圆与正多边形（21大核心考点）原卷版-2024-2025学年沪教版九年级数学下册

因与正多边形（21大核心考点）

考点一圆的基本概念（共4题）

1.下列说法正确的是（

A.半圆是弧B.过圆心的线段是直径

C.弦是直径D.长度相等的两条弧是等弧

2.已知，如图48,4。是OO的弦，=30°,点C在弦48上，连结CO并延长交。。于点。,

/。=35。，则N84D的度数是

3.如图，点。是同心圆的圆心，大圆半径。4,05分别交小圆于点C,D,求证：AB//CD.

4.设48=2°加，作图说明满足下列要求的图形:

（1）到点/和点8的距离都等于1.5c%的所有点组成的图形.

（2）到点/的距离小于L5c加且到点B的距离大于1。加的所有点组成的图形.

考点二求一点到圆上点距离的最值（共4题）

1.在同一平面内，已知。。的半径为4,圆心。到直线/的距离为6,P为圆上的一个动点，则点P到直线

/的距离不可能是（）

A.2B.6C.10D.14

2.如图，乙45c=60。，点。在射线8c上，OB=4,以。为圆心在3c的上方作半径为1的半圆，点M,

N分别是射线5/,半圆上的动点，连接则的最小值为.

3.如图，已知等边AIBC的边长为8,点尸是48边上的一个动点（与点4、B不重合）.直线I是经

过点P的一条直线，把A43C沿直线/折叠，点B的对应点是点方.当PB=6时，在直线1变化过程

中，求A4C皮面积的最大值.

4.如图，菱形4BCD中，乙4=60。，AB=3,。/、的半径分别为2和1,P、E、尸分别是边CD、QB

和ON上的动点，求PE+PF的最小值.

考点三圆的周长和面积问题(共4题)

1.如图,一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面

C.nR2D.不能确定

2.某校社团实践活动中，有若干个同学参加.先到的〃个同学均匀围成一个以。点为圆心，1m为半径的圆

圈，如图所示(每个同学对应圆周上一个点).

(1)若〃=6,则相邻两人间的圆弧长是m.(结果保留兀)

(2)又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移。米，再左右调整位置，使这(〃+2)个同学之

间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧长相等.这(〃+2)个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重

复前面的操作，则每人须再往后移6米，才能使得这(〃+3)个同学之间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧

长相同，则2=.

a

3.如图，一个运动场是由两个半圆形和一个长为100米，宽为60米的长方形构成(n取3).

(1)求这个运动场的周长是多少米？

(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比为2:3，每平方米塑胶的价格为120元，比

每平方米草坪的价格高g则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元？

4.某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4,

两个小圆的半径均为2,请计算图中阴影部分的周长和面积•

考点四利用垂径定理求值（共4题）

1.如图，已知的半径为5,弦N8的长为8,半径OD过的中点C,则。C的长为（）

D

A.2B.3C.4D.5

2.如图，4B是。。的弦，OC_LN8,垂足为C,将劣弧标沿弦AB折叠交。C于点。，OD=^OC,若

Z8=8,则。。的半径为

A

\C

B

3.如图，OA=OB,48交。。于点C,D,OE是半径，且。EL48于点足

E

⑴求证：AC=BD；

⑵若C©=6,EF=\,求＜30的半径.

4.如图所示，4B是。。的一条弦，ODrAB,垂足为C,交于点。，点E在。。上.

⑴若//。。=64。，求ZDE2的度数;

（2）若0c=6,OA=10,求48的长.

考点五垂径定理的推论（共4题）

1.如图，。。的直径48经过弦C。的中点E,连接NC,BD,若N/=32。，则28的度数为（）

A.56°B.58°C.60°D.62°

2.如图，/C是OO的弦，半径05经过/C的中点。.若//CO=43。，则的大小为

3.如图，以4B为直径的。。经过△48。的顶点C,。是北的中点，连接AD、。。分别交NC于点E、

F.

(2)若。E=2,BE=6,求。。的面积.

4.如图，在平面直角坐标系中，4(0,4),8(4,4),C(6,2).

⑴在图中画出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M；

(2)点M的坐标为

考点六垂径定理的实际应用（共4题）

1.如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为0.8米，水面与管道上端的最大距

离为0.2米，则水面N8距管道底部的最大深度为（）

C.0.2米D.0.8米

2.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度

约为37m,拱高约为7m,则赵州桥主桥拱半径约为m（结果保留整数）

3.根据素材解决问题:

设计货船通过拱桥的方案

素左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形

r

材桥拱的示意图，测得水面宽48=16m,

1拱顶离水面的距离CD=4m.

如图，一艘货船露出水面部分的横截面

为矩形EFGH,测得=12m,

素斯=2.1m.因水深足够，货船可以根Eh

材据需要运载货物.据调查，货船的载重

2量每增加1吨，则船身下降0.01m.FG

问题解决

任

务确定桥拱半径(1)求圆形桥拱的半径；

1

任(2)根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多

务拟定设计方案还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才

2能通过？

4.如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为。，直径/台是河底线，弦a＞是水位线，已知拱桥

的跨度48=13m,若测得某时水面宽度CD=12m,求水深OE.

