中考数学解题方法专项训练：压轴题之猜想证明类（原卷版+解析）

54第12章压轴题之猜想证明类

一、单选题

1.如图，ZACB=90°,AC=BC,CD平分NACB,点。，E关于对称，连接并延长，与的延长

线交于点R连接OE,CE.对于以下结论：

①。E垂直平分CB；②AD=BE；③/尸不一定是直角；④E尸+。尸=23）2.

其中正确的是（）

A.①④B.②③C.①③D.②④

2.如图，过nABCD的对角线上一点K作"W/ABCPQ//A瓦肱V分别交ABCD于点Af.N,PQ

分别交AD,BC于点P,Q,那么图中四边形QCNK的面积航与四边形AMKP的面积邑的大小关系是

c.S1<S2D.不能确定

3.已知AABC的三条边长分别为6,8,12,过AABC任一顶点画一条直线，将AABC分割成两个三角

形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

4.如图，在AABC中，AB^AC,NE4c=90°,直角ZEPF的顶点尸是3c中点，PE、P尸分别交

AB^AC于点E、F.给出以下四个结论：①AE=CF；②AEPF是等腰直角三角形；③

SmAEPF=^S^BC；®EF=AP.上述结论正确的有（）

C.3个D.4个

5.如图，在AA3C中，ZACB=90%AB=5,BC=3,尸是46边上的动点（不与点3重合），将ABCP

沿CP所在直线翻折，得到AB'C。，连接3'A,则下面结论错误的是（）

A.当AP=5P时，AB'HCP

B.当AP=BP时,NB'PC=2NB'AC

17

C.当CPLAB时，AP=—

D.3'A长度的最小值是1

6.如图，AA3C中，NA=90°,。是AC上一点，且NADB=2NC,P是3C上任一点，PELBD于

点E，P尸，4c于点下列结论：①AD3C是等腰三角形；②NC=30°；③PE+PF=AB；④

A.①②B.①③④C.①④D.①②③④

7.横、纵坐标均为整数的点称为整点.如图，一列有规律的整点，其坐标依次为（1,0）,（2,0）,（2,1）,（1,1）,

（1,2）,（2,2）,…，根据这个规律，第2019个整点的坐标为（)

A.（45,6）B.（45,13）C.（45,22）D.（45,0）

8.如图，已知：在等腰RtZXABC中，ZBAC=9Q°,BE平分NABC,交AC于E且CELBE于点E,

BC边上的中线A。交BE于G,连接。E,则下列结论正确的是（）

①AG=AF；②DE〃AB；③BF=2CE；®AB+AF>BC；⑤BG=6CE

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

9.如图，在AABC中，ZBAC=90%A。是高，盛是中线，是角平分线，Cb交A。于点G,交

①AABE的面积=ABCE的面积；

②ZAFG=ZAGF；

③NE4G=2ZACF；

@BH=CH.

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

10.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF,使点E点F分别在边

AD,BC±（不与四边形ABCD顶点重合），连结EB,EC设ED=kAE,下列结论：①若k=l,则BE=

CE；②若k=2,则AEFC与△OBE面积相等：③若△ABEg/^FEC,贝|EFLBD.其中正确的是（）

A.①B.②C.③D.②③

二、填空题

11.如图，在Rt/VlBC中，ZBAC=90°,/ABC的平分线交AC于D过点A作AE_L8C于E,交BD于

G,过点。作于R过点G作G//〃BC,交AC于点H,则下列结论：①NBAE=NC；②S3G：

SAEBG=AB：BE；③NADF=2/CDF；④四边形AGF。是菱形；⑤CH=DF.其中正确的结论是

12.已知：如图，ZABC=ZADC=90°,M、N分别是AC、的中点，AC=10,BD=S,则MN=

13.如图，在AABC中，AD平分44C,AB^AD,N1=N2,3E与AD的延长线交于E,连接EC.过

AGEF

A作AFLEC于R,交BC于G.下列结论：®ZAEB=ZACB；②BE=CD；③S-GC=--一；

④/2=2/3中，其中正确的有（填序号）.

