圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边形结合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（原卷版）

重难点01圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边行结

合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）

题型解篌I模型构建.I真题强化制综I模拟通关试练

圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高，多

考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相

似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点以及数形结合、整体代入等数学思想.

祈商而百...模.型.0.1.圆.性质.的.应用............

圆性质的应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，在综合性大题考试中，难度系数不大，在各类

考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的性质及相关判定定理与推论并结合圆和其它几何

的相关知识点进行解题。

答|题|技|巧

1.灵活应用弦弧角之间的关系，弦和弧最终转化为角，一般情况下是圆周角；

2.碰到直径想直角，直径所对的圆周角为90°；

3.看到切线——连半径——90°,证明切线时注意证明90°；

4.圆内接四边形一一对角互补，外交等于内对角；

［器型行停T

1.（2024•江苏）如图，在。。中，4B是直径，CD是弦，且力B1CD,垂足为E,AB=20,CD=12,

在B4的延长线上取一点尸，连接CF,使NFCD=24B.

⑴求证：CF是。。的切线;

⑵求EF的长.

'支式

1.如图，四边形ABCD内接于圆。ZBOD=108°f则/5C。的度数是（）

C

A.127°B.108°C.126°D.125°

2.如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为5皿，瓶内截面圆中弦的长为8cm,则液体的最大深度CQ

为（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

3.如图，AB为的直径，点C为圆上一点，且NC钻=50。.现有以下操作：①以点B为圆心，适当长

为半径作弧，交A3,BC于点、D,E；②分别以点。，E为圆心，大于;DE的长为半径作弧，两弧交于

点、F；③作射线B尸交。。于点G.则NGAC的大小为（）

C

G,

FE

C.20°D.15°

4.如图，在VA3C中，ZACB=30°，AC=4,。为2C上的一个动点，以8D为直径的圆。与AB相切于

点、B,交AD于点E,则CE的最小值为

5.如图，A8是圆。的直径.C,。为圆。上两点，且8。平分NCA4,连接CD,AC,若NACD=29。,

则/CE券的度数为.

6.如图，0。是直角三角形ABC的外接圆，直径AC=4,过C点作0。的切线，与AB延长线交于点D,

M为CD的中点，连接BM,OM,且BC与。W相交于点N.

⑴求证：8河与。。相切；

(2)当NA=60。时，在。。的圆上取点尸，使NABb=15。，补全图形，并求点尸到直线A3的距离.

7.如图，A8是。。的直径，C,。是A8同侧圆上的两点，半径OD〃3c交AC于点E,ABAC=30°.

z>c

AB

⑴求证：CD=BC；

(2)若AC=26,求。。的半径.

8.如图，在VA3C中，/C=90。，/54C的平分线交于点。，点。在A3上，以点。为圆心，为半

径的圆恰好经过点。，分别交AC、A3于点E、F.

⑴试判断直线与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若8。=3百，BF=3,求。。的半径.

模型02圆与四边形结合的动态探究

浮画„..................................................

特殊四边形与圆结合的动态探究模型该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，主要考

查对圆性质的理解与三角形或四边形综合知识的应用。实际题型中对数形结合的讨论是解题的关键。许多

问题的讨论中需要我们对四边形的判定和性质有清晰认识。

答|题|技|巧

1.圆的性质应用，根据专题1的解题思路进行求解；

2.注意结合的四边形的形状，特殊平行四边形的性质与判定熟练应用；

3.四边形的存在性问题注意假设、反推；

4.数形结合进行分析、解答

［题型行停T

⑴求证：点。为8c的中点；

（2）若砥=4,AC=6,求OE.

＞支式

1.如图，四边形ABCD是圆。的内接四边形，ZB4D=50°,则/BCD的度数是（）

A.120°B.80°C.130°D.50°

2.圆内接四边形A38中，AB=AD,8£）是对角线，ZABD^4O°,则NC的度数是（）

3.在国。中，点A瓦在圆上，OB//DCQD//BC,则-4为（）

A.45°B.50°C.60°D.65°

4.如图，四边形ABC。是圆。的内接四边形，ZC=110°,则-4的度数为（）

C

5.阅读下列材料，然后解答问题.

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正

四边形叫做这个圆的内接正四边形.

如图，正方形内接于。。，。。的面积为区,正方形ABCD的面积为邑.以圆心。为顶点作/MQV,

使/MON=90。.将/MQV绕点。旋转，OM、ON分别与。。交于点E、F,分别与正方形ABCD的边交

于点G、H.设由OE、OF、砂及正方形ABC。的边围成的图形（阴影部分）的面积为S.

