一次方程（组）综合测试（含详解）2025年中考数学一轮复习

（5）一次方程（组）（综合测试）——中考数学一轮复习考点精炼与

综测

【满分：120】

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知二元一次方程组:2"—'—5,则％—y的值为（）

x-2y=1

A.2B.6C.-2D.-6

2.已知关于x的方程x-5=T"有整数解，则正整数m的值为（）

A.4B.4或0

C.4或2或6D.4或0或-2或-6

3.某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架,已知甲种型号无人机架数比总架数的一半

多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机x架，乙种型号无

人机y架，根据题意可列出的方程组是（）

%二;(%+))+

x=5(x+y)T11

AJ

y=§(x+y)+2y=*+y)_2

x=§(x+y)Ti%=§(x+y)+ii

D.《

y=1(x+y)-2

4.如果=〃必，那么下列等式中不一定成立的是（）

A.ma+l=mb+lB.ma—3=mb—3C.——ma=——mbD.a=b

22

5.下表中给出的是某月的月历，任意选取“/r型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的

数学知识来研究,发现这7个数的和不可能是（）

二

日―*二四五六

1246

78913

1415161820

21222324252627

28293031

A.63B.84C.96D.105

6.若关于的方程组产in的解满足x+尸—3,则m的值是（）

3x+2y=2m-35

3

A.-2B.-lC.OD.-

2

7.“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花,若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30

元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

8.关于x,y的二元一次方程组产+'=5%的解也是二元一次方程2x+3y=-6的解，则左的值

x-y=9k

是（）

A.2B.-2C._D.-i

4433

9.已知关于x,y的二元一次方程组/+'=4-3相，则关于代数式x-y的值的说法正确的是

x-3y=3m-5

（）

A.随机增大而增大

B.随机减小而减小

C.既可能随机增大而增大，也可能随机减小而减小

D.与m的大小无关

1。.若关于玲的二元一次方程组产+的解为[x=T,则方程组1x+的

a2x+b2y=c2=l[a2x+2b2y=c2-a2

解为（）

1

x=2X=——

CJDJ2

b=-l

J=2

Ixl—x+y——2...

IL若x、y是两个实数，且II-,，则xV等于()

_\y\-x-y=i

16

AnB.-----c-|D

--f27i

12.已知关于x,y的二元一次方程组［芯+3'=4-",给出下列结论中正确的是（）

x-y=3a

①当这个方程组的解关，y的值互为相反数时，a=-2；

②当。=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2a的解；

③无论。取什么实数，x+2y的值始终不变；

④若用x表示y,则y=-

'-22

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题（每小题3分，共15分）

13.在我国东汉年间编订的数学经典著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有三人公车，二车

空；二人公车,九人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车,

则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车,则可列

一元一次方程为.

h,21

14.符号〃”称为“二阶行列式”，规定它的运算法则为°=ad4c,则i-x>1=1中％

caca-------------

26

的值为.

15.已知关于x、y的二元一次方程组「+了=5—则4》2一4孙+/的值为___.

x-2y=m+l

16.已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位

数字大4,则这首歌的歌词的字数是..

17.对于代数式机,〃，定义运算“③”：m区rz=m+n6，例如：402=4+2~6,

mn4x2

AR

（x-l）0（%+2）=——+-----，贝14+23=.

x~lx+2

三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）

18.（6分）解方程

⑴6gx-+2x=7-x-1）

2x+l=1_x-l^

63

19.（8分）阅读材料：小强同学在解方程组（2x+5y=3,时，采用了一种，，整体代换，，解法：

[4x+lly=5②

将方程②变形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5…③，把方程①代入③得：2x3+y=5即

X=4

y=-l,把y=-l代入方程①，得九=4,所以方程组的解为

U=T

请你解决以下问题

⑴模仿小强同学的“整体代换”法解方程组/*+5）'=16；

6x+lly=35

,用口、Twr[2x2-xy+3y2=24

⑵已知x,y满足万程组《,

'[6x2+4xy+9y2=51

⑴求到的值；

（ii）求出这个方程组的所有整数解.