14.如图，矩形A3CD中，48=5,8。=3,点£在边的）上（不与4。重合），将矩形沿CE折叠，使点A,B

分别落在点尸,G处有下列结论：

①NFED与NGCD互余;

②若C。平分4ECG,则tanZBCE=-

3

AF4

③若直线FG经过点D,则——=—

ED5

④若直线FG交边AD,CD分别于N,当&DMN为等腰三角形时,五边形ABCNM的周长为11应.其

中正确结论的序号是.

Q

15.已知点A(a,》)是反比例函数y=—(x>0)图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函

k

数y=；(x>0)的图象于点5、C,交坐标轴于。、E，且AC=3CD,连接BC.现有以下四个结论:①左=2；

②在点A运动过程中，A4BC的面积始终不变；③连接OE,则④不存在点A,使得

AABCSAOED.其中正确的结论的序号是.

三、解答题

16.已知AABC在平面直角坐标系内的位置如图，ZACB=90°,AC=BC=5,OA、OC的长满足

关系式(OA—4『+|OC-3|=0.

(1)求OA、OC的长；

(2)求点B的坐标；

(3)在x轴上是否存在点P,使AACP是以AC为腰的等腰三角形.若存在，请直接写出点P的坐标，若

不存在，请说明理由.

17.如图，在AABC中，AB^AC,/胡。=150°，点。在边3C上，将沿AD折叠，点3的

对应点为点R,点G在边3C上，将AACG沿AG折叠，点C的对应点也为点

(1)NORG的度数为.

(2)设N54D=e,当a为何值时，ADFG为等腰三角形？

(3)△DFG能否为直角三角形？若能，请求出相应的a值：若不能，请说明理由.

18.问题提出：

(1)同一平面内的两条线段A6和3C,已知AB=3,BC=2,则线段AC最大值是；最小值是

问题探究：

(2)如图，四边形A3CD中，A5=4,AD=2,CB=CD,且/BCD=60°,问AC是否存在最大

值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

问题解决：(自行作图并解决)

(3)在ZvW石中，AE=5BE",以AB为一边作正方形A3CD，连接CE,问CE是否存在最

大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由.

19.(1)阅读理解：如图1,在△ABC中，若AB=10,AC=6.求3C边上的中线A。的取值范围.解

决此问题可以用如下方法：延长A。到点E，使DE=AD，再连接盛(或将八48绕着点。逆时针旋

转180。得到AEBD),把AB,AC,2AZ)集中在AAB石中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD

的取值范围是；

cFD

A

A

B

图1图2图3

（2）问题解决：如图2,在AABC中，。是3c边上的中点，DE上DF于点D,DE交AB于点、E，DF

交AC于点连接"，求证：BE+CF>EF

（3）问题拓展：如图3,在四边形A3CD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶

点作一个70。角，角的两边分别交AB，A。于E，/两点，连接防，探索线段BE，DF,之间的

数量关系，并加以证明.

（1）特殊情况入手探索：

当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与03的大小关系.请你直接写出结论：AE切（填

“>"，"<"或’="）

图1

（2）一般情况进行论证:

对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与AEBD全

等来证明.以下是他们的部分证明过程：

证明：如图2,过点E作石尸/ABC,交AC于点（请完成余下的证明过程）

图2

（3）应用结论解决问题：

在边长为3的等边三角形A5C中，点E在直线上，且AE=1，点。在直线3C上，ED=EC.贝I

CD=（直接写出结果）

21.（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分NMON,PCLOM于C,PBXON

于B,则PBPC（填“>”“〈”或“=”）；

SAB

（2）探索：如图2,小明发现，在AABC中，AD是/BAC的平分线，则资晅=丁，请帮小明说明原

,△ADCAC

因.

（3）应用：如图3,在小区三条交叉的道路AB,BC,CA上各建一个菜鸟驿站D,P,E,工作人员每天

来回的路径为P-DTE-P,

①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？

②若NBAC=30。，SAABC=10,BC=5,贝！IPD+DE+PE的最小值是多少？

22.如图，钝角AABC中，AB^AC,。为上AC一点，/4DB=60。，E为BD上一点，ZBCE=30°.

(1)作8c于P,3GLCE交CE的延长线于G.

①判断3尸与5G的大小关系，并说明理由.

②求证△BE443GET；

⑵若BE=7,DE=1,求CE的长.

23.在AABC中，AC=BC,CD是AB边上的高.

