Ar),

平面ABC。，则POLAC,故选项C正确；

由PDJ_平面ABCD,P£)u平面PDC,得平面PDC_L平面ABCD,

而平面尸。CD平面ABCZ)=C。，BCu平面ABC。，BC±CD,

.,.BC,平面PDC,故选项B正确；

,：ABLAD,平面以D_L平面ABC。，且平面以AH平面ABCD=AD

平面贝UA2LB4,即△B4B是以尸3为斜边的直角三角形，

而N为尸8的中点，则PB=2AN,故选项D正确.

由于3C_L平面PDC,又BCu平面P8C

平面尸3C_L平面PDC

若平面B4B_L平面PBC,则平面PAB与平面PDC的交线_L平面PBC

由于AB//平面POC,则平面%B与平面尸DC的交线//AB

显然AB不与平面P2C垂直，故A错误故选：A

7.如图，正方体ABCD-A瓦GR中，E为A2中点，尸在线段。。上.给出下列判断：①存在点尸使

得AC，平面8山月；②在平面4瓦£2内总存在与平面片斯平行的直线；③平面4EF与平面ABC。

所成的二面角(锐角)的大小与点尸的位置无关；④三棱锥B-4E尸的体积与点尸的位置无关,其中

正确判断的有()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

【解析】对于①，假设存在/使得AC，平面与E/，则4C,耳E,又BCJ_B]E,scnAC=c,

平面4BC,则与这与48_LA与矛盾，所以①错误；

对于②，因为平面4M与平面A与GR相交，设交线为/,则在平面AgGR内与/平行的直线平行

于平面2e歹，故②正确；

对于③，以。点为坐标原点，以ZM所在直线为尤轴，DC所在直线为y轴，DR所在直线为Z轴，

建立空间坐标系，则平面ABCD的法向量为根=（0,0,1）而平面2山厂的法向量〃，随着/位置变化，

故平面8出厂与平面A3C。所成的二面角（锐角）的大小与点P的位置有关，故③错误；

对于④，三棱锥8-4EF的体积即为二棱锥尸-3月片，因为OR〃平面A844,所以，当p在线段

OR上移动时，/到平面A3及A的距离不变，故三棱锥也尸的体积与点尸的位置无关，即④正

确.故选：D.

8.已知正三棱锥A-3CF和正四棱锥A-3cDE的所有棱长均为2,如图将三棱锥A-3CF的一个

面和正四棱锥A-3CDE的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法不

正确的是（）

A.AF//CDB.AFLDE

C.新几何体为三棱柱D.正四棱锥A-BQ组的内切球半径为2-0

【答案】D

【解析】取BC的中点“，E»E的中点N,连AM、FM、MN、AN,如图：

因为正三棱锥A-BCF和正四棱锥A-BCDE的所有棱长都为2,

所以BC±AM,AN1,DE,

又FMAM=M,所以BC,平面4WF,

因为BC/ADE,所以3c_LAN,

因为AMAN=A,所以BC_L平面AAW,

所以平面AMF与平面重合，

因为AF=ACV=2,FM=AN=>/3,

所以四边形"MN为平行四边形，

所以AP//MN,又MNHCD,所以AF//CD,故A正确；

因为CDLOE,所以AF1DE,故B正确；

因为AF〃CD,AF=CD,所以四边形AR2D为平行四边形，

同理得四边形"BE也为平行四边形，

所以CF〃AD,因为CF<z平面ADE,A£>u平面ADE,所以CF〃平面ADE,

同理得〃平面ADE,因为CFBF=F,所以平面3cF//平面ADE,

又AF〃C。〃班，根据棱柱的定义可得该新几何体为三棱柱，故C正确；

设正四棱锥A-3CDE的内切球半径为R,

因为正四棱锥A-BCDE的高为抵-（夜）

由1X0X22=，R（4X立x2?+22）得R="二&,故D不正确.故选：D.