20.（8分）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下:

一次性购物优惠办法

少于200元不予优惠

200元（含200元）到500元（含500元）之间九折优惠

超过500元八折优惠

（1）若王老师一次性购物600元，他实际付款_____元.若王老师实际付款270元,他一次性购物

_____元；

（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当200<%<500时，他实际付款元.当x>500时，他实

际付款元,节省了________元；（用含尤的代数式表示）.

⑶如果王老师两次购物货款合计850元,设第一次购物货款为a元（200＜。＜300）,用含a的代

数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？当。=250元时，王老师共节省了多少元？

21.（10分）随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了

一股网球热，与网球有关的用品销量剧增,某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个,

两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示：

甲乙

成本（元/个）180320

售价（元）230400

⑴该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍

各多少个？

（2）经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍a百个，乙网球拍b百个（a/

均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方

案？该厂家最少需投资多少万元？

22.（12分）【阅读材料】把几个数用大括号括起来,相邻两个数之间用逗号隔开，如：｛152｝,

｛1,2,3｝,...,我们称之为集合,其中的每一个数称为该集合的元素（集合中的元素不能重复）.如果

一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时,8-x也必是这个集合

的元素，这样的集合我们又称为黄金集合.例如：｛1,7｝就是一个黄金集合.

【回答问题】根据以上信息，请你解答下列问题.

⑴集合｛0,8｝黄金集合，集合｛-1,8｝黄金集合.（填“是”或“不是”）

（2）请你任意写出一个含有四个元素的黄金集合.

⑶已知集合｛a,。｝,｛c｝是黄金合力是方程包*匚=2-空P的解，求。的值.

341214

（4）请你直接写出任意两个含有三个元素的黄金集合.

23.（13分）对于任意一个三位数m,将个位数字和百位数字对调后得到新的三位数n,记

尸=%2±,若P为整数，则称也为“有趣数”，此时的P值称为机的“有趣值”.例如：432对调

22

后的三位数为234,贝l」P=-------------=9,9为整数，厂.432为“有趣数”.

22

(1)试判断826,326是否为“有趣数”.

(2)若/和s都是“有趣数”，且满足了=100x+42,s=120+y(l<x<9,l<y<9,且x,y

均为整数)，把/和s的“有趣值”分别记片和鸟，满足片-2£=36,求出满足条件的三位数/和

S.

答案以及解析

1.答案：A

2x-y=5®

解析:

x-2y=l®，

①+②得:3x—3y=6,

:.x-y=2.

故选A.

2.答案：A

解析：x-5=-mx

x+mx-5

(l+m)x=5

5

x=---

1+m

%为整数，加为正整数,

m=4,

故选：A.

3.答案：B

解析：设甲种型号无人机无架，乙种型号无人机y架,

♦・•甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，

九=；（元+y）+ll

•・•乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架

y=§(x+y)―2

%=g(%+y)+ii

联立可得：

1

y=++加2

3

故选：B.

4.答案：D

解析：ma=mb,

・••根据等式的性质可得,

A、〃口+1=〃力+1成立,不符合题意；

B、“74-3=77方-3成立,不符合题意；

C、-匕7匐=-匕7访成立，不符合题意；

22

D、当机=0时,“以=mab成立，但得不到a=b，原选项错误，不符合题意；

故选：D.

5.答案：C

解析：设“F型框中的正中间的那个数为x,则其他6个数分另U为x—8,x—6,x-l,x+l,x+6,

x+8,

所以这7个数的和为x+x—8+x—6+x—l+x+l+x+6+x+8=7x.

A、若7尤=63，解得尤=9,结合月历可知，成立，则此项不符合题意；

B、若7x=84，解得尤=12，结合月历可知，成立，则此项不符合题意；

C、若7尤=96，解得x=电，不是正整数，不成立，则此项符合题意；

7

D、若7x=105解得了=15，结合月历可知成立，则此项不符合题意；

故选：C.