考点七圆心角的概念(共4题)

1.如图，为。。的直径，点C,D在。。上.若/8CD=100。，则的度数是()

c

ft

A.15°B.20°C.25°D.30°

2.如图，是。。的直径，BC^CD=DE>NCOO=48。，则/8OE的度数为.

3.如图，在5/5正方形网格中，一条圆弧经过A,B,C三点，那么就所对的圆心角的大小是多少？

4.如图，圆心角44。。=/8。。=90。.

⑴判断一/OC和4OZ)的数量关系，并说明理由;

(2)若/。。。=30。，求，NOB的度数.

考点八利用弧、弦、圆心角的关系求解(共4题)

1.如图，在OO中，A是前的中点，点。在。。上.若NA0B=a,则乙()

1

B.2aC.-aD.900-a

2

2.如图，。。的直径45=4,半径点。在弧5c上，DEA.OC,DFLAB,垂足分别为E、F,

若点£为。。的中点，弧8的度数为

3.如图，在O。中，D、E分别为半径。4、05上的点，AD=BE,。为弧Z5的中点，连接CD、CE、

4.已知4。是。。的弦，点5在。。上，连接CM,OC,OB,/8。。=40。.

(1)如图①，当/=前时，ZOAC=°；

(2)如图②，当4C〃08时，ZAOC='

(3)如图③，当/C=O8时，ZAOB=°

考点九圆周角定理(共4题)

1.如图，/C为。。的直径，点、B,。在。。上，ZABD=60°,0)=2,则4)的长为()

D

A.2B.25/2C.273D.4

2.如图，48是。。的直径，8是弦，ND4B=46。，则4CD=

3.如图，△4BC内接于OO,C为Q的中点，。在前上，连接AD.若ADJ.BC,垂足为£,直线。C

分别交ND,AB于点尸，G

(2)求证：EF=DE.

4.如图，48为O。的直径，D,£是。。上的两点，且在直径48的两侧，过点。作。。的切线交48的延

长线于点C,连接8E、DE,BD.

⑴求证：NBDC=NE.

2

(2)若tanE=§,AC=6,求。。的半径.

考点十90度的圆周角所对的弦是直径(共4题)

1.如图，RtA/C5的斜边与半圆的直径48重合放置，乙4c8=90。，点”为48上任意一点，连接Q0交

半圆于N点，连接BN,若4BC=35。，则/BNC的度数为()

3

C

A.60°B.55°C.50°D.30°

2.如图，圆内四边形45CQ满足：4D上DC,乙4DB=60。,ZACD=45°,CD=60,则45=________.

3.如图所示，四边形48。内接于。。，ZB=50°,ZACD=25。"40=65。.

求证：

(1)AD=CD；

(2)45是。。的直径.

4.如图，在三角形RtaZBC中，ZCAB=90°.

(1)作OO,使它过点/、B、C(尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)

⑵在(1)所作的。。中，若4408=60。，48=3,求/C的长.

考点十一圆内接四边形定理（共4题）

1.如图，是半圆。的直径，点C,。在半圆。上.若48c=50。，则/8DC的度数为（）

C.140°D.150°

2.如图，四边形Z3C。内接于。。，过点8作BE〃/D,交CD于点、E.若乙B£C=50。，则N/8C等于

度.

以力B为直径作。。，分别交BC、ZC于点。、E,连结AD、ED.

⑵若ZEDC=50°,则ZBAD=

4.在。。的内接四边形M3CD中，AB=AD,ZC=110°,若点E在罚上，连接8。、AE,DE,求—E

的度数.

考点十二点和圆的位置关系（共4题）

1.已知点A为O。内的一点，且。。的半径为5cm,则线段04的长度可能是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.7cm

2.如图，原点右边7个单位有一点尸，数轴上半径为1的。。从原点。开始以每秒2个单位的速度向右运

（1）若以A为圆心，8长为半径作。工，则8、C、。与圆的位置关系是什么？

（2）若作ON,使8、C、D三点至少有一个点在ON内，至少有一点在外，则。/的半径「的取值范围

是一

4.己知的半径是4cm.

（1）若。尸=2cm,则点尸到圆上各点的距离中，最短距离为—，最长距离为一.

（2）若OP=6cm,则点尸到圆上各点的距离中，最短距离为—，最长距离为—.

（3）若尸到圆上各点的距离中，最短距离为3cm,则最长距离为—.

考点十三确定圆的条件（共4题）

1.如图，在平面直角坐标系中，/（0,-3）,5（2,-1）,C（2,3）,则UBC的外心坐标为（）

A.（0,0）B.（-1,-1）C.（-2,-1）D.（-2,1）

2.在平面直角坐标系内的点5（0,-2）,C（3,-2）确定一个圆（填“能”或“不

能“).

3.如图所示，要把破残的圆片复制完整.已知弧上的三点/、B、C.

