长方体和正方体的认识（重难点讲解）-2024-2025学年人教版五年级数学下册

【新课同步学与练】20242025学年人教版五年级数学下册

第三单元：长方体和正方体

3.1、长方体和正方体的认识

(重难点讲解+知识点总结+同步练习+答案解析)

1、长方体

(1)一般是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。

两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

(2)长方体特征：

①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对

的面完全相同。

②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、

4条宽、4条高。

③顶点：长方体有8个顶点。

(3)长方体的棱长总和=(长+宽+高)X4

=长乂4+宽X4+高X4

长=棱长总和+4一宽一高

宽=棱长总和+4一长一高

高=棱长总和+4一长一宽

2、正方体

(1)由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体(也叫做立方体)。

(2)正方体特征：

①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。

②正方形的6个面是完全相同的正方形。

③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

(3)正方体的棱长总和=棱长X12

正方体的棱长=棱长总和+12

3、长方体和正方体的异同点

立体相同点不同点

图形面棱顶点面棱

6个长方形（或

长方体相对的4条棱

有2个正方形和的长度相等

6个12条8个4个长方形）

正方体6个完全相同12条棱的长度

的正方形都相等

4、长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。

知识点1：长方体的认识及特征

【典型例题】一个长2m、宽2m、高3m木箱平放在地面上，占地面积至少是（)o

A.6m2B.6m3C.4m2D.4m3

【答案】C

【分析】占地面积指的是接触地面的面积，也就是长方体下面的面积，要想占地面积最小，

用最小的面做底面即可。

【详解】2X2=4（m2）

则占地面积至少是4m1

故答案为：C

【变式训练1】小明用小棒搭一个长方体框架（如下图），搭了其中的三根，就能决定这个长

方体的形状与大小的是（

-----------------------------------------------------------------------------

A.B.C.

【答案】C

【分析】长方体有12条棱，分3组，相交于同一点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、

宽、高，长方体的形状和大小由长、宽、高决定，据此解答。

【详解】A、B两项给出了三条边，可以决定的是长方形的形状和大小而不是长方体；

由分析可知，C项给出了长方体的长、宽、高，可以确定它的大小和形状。

故答案为：C

【变式训练2】用下面五块长方形纸板拼成一个无盖纸盒(单位：cm),纸盒的底面积是

()o

□araoQ

A.80cm2B.48cm2C.60cm2

【答案】C

【分析】由题意可知，五块长方形纸板拼成一个无盖纸盒，则有两对图形完全相同，则剩下

的面就是底面，然后根据长方形的面积=长乂宽，据此解答即可。

【详解】6X10=60(cm2)

故答案为：C

知识点2：长方体有关棱长的应用

【典型例题】一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、2厘米，它的棱长总和是

()厘米。

【答案】52

【分析】根据公式：长方体的总棱长=(长+宽+高)X4,代入数据计算即可。

【详解】(6+5+2)X4

=13X4

=52(厘米)

即它的棱长总和是52厘米。

【变式训练1】用一根52厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长方体框架。框架长6厘米、宽

4厘米、高（）厘米。

【答案】3

【分析】用一根52厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长方体框架，则这个长方体的棱长总和

为52厘米。现在已知长方体的长为6厘米、宽为4厘米，要求得高是几厘米，根据长方体棱

长总和=（长+宽+高）X4,可列式为：52+4—6—4。

【详解】524-4—6—4

=13-6-4

=3（厘米）

长方体的高为3厘米。

【变式训练2】一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上

粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？

【答案】360厘米

【分析】求至少需要的胶带长度，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和公

式：棱长总和=（长+宽+高）X4,代入数据，即可解答。

【详解】（40+30+20）X4

=（70+20）X4

=90X4

=360（厘米）

答：至少需要360厘米长的胶带。

知识点3：长方体的展开图

【典型例题】下图中能折成长方体的有（）个。

Mb==国

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时特殊情况有两个相对的面是

正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。

【详解】根据长方体展开图的特征可知：

能围成长方体;

则能折成长方体的有3个。

故答案为：C

【变式训练1】3cm是一个长方体的前面，那么2cm应该

是这个长方体的（）。

A.后面B.左面C.上面D.右面

【答案】C

【分析】根据已知条件长方体的长是6cm,宽是3cm,高是3cm,结合完整的长方体的长、

宽、高的位置特征进行对比选择即可。

6cm

6cm—3cm

【详解】3cm局

一一归2E

6cm长范

如图，正面看到的6cm是长，含有长的面只有前、后、上、下四个面，含有高3cm的是前、

后两个面，所以含有6cm和2cm的面应该是上、下面；

故答案为：C

【变式训练2】把下边这个展开图折成一个长方体（字母在外面）。如果底面是A,那么上面

【答案】D

【分析】根据长方体的展开图，相对的面完全相同。据此解答。

【详解】由分析可知：如果底面是A,那么上面是D。

知识点4：正方体的认识及特征

【典型例题】一个正方体每个面的面积都是16平方厘米，它的棱长是（）0

【答案】4厘米

【分析】因为正方体的每个面都是正方形，根据正方形的面积公式：S=a2,据此解答。

【详解】因为4X4=16（平方厘米）

所以它的棱长是4厘米。

【变式训练1】魔方是常见的正方体，它有（）个面，（）条棱，（)