6.答案：A

2x+3y=4①

解析:

3x+2y=2m-3(2)

由①+②可得：5x+5y=2m+l,

.2m+1

・・%+y=--一,

•••关于种的方程组?x+3y=4的解满足X+y=,

3x+2y=2m-35

.2m+13

•・----=—,

55

解得：m=-2,

故选：A.

7.答案：B

解析：设可以购买X支康乃馨,y支百合,

依题意，得：2x+3y=30,

y=10--x.

3

均为正整数,

x=3*=6或vx=9…x=12

_或＜,或＜

y=8[y=6y=4b=2

.••小明有4种购买方案.

故选：B.

8.答案：A

解析：＜'①+②得：2x=14左，即x=7左，将x=7左代入①得：7k+y=5k,即

x-y=9左②

y=-2k,将x=7Z，y=-2左代入2x+3y=6得：14左一6左=6，解得：k=—•故选：A

4

9.答案：D

得：则％—工，所以的值与根的

解析：＜x+y=4-3m2%—2y=—l,y=—x—y

x-3y=3m-5②2

大小无关，故选：D

10.答案：B

Na-%整理可得j4(x+l)+24＞=G

解析：将方程组

,

a2x+2b2y=c2-a1%(x+l)+26,y=C2

卬的解为[x=-l

•.•关于的二元一次方程组.

a2x+b2y=c2g

x——2

X+1——1AR

所以可得，解得＜1・

[2y=ly=—

2

故选：B.

n.答案：c

方程组无解;

解析：当x»0,y20时，原方程组为："—-2,

y-X-y=\

当尤之0,y<0时，原方程组为：，尤―x+y=—2,解得*=3,y=_2;

-y-x-y=l

当xWO,y»0时，原方程组为：(―x—x+)，=—2,方程组无解；

y_X_y=i

当xWO,y<0时，原方程组为：1—x-"+)’=-2,方程组无解；

-y-x-y=l

x=3

综上得，原方程组的解为：一，

b=-2

X》=3-2x(-2)3=-1,

故选：C.

12.答案：C

解析：关于x,y的二元一次方程组[*+"二4丁①，

[x-y=3a®

①+②得，2x+2y=4+2a,

即：x+y=2+a,

⑴①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y=O时，即2+。=0,

a=-2,故①正确，

(2)②原方程组的解满足x+y=2+a,

当a=l时，x+y=3,

而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6,

因此②不正确，

(3)方程组f+3y=4K①,解得,x=2a+1

[x-y=3a@y=l-a

二.X+2y=2a+l+2—2。=3,

因此③是正确的，

、〈wex+3y=4-a①

(4)万程组,三,

[x-y=3a®

由方程①得，a=4-x-3y代入方程②得，

x-y=3（4-x-3y）>

x3

即nn；y=——+-,

22

因此④是正确的，

故选：C.

13.答案：3（x-2）=2x+9

解析：设共有x辆车，

依题意得：3（尤-2）=2尤+9,

故答案是：3（x-2）=2x+9.

14.答案：—

5

,21

ab

解析：：=ad-bc,i--i=1,

cd--x--x--

26

.cx—11—X.

..2x-------------=1,

62

去分母得：2（x-l）-3（l-x）=6,

去括号得：2x-2-3+3x=6,

移项得：2x+3x=6+2+3,

合并同类项：5%=11,

系数化为1得：x=y.

故答案为：

5

15.答案：36

解析：方程组两边相加求出2x-y=6,再把原式分解后代入即可求出值.

解：尸尸5-加，

x-2y=m+l

①+②得：2x-y=6,

则原式=（2x-y）2=36,

故答案为36.

16.答案:84

解析：设这首歌的歌词的字数的十位数字为x,个位数字为y,

由题意得：==2〉，

x-y=4-

解得：F=8,

J=4

即这首歌的歌词的字数为84,

故答案为：84.

17.答案：5

x-l+x+2—62x-5

解析:（工一1）※（犬+2）二

(x-l)(x+2)(x-l)(x+2)

AB_A(x+2)+8(%—1)_(A+JB)%+2A—5

x-1x+2(x-l)(x+2)(x-l)(x+2)

A+B=2

由题意，得:

2A-B=-5

A=-l

解得：«

B=3

：.A+2B=-l+2x3=5.

