湖北省重点高中协作校2024年高三下学期期中考试数学试题理试题（普通班）

湖北省重点高中协作校2023年高三下学期期中考试数学试题理试题（普通班）注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数fx=sinωx+π6+A．16,13 B．12．一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（）A． B． C． D．3．已知函数满足，当时，，则（）A．或 B．或C．或 D．或4．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（）A．－1 B．1 C． D．5．已知满足，则（）A． B． C． D．6．已知函数，则的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20207．已知函数，若,且，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．9．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（）A． B． C． D．10．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（）A． B． C． D．11．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是A． B．的共轭复数为C．的实部与虚部之和为1 D．在复平面内的对应点位于第一象限12．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.14．设数列的前n项和为，且，若，则______________.15．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.16．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.（1）求证：；（2）当时，求的取值范围.18．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；（2）根据统计数据建立一个列联表；（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.附：19．（12分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.20．（12分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望21．（12分）已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离.22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：.过点的直线：（为参数）与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

将fx整理为3sinωx+π3，根据x的范围可求得ωx+π3∈π【详解】f当x∈0,π时，又f0=3sin由fx在0,π上的值域为32解得：ω∈本题正确选项：A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.2．B【解析】

根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.【详解】如图所示：因为正四棱锥底边边长为，高为，所以，到的距离为，同理到的距离为1，所以为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为.故选：B【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.3．C【解析】

简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.【详解】由，可知函数关于对称当时，，可知在单调递增则又函数关于对称，所以且在单调递减，所以或，故或所以或故选：C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.4．D【解析】

根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.【详解】如图所示：因为是△的中位线，所以到的距离等于△的边上高的一半，所以，由此可得，当且仅当时，即为的中点时，等号成立，所以，由平行四边形法则可得，，将以上两式相加可得，所以，又已知，根据平面向量基本定理可得，从而.故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.5．A【解析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6．C【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．【详解】解：．，，的周期为，，，，，．．故选：C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．7．A【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.8．A【解析】

根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程.【详解】因为直线：过双曲线的一个焦点，所以，所以，又和其中一条渐近线平行，所以，所以，，所以双曲线方程为.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．B【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到，此时与函数的图象重合，则，即，，当时，取得最小值为，故选：．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．10．D【解析】

设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.11．D【解析】

利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意，则，的共轭复数为，复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．12．A【解析】

画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.【详解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故选：A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果.【详解】如图由，所以由，所以又，则所以所以化简可得：则故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.14．9【解析】

用换中的n，得，作差可得，从而数列是等比数列，再由即可得到答案.【详解】由，得，两式相减，得，即；又，解得，所以数列为首项为-3、公比为3的等比数列，所以.故答案为：9.【点睛】本题考查已知与的关系求数列通项的问题，要注意n的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.15．【解析】

先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.【详解】一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：.故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.16．【解析】

把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值．【详解】解：由，得，，即，，又，，解得：．为正的常数，．故答案为：．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）.【解析】

（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）由于点在半圆上，则.①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），，，，.综上所述，；（2）根据题意得、，，令，则，所以，当时，，当时，.因此，的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.18．（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系【解析】

（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（2）填写列联表即可；（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【详解】解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.（2）列联表如下：戴口罩不戴口罩合计女性男性合计（3）由（2）中数据可得：.所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．19．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,,,,,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,,,又,,,为等边三角形,,则,,,,,,,,,设平面的法向量为,则，即,令,则,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面与平面的夹角为θ,则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】

（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和