3342

二、多选题

9.如图，点P在正方体4BCD-A与G2的面对角线BG上运动，则下列结论中正确的是（）

A.三棱锥A-P片2的体积不变

B.DP//平面

C.^PIBD,

D.平面ACP_L平面PB£)

【答案】ABD

【解析】对于A一的面积是定值,Mg,ARu平面ABQ,BQ<z平面ABR,

BG〃平面A42,故P到平面ABd的距离为定值，

三棱锥P-A42的体积是定值，即三棱锥A-尸片2的体积不变，故A正确；

对于B,ADt//BCl,BlDl//BD,AD、nBiDl=,BC{cBD=B,

平面A与，//平面BDG，OPu平面BD，，二。尸〃平面故B正确;

设正方体ABCD-A4G2的棱长为2,P在BG上，故可设尸（。,2,0）,噫02,

则4(2,0,0),8(2,2,2),R(0,0,0),

AP=(〃—2,2,〃)，BD[=(—2,—2,—2),

贝!]AiP-BDX——2(a—2)—4—2。=—4a不一定为0,

，4尸和ED】不垂直，故C错误;

对于D,设尸(a,2,a),那以2,

则4(2,0,0),C(0,2,2),5(2,2,2),(0,0,0),0(0,0,2),

42二(。一2,2,〃)，4。=(一2,2,2),DP=(a,2,a-2),DB=(2,2,。),

设平面平面ACP的法向量〃=(%,y,z),

n-AiP=(a-2)x+2y+az=02-laa

取X=1,得〃=1，

〃•AC=—2x+2y+2z=02—a2—a

设平面PBD的法向量加=(a,b,c),

则]机.DP=ax+2y—az=Q

\m-DB=2x+2y=0取1=1得加=

.2-2aa„

m•几=1-------------------=0.

2—Q2—a

平面ACP和平面pen垂直，故D正确.故选：ABD.

io.如图所示，棱长为i的正方体ABCO-AAGR中，P为线段AB上的动点(不含端点)，则下列

结论正确的是()

平面平面

A.RA]P_LA]APB.AP-DCt不是定值

c.三棱锥4-ofc的体积为定值D.DC,±DtP

【答案】ACD

【解析】A.因为是正方体，所以2AJ■平面AAP,24u平面口4尸，所以平面24尸，平面4入尸，

所以A正确；

B.APDQ=(可+4尸>。。1=9.。弓+42一。。1

=|A4；||£>Q|cos45+|AP||£>C1|cos90'=1X^X^-=1,故Q•璃'=1,故B不正确；

c.vBl-D]PC=Vp-B]Dlc，瓦2c的面积是定值，A2//平面片QC,点尸在线段上的动点，所以点尸

「、

到平面BRC的距离是定值,所以VBDPC=Vp-BlDlc是定值，故C正确;

D.DCX±，DCt±A.B,A{D{4，所以DC】_L平面ARP,u平面ARP,所以£>G，已尸，

故D正确.故选：ACD

11.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、

三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.下面以四

角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面

所成的锐二面角为凡这个角接近30。，若取8=30。，侧棱长为石■米，贝！I()

A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米

C.正四棱锥的侧面积为24百平方米D.正四棱锥的侧面积为12g平方米

【答案】AC

【解析】

如图，在正四棱锥S-中，

。为正方形ABCD的中心，”为AB的中点，

贝I]SH_LAB,

设底面边长为2”.

因为NSHO=30。，

所以OH=AH=a,OS=^a,SH.

33

在RttSAH中，/+]—a=21,

所以。=3,底面边长为6米，

5=、6*2昌4=246平方米.故选：AC.