故答案为：5.

18.答案：（l）x=6

4

解析：⑴去括号得,3x-24+2x=7-gx+1,

移项合并同类项得：更x=32,

3

解得：x=6；

(2)去分母得,2x+l=6—2(%—1),

去括号得：2x+l=6-2x+2,

移项合并同类项得：4x=7,

解得：x=L

4

’1

19.答案：(1)方程组的解为

。=3

(2)(i)孙=—3

x=3

(ii)原方程组的所有整数解是

{y=1Iy=­i

3x+5y=16①

解析：(ib

6x+lly=35②

将方程②变形：6x+10y+y=35,

即2(3x+5y)+y=35③，

把方程①代入③得：2x16+y=35,

解得y=3,

把y=3代入方程①，得》=；，

’1

所以方程组的解为x=§；

。=3

2d一孙+39=24①

(2)(i)原方程组化为/,-'三

3(2f一冲+3力+7孙=51②

将①代入方程②得：72+7孙=51,

・\xy=-3；

(ii)由(i)得孙=—3,

与y是整数,

x——1_x—3_x——3_x—1

或4或＜或＜

y=3[y=-l。=1b=-3

由(i)可求得2/+3/=21,

y——3V—3

•••和一一符合题意，

。=1U=-i

Y——3x—3

故原方程组的所有整数解是一或一.

、y=ily=-i

20.答案:(1)480,300

(2)0.9%,0.8%,0.2%

(3)实际付款为：0.1a+680元；王老师共节省了145元

解析：⑴王老师实际付款为：600x0.8=480(7E);

设王老师一次性购物x元，依题意得,0.9x=270,

解得：%=300；

(2)当200<x<500时，

实际付款=0.9尤；

当x>500时,

实际付款=0.8光，

止匕时节省=0.2尤；

(3)..•王老师第一次购物货款为a元(200<a<300),

•••王老师第二次购物货款为850-a元(850-a>500),

王老师二次购物实际付款为:

0.9a+(850—a)x0.8=0.la+680元,

当时，王老师共节省了:

0.1x250+(850-250)x0.2=145元.

21.答案：(1)生产甲品牌的网球拍3000个,生产乙品牌的网球拍2000个

(2)有两种，厂家最少需投资152万元

解析：(1)设生产甲品牌的网球拍x个,生产乙品牌的网球拍y个,

x+y=5000,

根据题意得：

180%+320y=11800005

x=3000,

解得

y=2000

答：生产甲品牌的网球拍3000个,生产乙品牌的网球拍2000个；

(2)根据题意得：

(3000+100a)(230-180)+(2000+1005)(400-320)=400000,

整理得：5a+86=90,

Q

a=18——b,

5

又.。力都为正整数,为5的正整数倍，

a=10,[a=2.

b=51b=10

(a=10,,

当1时,3000+100^7=4000,2000+100b=2500,

b=5

需投资：4000x180+2500x320=1520000(元)，

当尸2,时，

1^=10

3000+100。=3200,2000+100/?=3000,

需投资：3200x180+3000x320=1536000(7U),

又1520000<1536000,

最少投资1520000元，

答：厂家生产方案有两种：生产甲网球拍4000个，乙网球拍2500个；生产甲网球拍3200个,

乙网球拍3000个；厂家最少需投资152万元.

22.答案：⑴是，不是

(2){2,3,5,6}(答案不唯一)

(3)6

(4){3,4,5},{2,4,6}(答案不唯一)

解析：(1)根据题意可得,8—0=0,8—8=0,

集合{0,8}是黄金集合.

8-(-1)=9,而集合{-1,8}中没有元素9,故{-1,8}不是黄金集合；

故答案为：是,不是；

（2）8—2=6,8—6=2,8—3=5,8—5=3,

二.｛2,3,5,6｝是黄金集合，

故答案为：｛2,3,5,6｝（答案不唯一）;

⑶口+Zzl=2—上，

3412

4（5y+4）+