问题发现：

(1)如图1,若NACB=90。，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A,B重合)，连接CE,将线段CE

绕点C逆时针旋转90。,得到线段CF,连接BF,我们会发现CD,BE,BF之间的数量关系是CD=；(BE+BF),

请你证明这个结论；

提出猜想：

(2)如图2,若NACB=60。，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A,B重合)，连接CE,将线段CE

绕点C逆时针旋转60。，得到线段CF,连接BF,猜想线段CD,BE,BF之间的数量关系是；

拓广探索：

(3)若NACB=a,CD=k-AB(k为常数)，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A,B重合)，连接CE,

将线段CE绕点C逆时针旋转a,得到线段CF,连接BF,请你利用上述条件，根据前面的解答过程得出类

似的猜想，并在图3中画出图形，标明字母，不必解答.

C

24.如图，在AABC中，/BAC=90。，AB=AC=6,AD_LBC于点D.点G是射线AD上一点.

(1)若GELGF,点E,F分别在AB,AC上，当点G与点D重合时,如图①所示,容易证明AE+AF=夜AD.当

点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE,AF与AG存在的数量关系.

(2)当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，

请说明理由.

左)D

G

①②(5)

25.已知AC=A8,AD=AE,ZCAB=ZDAE=a(0°<a<90°).

cE

D

图1图2备用图

(1)观察猜想

如图1,当a=90。时，请直接写出线段与BE的数量关系：,位置关系：

（2）类比探究

如图2,已知a=60。，F,G,H,M分别是CE,CB,BD,。石的中点，写出GM与切的数量关系和位置

关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图，已知：A3=2,AO=3,F,G,H,M分别是CE,CB,BD,OE的中点，将△ABC绕点A旋转，直

接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含a的三角函数式子表示）.

54第12章压轴题之猜想证明类

一、单选题

1.如图，ZACB=90°,AC=BC,CD平分点。，E关于CB对称，连接并延长，与的延长

线交于点尸，连接。E,CE.对于以下结论：

①。E垂直平分CB；②AD=BE；③/尸不一定是直角；④EF+D产=2CD2.

其中正确的是()

A.①④B.②③C.①③D.②④

【答案】D

【分析】根据点D,E关于CB对称，可得CB垂直平分DE,即可判断①错误；根据CB垂直平分DE,连

接BD,可得BD=BE,证明4ACD学ABCD,可得AD=BD,即可判断②；结合①②证明4ACD0ABCD

^△BCE,可得/CAD=NCEB=L(18(T-45O)=67.5。，ZFED=67.5°-45°=22.5°,进而证明角F的度数，即可

2

判断③；在Rt^FDE中，根据勾股定理，得EF2+DF2=DE2,根据NDCE=90。，CD=CE,即可判断④.

【解答】①：点D、E关于CB对称，

ACB垂直平分DE,

所以①错误；

②连接BD,如图，

VCB垂直平分DE,

；.BD=BE,

VZACB=90°,CD平分/ACB,

AZACD=ZBCD=45°,

在AACD和ABCD中，

AC=BC

<ZACD=/BCD=45°,

CD=CD

：.AACD^ABCD(SAS),

・・・AD=BD,

・・・AD=BE,

所以②正确；

③・・・CB垂直平分DE,

ABD=BE,CD=CE,

在4BCD和4BCE中，

BD=BE

CD=CE,

BC=BC

/.△BCD^ABCE(SSS),

:.AACD^ABCD^ABCE,

:.ZACD=ZDCB=ZECB=45°,

・・・CA=CD=CB=CE,

1

:.ZCAD=ZCEB=-(180°-45°>67.5°,

1

,/ZCED=ZCDE=-(180°-ZDCB-ZECB)=45。,

JZFED=67.5°-45°=22.5°,

,/ZCDE=ZACD=45°,

ADE//AC,

・・・NFDE=NA=67.5。，

ZF=180°-ZFDE-ZFED=90°,

所以③错误；

④在RtZ\FDE中，根据勾股定理，得：

EF2+DF2=DE2,

VZDCE=ZDCB+ZECB=90°,CD=CE,

.*.DE2=CD2+CE2=2CD2,

.\EF2+DF2=2CD2,

所以④正确.

综上所述：正确的是②④.

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运

用以上知识.