2

12.正方体42。-A4GR,的棱长为4,已知AG，平面a,AC、u/3,则关于a、△截此正方体所

得截面的判断正确的是（）

A.a截得的截面形状可能为正三角形B.AA与截面a所成角的余弦值为逅

3

C.a截得的截面形状可能为正六边形D.6截得的截面形状可能为正方形

【答案】ABC

【解析】如图

因为正方体A8cr)-a4GR

/.AC±BD,BD±CCj,XVACCQ=C

8£)_L平面ACGA

又,:AGu平面ACC0

AC1±BD

同理：AQ±\D

又；AJDcBD=D

：.AC1，平面A/Q

平面a可以是平面AB。，又因为AQ=BO=4B

ABD为等边三角形，故A正确

取AR,CD,C8,BBt,4耳的中点瓦G,P,K,H,F并依次连接

〃1

易知£G=jA。，因为EGa平面48。，A^u平面ABO

••.EG』平面Af。

同理：GP平面AfD

又因为EGGP=G且EGu平面EGPK/*,GPu平面EGPK斯

/.平面EGPKHF//平面AXBD

：.平面a可以是平面EGPKHF

•：EG=GP=PK=KH=HF=FE

二.六边形EGPKHF是正六边形,故C正确

以平面a是平面A3。为例计算：设A到平面的距离为〃

等体积法求距离

•^A-AjBD~KA,-ABD，•,可人.S4即=~*SABD

又因为S4B»=；x4&x4夜xW=8若,sABD=1x4x4=8

，，乙

,,4G

.•n=---------

3

则A4与平面ABD所成角的正弦值为二=坐

A43

余弦值等于逅，故B正确

3

对于D选项：由于直线AGu〃，在正方体上任取点但异于AG，与AG可构成平面夕，但是截面

的形状都不是正方形，故D错误故选：ABC

三、填空题

13.如图，己知棱长为2的正方体A8C。-A4GR中，点尸在线段8。上运动，给出下列结论：

②平面PBD11平面4G。；

③点p到平面a。。的距离为定值名8；

3

④存在一点P,使得直线AP与平面BCG片所成的角为三.

其中正确的结论是.

【答案】②③

【解析】对于①，当尸在C点时，DD.1AC,

异面直线AC与。2所成的角最大为5，

当户在4点时，异面直线A片与所成的角最小为N〃QC=:,

ITTT

所以异面直线相与。2所成的角的范围为,故①错误；

对于②，如图，因为AC，旦4氏42,48u平面8瓦。,所以aG，JBA,同理

OCJBA,又因为AG。。产6^^/^匚平面必6厮以四口平面人。。，所以平面尸8。口平

面AG。，故②正确;

对于③，因为用c〃A2AC0平面AG，AOu平面AG。,所以片c〃平面A。。，所以点尸到平面

AG。的距离为定值,且等于即心即华,故③正确；

对于④，直线"与平面BCG片所成的角为N4PB,tanZAPB=—,

当BP_LBiC时，BP最小,tanNAPB最大，最大值为&<tan4,故④不正确,

故答案为：②③.

14.正四棱柱A3Cr)-A4G2中，AB=4,的=2若.若M是侧面BCC4内的动点，且AM_LMC,

则AtM与平面BCQBi所成角的正切值的最大值为,

【答案】2.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，设点则4(4,0,0),C(0,4,0)用(4,4,2指b

:.CM=(m,09n),AM=(m-4,4,zz),又AM_LMC,

WAM-CM=m2-4m+n2=0,BP(m-2)2+n2=4；

又A用!平面BCCA,NAMg为与平面所成角,

令机=2+2cosd〃=2sin仇8w[0,司,

tanZAMB,=坐^=,4

B'M'(加_盯+(〃一2⑹°

_______________4______________________4

J(2COS"2)2+(2sin"2灼'.20-16sin,+工

TT

，当，时，tanNAMB1最大，即与平面BC，片所成角的正切值的最大值为2.

故答案为：2

15.已知圆锥的顶点为S,母线&4,SB所成角的余弦值为以与圆锥底面所成角为45。，若△SA3

O

的面积为5而，则该圆锥的侧面积为

【答案】400无

【解析】因为母线以，S3所成角的余弦值为：，所以母线&4,S3所成角的正弦值为姮，因为

88

△SAB的面积为5岳，设母线长为/，所以1x/x姮=5a产=80,

28

因为SA与圆锥底面所成角为45。，所以底面半径为/cos：=[j,

因此圆锥的侧面积为〃/=@兀/2=400兀.

2

16.如图，把边长为。的正方形ABCD沿对角线2。折起，使A、C的距离为。，则异面直线AC与

BD的距离为.

【答案】一##—a##0.5a

22

【解析】分别取AC、的中点S、E,连接AE、CE、SB、SD、SE.

AE1BD,CELBD,又AEICE=E，则8D_L平面ACE,则SE_L如

ACLSD,ACLSB,又SDcSB=S,则AC_L平面SBZ),则SE_LAC

则SE是异面直线AC与BD的公垂线段

△中，SB=SD=B。，BD=ga，则SE亚Y1

-----Q二—CL

2

2J2

则异面直线4c与8。的距离为］故答案为：■!

四、解答题

17.如图长方体ABCD-aqGR中，AB=AD=l,M=2,点E为。R的中点.