图①图②图③

⑴当经过点A（如图①）且。。的半径为1时，求S的值（结果保留万）;

（2）当加，至于G时（如图②），求S、耳、$2之间的关系为：_（用含岳、$2的代数式表示）;

⑶当/MON旋转到任意位置时（如图③），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由.

6.定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的"闪亮四边形

acD,c

1〕

BB

图1图2

⑴若口ABC。是圆的“闪亮四边形"，则DABCD是一(填序号)；

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如图1,已知。。的半径为ROEL3c于点E,四边形ABCD是。。的"闪亮四边形

①求证：OE=；A。

②求证：AB2+CD2=4R2

(3)如图2,四边形ABC。为。。的“闪亮四边形"，AC、相交于点P,AC=BD=^,BC=4,求。。的

半径为R

7.定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形

⑴如图1,A3是。。的一条弦(非直径)，若在0。上找一点C,使得VABC是"圆等三角形”，则这样的点

C能找到个.

⑵如图2,四边形ABC。是。。的内接四边形，连结对角线△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且

AB=AD.

①当NA=130。时，求/BDC度数.

②如图3,当/A=120。，AB=2时，求阴影部分的面积.

模型03情景与应用题型

考I向I预I测

圆结合的情景与应用模型近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易得满分。

该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型通常和我们的日常生活中所接触的

事物或者生活现象紧密结合，需要同学们有较强的阅读和理解题意的能力，同时还要有一定的知识储备。

在解题时要根据题意把转化为我们所学习的圆的相关知识应用。

答I题I技I巧

1.理解题意，联系圆的相关知识点；

2.圆的相关证明与判定依据模型1的思路总结；

3.利用四边形、圆、直角三角形或相似的相关知识点解题;

|毂型三例

1.利用素材解决：《桥梁的设计》

某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端1用的水面宽4£=e称跨度，桥面最高点到的距离CD=/z称

问

拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧1型或抛物线型，若修建拱桥的跨度Z=32米，拱高〃=8米.

题

驱人

动7;

方案一：圆弧型方案二：抛物线型

c

图C

形

A0(0

（1）如图，我们通过尺规作图作A8所在圆的圆心

（3）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线

任0,得出结论：不在同一条直线上的_____个点确

为y轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表

务定一个圆.

达式.

（2）求A5所在圆的半径.

＞支式

1.在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆

相交，另一边与圆相切的角；如图，直线〃与。。相切于点/,印是0。的一条弦，则就是弦切角），

发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关.请根据这个思路完成以下作图和填空.

⑴尺规作图：已知AB是。。的直径，延长过点8作。。的切线在点B左侧,N在点B右侧.保

留作图痕迹，不写作法）

（2）如图C、。是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：ZDBN=ZBCD.

证明：连接AD.

T43是。。的直径，

/ADB=①.

•••是过点8的切线,

即/ABN=90°,

NDBN+ZABD=90°

ZA+ZABD=90°

ZDBN=ZA

又•:—A和/C是弧so所对的圆周角

ZA=@-

4DBN=2C.

由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角巫_它所夹弧所对的圆周角.（横线上填："大于"或"等于"或"小

于"）

2."求知〃学习小组在学完"圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动:

⑴如图1,点A、B、C在。。上，点。在。。外，线段皿CD与。。交于点E、F,试猜想NB+ND」80。

（请填"<"或"="）；

（2）如图2,点AB、C在O。上、点。在。。内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；

若不成立，请写出你的结论并予以证明；

3.阅读与思考

直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔

记，请仔细阅读并完成相应的任务.

欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线.切

线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线.平面几何中，将和圆只

有一个公共交点的直线叫做圆的切线…

证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利

用切线的判定定理来证明.

添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直.

图1是古代的"石磨"，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的"连杆"，推动"连杆"然

后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.图2

是一个"双连杆"，两个固定长度的"连杆"AP,3P的连接点P在。。上，MNLEF,垂

足为。，当点尸在。。上转动时，带动点A,8分别在射线。0尸上滑动，当点8恰

好落在0。上时，NPBO=g/PAO,请判断此时AP与0。的位置关系并说明理由.

理由：连接0P.

团点B恰好落在。。上，

:.ZPBO=-ZPOE.（依据1）

2

QNPB0=；NPA0,

:.ZPOE=ZPAO.

•:MNLEF,

ZPOE+ZAOP=90°,

:.ZPAO+ZAOP=90°.