2.如图，过oA5co的对角线6。上一点K作必N/ABC,尸Q//A瓦分别交

分别交AD,BC于点P,Q,那么图中四边形QCNK的面积百与四边形AMKP的面积S?的大小关系是

()

A.S]>SB.S,=S2C.S,<S2D.不能确定

【答案】B

【分析】先证四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形得SAABD=SABCD,SABMK=SABQK,SAPKD=SANKD,

据此可得.

【解答】•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AD〃BC,

又MN〃BC,PQ//AB,

四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形，

."•SAABD=SABCD,SABMK=SABQK,SAPKD=SANKD,

SI=S2,

故选：B.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及对角线将平行四

边形面积平分的性质.

3.已知AABC的三条边长分别为6,8,12,过AABC任一顶点画一条直线，将AABC分割成两个三角

形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

【答案】B

【分析】不妨设AB=6,AC=8,BC=12,分别作三边的垂直平分线，则可得三条，再分以AB、AC为腰和

底进行讨论，可得出结论.

【解答】解:不妨设AB=6,AC=8,BC=12,分别作三边的垂直平分线，

如图1,则BD=AD,EA=EC,FB=FC,可知AE、BF、AD满足条件；

当AB为腰时，以点A为圆心，AB为半径画圆，分别交BC、AC于点G、H,

以B为圆心，AB为半径，交BC于点J,如图2,贝IJAB=AG,AB=AH,BA=BJ,满足条件;

当AC为腰时，如图3,以点C为圆心，CA为半径画圆，交BC于点M,贝|CA=CM,满足条件;

当A为圆心AC为半径画圆时，与AB、BC都没有交点，

因为BC为最长的边，所以不可能存在以BC为腰的等腰三角形，

综上可知满足条件的直线共有7条.

故选B.

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，利用垂直平分线的性质及圆的基本性质找到满足条件的直线是

解题的关键.

4.如图，在A43C中，AB^AC,NH4c=90°,直角ZEP尸的顶点尸是3C中点，PE、P尸分别交

AB、AC于点E、F.给出以下四个结论：①AE=CF；②AEPF是等腰直角三角形；③

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质可得/PAE=L/BAC=45。，ZB=ZC=45°,PA±BC,可得NC=NPAE,

2

根据直角三角形斜边中线的性质可得PA=PC,根据角的和差关系可得NFPC=NEPA,利用ASA可证明△

EPA^AFPC,根据全等三角形的性质可得AE=CF,PE=PF,由NEPF=90。，可得4EPF是等腰直角三角形,

可判定①②正确；根据全等三角形的性质可知SaEPA=S/JTC,可得S四边形AEPF二SaAPC,由SaAPC=万S^ABC可判

定③正确；只有当EF为aABC的中位线时，EF=PC=PA,可判定④错误；综上即可得答案.

【解答】VAB=AC,ZBAC=90°,

・・・NB=NC=45。，

,・,点P为BC中点，AB=AC,ZBAC=90°,

AZPAE=ZPAC=45°,PA=PC,AP±BC,

AZC=ZPAC,

ZEPF=ZEPA+ZAPF=90°,ZFPC+ZAPF=90°,

・•・ZEPA=ZFPC,

ZEAP=ZC

在△EPA和AFPC中，|AP=PC,

ZEPA=ZFPC

・•・AEPA^AFPC,

・・・AE=CF,PE=PF,故①正确，

•・・ZEPF=90°,

:•△EPF是等腰直角三角形，故②正确，

AEPA^AFPC,

/.SAEPA=SAFPC,

S四边形AEPF=S4EPA+SAPAF=SZ\FPC+S^PAF=S^APC，

1

VPC=—BC,

2

・。_1

••SAAPC=—SAABC,

2

•*'Sjga®AEPF=—SAABC,故③正确，

2

只有当EF为AABC的中位线时，EF=PC=PA,故④错误;

综上所述：正确的结论有①②③，共3个，

故选：C.

【点评】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定，熟练掌握全等

三角形的判定定理是解题关键.