(1)用尺规作图法找出弧3/C所在圆的圆心0.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)设ZUBC是等腰三角形，底边BC=8cm,腰48=5cm.求圆片的半径R

4.如图，在中，ZC=90°,4D平分/B4C,

(1)在48边上找一点O,以点。为圆心，且过/、。两点作OO(不写作法，保留作图痕迹).

(2)在(1)的条件下，若/8=6,BD=2拒,求O。的半径.

考点十四直线与圆的位置关系(共4题)

1.如图，在矩形4BCD中，对角线/C与3。相交于点。，AB=5,SC=12,以点。为圆心作圆，若。。

与直线/D相交、与直线8相离，则O。的半径r的取值范围是()

5

>—C.—<r<6D.r<6

222

2.如图，已知/ZCB=30。，CM=2,AM=5,以〃为圆心，厂为半径作与线段NC有交点时,

以点A为圆心，〃为半径作04

□BC

⑴当半径『为何值时，ON与直线8c相切；

(2)当半径/为何值时，ON与直线8。相切；

⑶当半径厂的取值范围为何值时，ON与直线8c相交且与直线8相离.

4.如图坐标系中，/。，2),以/为圆心，厂为半径画圆，

(1)当O/与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是二

(2)当O/与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是_；

(3)当04与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是_；

(4)当O/与坐标轴有四个公共点时，厂的取值范围是二

考点十五切线长定理(共4题)

1.如图，正方形N8CD边长为4cm,以正方形的一边3c为直径在正方形N8CD内作半圆，过A作半圆的

切线，与半圆相切于尸点，与。C相交于E点，则△/DE的面积())cm2

A.12B.24C.8D.6

2.如图，PA.P3分别与OO相切于点/、B,OO的切线E尸分别交P4PB于点、E、F,切点C在凝

上.若R4长为2,则尸的周长是.

A

E

3.如图，△NBC中N5=/C,。为ZC边上一点，。/为△48。内切圆，G、E、尸为切点.

⑴求证：BE=CF；

⑵若8。=10,CD=4,求BE的长.

4.如图，。。是△4BC的内切圆，点。，E,厂为切点.

(1)若/8=34。,/。=62。，求ZDEF的度数；

(2)若48=8,AD=2,AC=5,求8C的长.

考点十六三角形的内心问题(共4题)

1.如图，。。是△4BC的内切圆，若乙4=80。，则N3O。的度数为()

A.40°B.150°C.130°D.100°

2.如图，已知在RtZ\48C中，NB=90。,AB=6,/C=10,点P是RtZ^43C的内心.点P至i］边48的距

离为;

A

3.如图，。。是△/5C的内切圆，切点分别为。、E、F,/5=60。，NC=7,0°,求NEL中的度数

A

BDC

4.如图，点/是△Z5C的内心，5/的延长线与△45。的外接圆。。交于点。,与/C交于点E,延长8,

R4相交于点尸，乙4。尸的平分线交/产于点G.

5^--^4GF

(1)求证：DG//AC.

(2)求证：AD=ID.

考点十七切线的性质和判定综合(共4题)

1.如图，NAPB=30。,圆心在直线PS上的。。半径为1cm,OP=3cin,若。。沿2尸方向移动，当圆心。

移动的距离为()cm时，。。与直线H4相切.

A.1B.4C.5E).1或5

2.如图，尸为。。外一点，PN与。。相切于点工,尸。交O。于点3,BCLOP交尸/于点C,BC=3,

OO恰好经过点4B,4DLCB于点D,且AB

平分NC4D.

⑴判断2C与。。的位置关系，并说明理由;

（2）若NC=12,CD=4如，求OO的半径长.

4.如图，尸N为。。的切线，A为切点，直线P。交。。与点£、F,过点A作PO的垂线4B垂足为。,

交。。与点8.

⑴求证：尸3与O。相切；

⑵若OE=4,0D=2,求OP的长.

考点十八正多边形和圆（共4题）

1.风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意

图，其底部可抽象为正六边形/2CDEF,连接CF,则44尸C的度数为为()

图①图②

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.如图，正六边形48CDEF内接于OO,连接CF,贝.

3.如图，正六边形A8CDE厂内接于。O,边长为2.

(1)求。。的直径40的长;

(2)求N4D3的度数.

4.如图，正方形ABC。内接于OO,£是的中点，连接BE,CE.

(1)求的度数.

⑵求证：BE=CE.

⑶若AB=2,则点E到3c的距离为一.

考点十九求弧长（共4题）

1.如图，在O。的内接四边形4BCD中，/8=62。，ZACD=39°.若。。的半径为5,则弧CD的长为

（）

上

13102323

A.—7iB.—冗C.—冗D.—71

1891816

2.如图，在中，ZC=90°,/B=30。,AB=4,以点。为圆心，C4长为半径画弧，交48于点

D,则弧4D的长为.

CB

3.如图，四边形48CD是正方形，以边CD为直径作。。，点E在8c边上，连结DE交。。于点尸，连结CF

并延长交48于点G.

⑴求证：CE=B