QZPAO+ZAOP+ZAPO=180°,（依据2）

.-.ZAPO=90°,

ElAP与00相切.

任务：

⑴依据L.

依据2：.

（2）在图2中，00的半径为6,AP=8,求BP的长.

4.如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面AB=274cm（台面厚度忽略不计）与地面平

行，且高度为76cm（台面A5与地面之间的距离），直线型支架PE与。尸的上端E,尸与台面42下方相连，

PF与QF的下端P,。与直径为4cm的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架CG

与斯的上端C,。与台面A3下方相连，下端G,H与PE,。尸相连，圆弧形支架GH分别与PE,在

ArS

点G,H相连，且PCLAB，OQLAB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=小，已知防=106cm,||=|,

Q

tan/ECG=tanZFDH=—

3

（2）当GH所在的圆经过点尸、。时，求:GH所在的圆的圆心到台面AB之间的距离

模型04隐圆问题

浮而丽面......................

隐圆问题主要出现在压轴题型中，一般是填空题的最后一道或者多可能问题中出现，属于动点模型问题。

想要解决此类问题需要解决此类问题，需要真正理解圆的定义及性质，根据圆的定义与性质判定动点移动

的轨迹。

答|题|技|巧

隐圆问题一般有以下几种表现形式：

（1）根据圆的定义判定，动点在移动的过程中到某一定点的距离始终不变；

（2）等弦对等角，一般考试中出现直角不变型的情况居多；

（3）四点共圆型，利用圆内接四边形的性质，对角互补；

模型01定义型

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

模型02直径所对的角为直角（直角模型）

一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；

如图，若P为动点，AB为定值，ZAPB=90°,则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

模型03等弦对等角模型

一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若尸为动点，A8为定值，/AP8为定值，则

|题型守例

1.如图，在AABC中，ZACB=9Q°,AC=3,3C=4,点。在AC边上，且AD=2,动点P在

8C边上，将APDC沿直线尸。翻折，点C的对应点为E,则AAEB面积的最小值是（）

＞麦K

1.如图，在正方形中，AB=2,E为边AB上一点，尸为边BC上一点.连接。E和AF交于点G,

连接BG.若AE=3几则8G的最小值为

cB

E

D

2.如图，四边形ABC。为矩形，AB=3,3c=4.点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一

点.ZADM=ZBAP,则的最小值为（）

C.V13--D.713-2

2

3.如图，菱形ABC。边长为4,0A=60。，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将0AMN沿所在的

直线翻折得到EA'MN,连接4C,则AC的最小值是（

D.3

4.如图，在RtAABC中，N4CB=90。，点E在AC上，以CE为直径的。。经过力B上的点。，与。B交于点尸,

且BD=BC.

B

⑴求证：力B是。。的切线；

（2）若=f，AE=1,求CT的长.

1.（2023•山西）如图，△ABC中，/C=90°,/8AC=30°,AB=2,点尸从C点出发，沿C2运动到点

8停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为。，点。运动的路径长为（）

A.2MB.V3C.6兀D.—

363

2.（2023•广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE,点N,点M分别为BC,DE的中点，AB=6,

AD=4,△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为.

3.（2024.云南）如图，“筒车"盛水筒的运行轨迹是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。在水面上方，且当圆

被水面截得的弦为6米时，圆心到水面A3的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为_

米.

4.（2023・贵州）如图，在VABC中，NACB=30°,AC=4,。为BC上的一个动点，以8。为直径的圆。

与43相切于点B,交AD于点E,则CE的最小值为

5.（2024•青海）如图，直线4B经过点C,且。4=OB,CA=CB.

（1）求证：直线是。。的切线；

（2）若圆的半径为4,Z.B=30°,求阴影部分的面积.

益模核速用

1.一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABC。，他在边AB和

AD上分别取点E和点使=AM=1,又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再

将AE4N沿所在直线折叠得到△E4'N,随后连接ZM',小明同学通过多次实践得到以下结论：

①当点N在线段上运动时，点H在以E为圆心的圆弧上运动；

②D4'的最大值为4；

③DA的最小值为2行-2；

④当A到的距离达到最大值时，MN=1.

你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是.

2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A,B,C均在格点上.

(1)线段w的长等于;

(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心。，并简要说明点。的位置是如何找到的(不要

求证明).

3.已知以A5为直径的圆。，C为A3弧的中点，P为8C弧上任意一点，连接

若AB=8,的最小值为.

4.。。中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿AC翻折交于点，连接CO.

(1)如图1,若点。与圆心。重合，AC=