5.如图，在AA3C中，ZACB=900-AB=5,BC=3,P是A6边上的动点（不与点B重合），将ABCP

沿CP所在直线翻折，得到AB'CP,连接3'A,则下面结论错误的是（）

A.当AP=5P时，AB'HCP

B.当AP=BP时,/B'PC=2NB'AC

17

C.当CPLAB时，Ap=—

D.3'A长度的最小值是1

【答案】C

【分析】A.根据折叠性质和三角形内角和定理可证/AB'P=/CPB',从而可证AB'//CP；

B.根据折叠性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知PA=PB=PC=PB〔A、B、C、B，四点共圆,

根据圆周角定理即可求出ZB'PC=2ZB'AC-.

C.根据相似三角形的判定证得△PACsZ\CAB,再根据相似三角形的对应边成比例求得AP的值，即可判

断=：17错误；

D.根据两点之间线段最短，求得长度的最小值，即可判断此结论正确.

【解答】在^ABC中，ZACB=90°,AP=BP,

；.AP=BP=CP,ZBPC=^(180°-ZAPB')

由折叠的性质可得

CP=BP,ZCPB=ZBPC=^(180°-ZAPB')

AP=BP,

ZABT=ZBAP=g(180。一ZAPB')

AB'P=/CPB'

，AB'〃CP

故A正确；

VAP=BP,

.♦.PA=PB'=PC=PB,

.•.点A,BMC,B在以点P为圆心，PA长为半径的圆上

由折叠的性质可得BC=BC,

BC=B，C

.•./B'PC=2NB'AC

故B正确;

当CP±AB时，ZAPC=ZACB

,/ZPAC=ZCAB

APAC^ACAB

•AP-AC

■'AC-AB

22

•.•在RtZiABC中，AC=A/AB-BC=4

AC216

；.AP=

y

故C错误；

由轴对称的性质可知：

BC=CB'=3

•；CB'长度固定不变，

.•.当AB'+CB'有最小值时，AB'的长度有最小值

根据两点之间线段最短可知：

当A、B'、C三点在一条直线上时，AB'有最小值，

/.AB=AC-BC=4-3=l

故D正确

故选：C

【点评】本题考查折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆周角的定理，根据折叠性质得出

相等的线段或相等的角是解决问题的关键.

6.如图，AA3C中，NA=90°,。是AC上一点，且NADB=2NC,P是3c上任一点，PELBD于

点、E，P尸，4c于点下列结论：①AD3C是等腰三角形；②NC=30°；③PE+PF=AB；④

PE2+AF2=BP2＞其中正确的结论是（）

A.①②B.①③④C.①④D.①②③④

【答案】B

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得/ADB=/C+NDBC,然后求出NC

=ZDBC,再根据等角对等边可得DC=DB,从而判断①正确；没有条件说明NC的度数，判断出②错误;

连接PD,利用4BCD的面积列式求解即可得到PE+PF=AB,判断出③正确；过点B作BG〃AC交FP的

延长线于G,根据两直线平行，内错角相等可得/C=/PBG,/G=/CFP=90。，然后求出四边形ABGF

是矩形，根据矩形的对边相等可得AF=BG,根据然后利用“角角边”证明ABPE和aBPG全等，根据全等

三角形对应边相等可得BG=BE,再利用勾股定理列式求解即可判断④正确.

【解答】在ABCD中，/ADB=NC+NDBC,

,/ZADB=2ZC,

.,.ZC=ZDBC,

，DC=DB,

.•.△DBC是等腰三角形，故①正确；

无法说明NC=30。，故②错误；

连接PD,则SABCD=』BD・PE+1DC・PF=1DC>AB,

222

；.PE+PF=AB,故③正确；

过点B作BG/7AC交FP的延长线于G,

则/C=NPBG,ZG=ZCFP=90°,

.".ZPBG=ZDBC,四边形ABGF是矩形，

；.AF=BG,

在ABPE和aBPC中，

ZPBG=ZDBC

<ZG=ZBEF,

PB=PB

：.ABPE^ABPG(AAS),

；.BG=BE,

.\AF=BE,

在RtAPBE中，PE2+BE2=BP2,

即PE2+AF2=BP2,故④正确.

综上所述，正确的结论有①③④.

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键.

7.横、纵坐标均为整数的点称为整点.如图，一列有规律的整点，其坐标依次为（1,0）,（2,0）,（2,1）,（1,1）,

（1,2）,（2,2）,…，根据这个规律，第2019个整点的坐标为（）

【答案】A

【分析】根据图像，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，计算即可得到答案.