(1)求证：82〃平面ACE；

(2)求证：口平面ACE；

(3)求二面角A-CE-Q的余弦值.

【解析】(1)连接8。交AC与点。，连接。E

四边形ABC。为正方形，.•.点。为8。的中点

又点E为OR的中点，•.・OE〃BR

OEu平面ACE,B)①平面ACE

〃平面ACE

B

(2)连接用。,ABX

2

由勾股定理可知E8I=，2+I2+||：=百，B1(9=J2+Qj+Qj=^-

*"则B-嗨

EBi1OE

2

同理可证与序+AE=AB；,EB}±AE

AEcOE=E,AE,OEu平面ACE

EB{±平面ACE

(3)建立如下图所示的空间直角坐标系

A(1,O,O),C(O,1,O),£(0,0,1),£(0,1,2),Bx(1,1,2)

显然平面CGE的法向量即为平面yDz的法向量，不妨设为m=(1,0,0)

由(2)可知匹|，平面ACE,即平面ACE的法向量为〃=£耳=(1,1,1)

m-n力

cos〈zn,〃)

|m|•|n|3

又二面角A-比-a是钝角

二面角A-CE-G的余弦值为一,

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，△/%£）是等腰直角三角形，ZDPA=90°,底面A3CD是直角梯

形，其中AB_LA£>,AD=2,AB=^3,BC=1,PB=£,

P

（1）证明：PC_L平面PAD；

（2）求二面角D-P3-C的正切值.

【解析】（1）取AD中点。，连接。。,尸。，

因为△上位>为等腰直角三角形，且/加4=90。，所以「OLAD且尸O=AO=DO=gAD=l,

因为AD〃BC,所以3C_LPO,

又因为3C〃AO,3C=AO=1,且ABLAD,所以四边形BCQ4为矩形，

所以BCJ_OC,且OCOP=O,所以3C_L平面尸OC,

所以BCLPC,所以ADLPC

则PC=叵存京1=BPD^PO+D。=叵,CD=JcO+D。=2,

所以尸C'+P/y=CZ)2=4,所以PC_LPD,

又因为AD_LPC且尸DcAD=D,所以PC_L平面PAD；

p

(2)记DBCO=E,取PC中点尸，连接EF,过点尸作RS,交尸3于G点，连接EG,BO,

因为D0//3C,00=3C=1,所以四边形OOBC是平行四边形，所以E为CO中点，

又因为尸为PC中点，所以EF//PO,EF=gpO=g,

22

因为尸C_L平面PAD,所以PC_LPO,

又因为「OLAD,所以「且尸CcBC=C,所以尸0,平面PBC,

所以£F_L平面尸BC,所以EF_LPB,

又因为FG_LPB,且PGEF=F,

所以尸3,平面EfG,所以EB_LEG,

所以二面角D-PB-C的平面角为/EGF,

因为sinNCPB笔笔,所以国=否，所以PG=也，

PBPF6

2

又因为EF_LFG,所以tanNEG尸=里=!><二=亚.

FG2屈2

19.如图，AB是圆。的直径，B4垂直于圆。所在的平面，〃是圆周上任意一点，ANLPM,垂足

为N,AEUB,垂足为E.

F

M

(1)求证：平面以ALL平面PBM.

(2)求证：/AEN是二面角A-PB-M的平面角.

【解析】(1)因为雨垂直于圆。所在的平面，所以PA_L8Af,又NAMB为直径所对的圆周角，所

以而PAAM=A,故面而BMu面PBW,所以平面E4M_L平面P2M.

(2)由(1)知，5M_1面上4M，所以BM_LA7V,而®V_LPM,所以4VJ_面PMB,

即有AN_LPB,又AELPB,所以PB_L面AEN,由此可得尸3_L£2V,而AE_LPB,

根据二面角的定义可知，/AEN是二面角A-P8-M的平面角.

20.如图所示，在直三棱柱ABC-A与£中，侧面AAjGC为长方形，AAt=1,AB=BC—2,

ZABC=120,AM^CM.

(1)求证：平面AA〈1C，平面C1〃B；

(2)求直线\B和平面CiMB所成角的正弦值；

(3)在线段43上是否存在一点T,使得点T到直线MG的距离是巫，若存在求AT的长，不存在说

3

明理由.

【解析】（1）由于A8=3C,AM