【解答】补充作图，如下图，

由图可知，点（1,0）是第1个点，点（3,0）是第9个点，点（5,0）是第25个点，…,

观察图可知，直线X=27Z—1上共有2〃—1个点，

又因为45?=2025>2019且

2025-2019=6<45,

所以第2019个点在直线x=45上且在点（45,0）上方相距6个单位长度，

所以第2019个点为（45,6）

故选A.

【点评】本题主要考查坐标的确定，能根据已知条件发现点的规律是解题的关键.

8.如图，已知：在等腰RtZXABC中，ZBAC=9Q°,BE平分NABC,交AC于E且班于点E,

BC边上的中线AD交BE于G,连接。E,则下列结论正确的是（）

①AG=AF；®DE//AB；®BF=2CE；@AB+AF>BC；⑤BG=OCE

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

【答案】B

【分析】过点F作FPLBC于点P,延长BA,CE交于点H,通过证明NAGF=/AFG判断①；再证明/

ABE=NBED,根据平行线的判定得到②；再通过证明证明△ABFgAACH得到BF=CH,从而证明AHEB

段ZXCEB,得至I]CE=EH,可判断③；证明Rt/XABF丝RtZkPBF,得至I]AB+AF=BP+FP,再通过说明4FPC

是等腰直角三角形得到FP=CP,即可判断④；最后证明△ABFs^DBG,得到BG和BF的比，利用BF和

CE的关系判断⑤.

【解答】解：过点F作FPLBC于点P,延长BA,CE交于点H,

•••3E平分NA3C,△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，

.,.ZABF=ZCBF=22.5°,AF=PF,

/BGD=NAGF=/AFG,

；.AG=AF,故①正确，

ZBEC=90°,D为BC中点，

；.DE=BD=CD,

NBED=/DBE=22.5°=/ABE,

；.AB〃DE,故②正确，

ZCAH=ZBAF=ZBEC=90°,

.".ZACH+ZH=90°,ZABF+ZH=90°,

，ZACH=ZABF,

在AABF和△ACH中，

ZABF=ZACH

<AB=AC,

ZBAF=ZCAH

：.AABF^AACH(ASA),

；.BF=CH,

：BE平分NABC,

/HBE=NCBE,

,/ZBEC=90°,

ZBEC=ZBEH=90°,

在AHEB和ACEB中，

ZHBE=ZCBE

<BE=BE,

ZBEH=ZBEC

：.AHEB^ACEB(ASA),

；.CE=EH,

；.CH=2CE,

.\BF=2CE,故③正确，

在RtAABF和RtAPBF中，

AF=PF

BF=BF'

Z.RtAABF^RtAPBF(HL),

；.AB=PB,

在APFC中，ZBCF=45°,ZFPC=90°,

；.FP=CP,

BP+CP=BP+FP=BC=AB+AF,故④错误,

,/ZABG=ZCBG,ZBAF=ZGDB=90°,

AABF^ADBG,

;AB=BF=gpBF=^BG,

BDBG1-

又：BF=2CE,

，BG=0CE,故⑤正确.

故选B.

H

A

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平

分线的性质，综合性较强，解题的关键是结合所学知识逐项判定各选项，并且利用已经证明的结论来证明

未知的结论.

9.如图，在△ABC中，ABAC=90°,AZ）是高，班是中线，是角平分线，CF交AD于点G,交

郎于点H,下面说法正确的是（）

A

①AABE的面积MBCE的面积；

②ZAFG=ZAGF；

③NE4G=2ZACF；

④BH=CH.

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

【答案】B

【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出NABC=NCAD,根据

三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出NFAG=NACD,根据角平分线定义即可判断③;

根据等腰三角形的判定判断④即可.

【解答】解：・・・BE是中线,

AAE=CE,

:•△ABE的面积=4BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确;

VCF是角平分线，

・・・NACF=NBCF,

・.・AD为高,

・•・ZADC=90°,

ZBAC=90°,

AZABC+ZACB=90°,ZACB+ZCAD=90°,

AZABC=ZCAD,

,:ZAFG=ZABC+ZBCF,ZAGF=ZCAD+ZACF,

・・・NAFG=NAGF,故②正确；

・・・AD为高,

・•・ZADB=90°,

ZBAC=90°,

.•.ZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90°,

JZACB=ZBAD,

•「CF是NACB的平分线，

・・・ZACB=2ZACF,

ZBAD=2ZACF,

即NFAG=2NACF,故③正确；

根据已知条件不能推出NHBC=NHCB,即不能推出BH二CH,故④错误；

故选:B.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形

的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型.

10.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF,使点E点F分别在边

AD,BC±（不与四边形ABCD顶点重合），连结EB,EC设ED=kAE,下列结论：①若k=l,则BE=

CE；②若k=2,则AEFC与面积相等：③若△ABEgAFEC,则EFLBD.其中正确的是（）

C.③D.②③

【答案】B

【分析】根据题意，不能证明aBAE丝Z\CDE,则①错误；根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和

性质，得到BF=2CF,结合面积的计算方法，即可判断②；连接DF,不能证明四边形DEBF是菱形，则③

错误；然后得到答案.

【解答】解：当k=l时，DE=AE,

不能证明Z\BAE之4CDE，

.,.BE#CE；故①错误;

当k=2时，DE=2AE,

•••四边形ABCD是平行四边形,

；.AD〃BC,AD=BC,

ZEDO=ZFBO,

•.,点O是BO的中点,

/.OB=OD,

VZEOD=ZFOB,

AEOD^AFOB,

；.DE=BF,

.\AD-DE=BC-BF,

；.AE=CF,

；.BF=2CF,

,,SREFC=­S岫EC=§•5S四边形MC。=dS四边形ABC。，

•S2OE=^\DOE=5S2DE，

,,SMOE=kS四边形ABC。，

S垄FC=SABOE,故②正确;

连接DF,如图：

.\AE=FC,

；.DE=BF,

：DE〃BF,

.••四边形DEBF是平行四边形，

不能证明DEBF是菱形，

；.EF与BD无法证明互相垂直，故③错误；

,正确的选项只有②；

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是

熟练掌握所学的知识，从而分别进行判断.

二、填空题

11.如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,/ABC的平分线交AC于。.过点A作AELLBC于E,交BD于

G,过点。作。FLBC于E过点G作G5〃BC,交AC于点则下列结论：①NBAE=NC；②SAABG：

SWG=AB：BE；③NA。/=2/CZ)R④四边形AGFZ)是菱形；⑤CH=DF.其中正确的结论是

BEC

【答案】①②④⑤

【分析】①根据余角的性质可判断即可；②根据角平分线的性质判断即可；④根据菱形的判定方法判断即

可；⑤证明△ABGgAFBG(AAS),得出/BAE=/BFG,证出/BFG=/C,再证出四边形GFCH是平行

四边形，得出GF=CH,因此CH=DF,可判断⑤；③当NC=30。时，ZADF=2ZCDF；③不正确；即可得出

答案.

［解答］解:®VZBAC=90°,

ZBAE+ZCAE=90°,

VAEXBC,

.,.ZC+ZCAE=90°,

AZBAE=ZC,①正确；

②作GM_LAB交AB于M,如图所示：

：BD平分/ABC,AE±BC,

；.GM=GE,

.,.SAABG：SAEBG=-ABGM：—BEGE=AB：BE；②正确；

22

@VZAGD=ZABD+ZBAE,ZADG=ZCBD+ZC,ZBAE=ZC,ZCBD=ZABD,

/AGD=/ADG,

；.AG=AD,

VZBAC=90°,BD平分NABC.DF_LBC,

；.AD=DF,

；.AG=DF,

VAEXBC,

；.AG〃DF,

四边形AGFD是平行四边形，

又：AG=AD,

，四边形AGFD是菱形；④正确；

⑤：四边形AGFD是菱形；

，NAGD=/FGD,GF=DF,NADB=/FDB,

，NAGB=NFGB,

在AABG和AFBG中，

ZABG=NFBG

<ZAGB=NFGB,

BG=BG

.".△ABG^AFBG(AAS),

，NBAE=/BFG,

VZBAE=ZC,

ZBFG=ZC,

，GF〃CH,

VGH//BC,

四边形GFCH是平行四边形，

；.GF=CH,

...CH=DF,⑤正确；

③,••四边形AGFD是菱形

/.ZADF=2ZADB,

当/C=30。，ZCDF=60°,

贝l]/ADF=120。，

...当/C=30。，ZADF=2ZCDF；③不一定正确；

故答案为：①②④⑤.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角

形的判定、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.

12.已知：如图，NABC=/A£>C=90。，M、N分别是AC、8。的中点，AC=10,80=8,则MN=

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到根据等腰三角形的性质得

到BN=4,根据勾股定理得到答案.

【解答】解：连接8河、DM,

VZABC=ZADC=90°,M是AC的中点，

1

：.BM=DM=-AC=5,

2

是2D的中点，

：.MN±BD,

1

:.BN=-BD=4,

2

由勾股定理得：MN=^BM2-BN2=A/52-42=3，

故答案为：3.

【点评】此题主要考查矩形性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形中，

斜边上的中线等于斜边的一半.

13.如图，在AABC中，AZ）平分44C,AB^AD,N1=N2,BE与AZ）的延长线交于E，连接EC.过

4（7-EF

A作AFLEC于R,交BC于G.下列结论：①ZAEB=ZACB；②BE=CD；③S乩GC=---；

④/2=2/3中，其中正确的有（填序号）.

【答案】①②③④

【分析】①由N1=N2,利用角平分线的性质可得N2=N。出，可得A，B,C,E四点共圆，由圆周

角定理可得结论；②证明AABEMAADC,利用全等三角形的性质可得结论；③由AABEMAADC,易

得AC=AE,由等腰三角形的性质易得。/=历，得AAGC的面积；④由AAEC为等腰三角形易得

ZEAF=ZCAF,可得结论.

【解答】解：①•.•AD平分44C,

:.Z1=ZEAC,

•.•N1=N2,

:.Z2=ZEAC,

:.A,B,C,E四点共圆，

:.ZAEB=ZACB,

故此选项正确；

②在AABE与AADC中，

ZACB=ZAEB

<ZCAD=ZDAB,

AD=AB

:.AABE=AADC(AAS),

BE=DC,

故此选项正确；

@-：AABE=AADC,

AE=AC,

-.■AF±EC,

:.EF=CF,

AG.EF

=-AG-CF=

2-2-

故此选项正确;

④•.•AEAC为等腰三角形，

ZEAF=Z3=-ZEAC=-Z2,

22

.-.Z2=2Z3,

故此选项正确；

,正确的有①②③④.

故答案为：①②③④.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质等，综合运用各性质定理是解答此题的关键.

14.如图，矩形A3CD中，48=5,80=3,点E在边AD上（不与重合），将矩形沿CE折叠，使点A8

分别落在点尸,G处有下列结论:

①NFED与NGCD互余;

②若CD平分NECG,则tanZBCE=-

3

4

③若直线FG经过点。，则——=—

ED5

④若直线FG交边AD,。分别于M,N,当AOMN为等腰三角形时,五边形ABCNM的周长为n亚.其

中正确结论的序号是______________________

【答案】①③④

［分析】①根据折叠的性质知ZG=ZF=90°，转化相关角度进行判断；

②根据折叠的性质知NBCE=ZECG，再根据CD平分ZECG,从而得出ZBCE=60°,从而求算正切值；

③直线EG经过点，此时AEED〜ADGC,BC=CG=3,CD=5,从而求算DG,。尸，再根据相似求算

EF,可得结论;

④当时等腰三角形时，可得AMGCADMN均为等腰直角三角形，从而计算相应长度，可得结论.

【解答】解：①根据折叠的知NG=NP=90°

设NFED=x。

：.ZFNE=ZDNM=90°-x°,ZDMN=ZGMC=x°,ZGCD=90°-x°

ZFED+ZGCD=90°,①正确；

②根据折叠的性质知NBCE=NECG,再根据CD平分ZECG,

：.3ZECM=900即NECM=30。

AZBCE=60°即tan/BCE=&，②错误；

③直线PG经过点D：

BC=CG=3,CD=5

：.DG=4,DF=1

ZF=ZG=ZADC=90°

AEFD-ADGC

EFDFEF1“口厂厂4

--------=>....——斛倚：EF=—

DGCG433

4

AE=EF=-

3

45

ED=3——=-

33

AE4_&

-----=—，③正确；

ED5

④当4DMN时等腰三角形时，可得