个顶点。

【答案】6128

【分析】由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方

体。根据正方体的特征：有6个面，这6个面都是正方形，且面积相等；有12条棱，这些棱

的长度都相等；有8个顶点，据此解答。

【详解】魔方是常见的正方体，它有6个面，12条棱，8个顶点。

【变式训练2】一个正方体的每个面都只画有△,口和☆中的一种，挪一次，要使挪到三种

图形的可能性一样大，这个正方体有（）个面上画了口；如果要使掷到☆的可能性

最大，这个正方体至少有（）个面上画着

【答案】23

【分析】一个正方体的共有6个面，要使挪到三种图形的可能性一样大，它们的数量一样

多；如果要使掷到☆的可能性最大，这个正方体至少有的面数比一样多的多1即可。

【详解】由分析得，

64-3=2（个）

2+1=3（个）

所以要使挪到三种图形的可能性一样大，这个正方体有2个面上画了口；如果要使掷到☆的

可能性最大，这个正方体至少有3个面上画着

知识点5：正方体有关棱长的应用

【典型例题】用长48厘米的铁丝恰好可以围成棱长是（）厘米的正方体。

A.12B.4C.8

【答案】B

【分析】铁丝的长度相当于正方体的棱长之和，正方体的棱长之和=棱长X12,则正方体的

棱长=棱长之和+12,据此解答。

【详解】484-12=4（厘米）

故答案为：B

【变式训练1】售货员阿姨给一个正方体礼品盒打上彩带，礼品盒的棱长是20cm,打结处的

长度是10cm,一共需要()dm的彩带。

【答案】25

【分析】观察图形可知，彩带的长度等于12条正方体的棱长，再加上打结处的长度即可求

解。

【详解】12X20+10

=240+10

=250(cm)

=25(dm)

则一共需要25dm的彩带。

【变式训练2】一个长方体木块可以锯成两个一样的正方体木块，已知长方体木块棱长总和

是80厘米，一个正方体木块的棱长是()厘米。

【答案】5

【分析】根据长方体锯成两个正方体可知，长方体的宽和高相等，长方体的长是宽的两倍，

可以根据长方体的棱长总和=(a+b+h)X4,设长方体的宽为x厘米，代入数据，求出长

方体的宽，正方体的棱长等于长方体的宽，据此解答。

【详解】解：设长方体的宽为x厘米，

(2x+x+x)X4=80

4xX4=80

16x=80

16x4-16=804-16

x=5

【答案】c

【分析】根据正方体展开图的类型，主要分为“1—4—1”型，“2—3—1”型,“2—2—2”

型，“3—3”型，据此解答即可。

【详解】

A.口|口属于“1—4—1”型,可以折成正方体；

B.।r~^j।属于型，可以折成正方体；

C.二不属于正方体的展开图的类型，不可以折成正方体；

D.匚二h।属于2—2—2”型,可以折成正方体。

故答案为：C

数字1的对面是（）。

【答案】2

【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1—4—1”型，折叠成

正方体后，数字1与2相对，4与3相对，5与6相对。

【详解】用1做成一个^,数字1的对面是2o

【变式训练2】如图是正方体表面展开图，每两个相对面数字之和是10,请在这个正方体每

个表面上填入适当的数。

【答案】5；3；8

【分析】题干中所给图片为“3—3”型的正方体平面展开图，每两个相对面用同一颜色标示

出，再计算出正方体每个表面上的数。

【详解】正方体的相对面如图所示:

10-7=3

10-5=5

10-2=8

将数字填在对应面上，如图所示:

一、选择题

1.正方体棱长是7cm,它的棱长总和是（

A.42cmB.84cmC.343cm

【答案】B

【分析】正方体的棱长总和=棱长X12,把题中数据代入公式计算，据此解答。

【详解】7X12=84（cm）

所以，正方体的棱长总和是84cm。

故答案为：B

2.有一根126厘米长的铁丝，将这根铁丝焊接成一个正方体框架后，还剩6厘米，这个正方

体框架的棱长是（）厘米。（接头处忽略不计）

A.30B.10C.20

【答案】B

【分析】由题意可知，用126减去6就是正方体的总棱长，然后根据正方体的总棱长=棱长

X12,据此解答即可。

【详解】（126-6）4-12

=1204-12

=10（厘米）

故答案为：B

3.拼成一个大正方体，至少需要（）个棱长为3cm的小正方体。

A.8个B.18个C.27个

【答案】A

【分析】将正方体的棱长扩大到原来的2倍，变成3X2=6（cm）,这样需要的小正方体的数

量是最少的。此时每条棱上有2个小正方体，那么至少需要2X2X2=8（个）小正方体。

【详解】2X2X2=8（个）

所以，拼成一个大正方体，至少需要8个棱长为3cm的小正方体。

故答案为：A

4.一个长方体的棱长和是120厘米，相交于一个顶点的三条棱长度之和是（）厘

米。

A.20B.30C.40

【答案】B

【分析】根据长方体的特征可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、

宽、高。

求相交于长方体一个顶点的三条棱长度之和就是求长方体的长、宽、高的和，根据长方体的

棱长总和=（长+宽+高）X4可知，长方体的长、宽、高之和=棱长总和+4,代入数据计

算即可求解。

【详解】120+4=30（厘米）

相交于一个顶点的三条棱长度之和是30厘米。

故答案为：B

5.用铁丝做一个长为9厘米，宽为5厘米，高为4厘米的长方体框架，一共需要（）

长的铁丝。

A.72厘米B.36厘米C.54厘米

【答案】A

【分析】根据长方体的总棱长公式：L=（a+b+h）X4,据此代入数值进行计算即可。

【详解】（9+5+4）X4

=18X4

=72（厘米）

则一共需要72厘米长的铁丝。

故答案为：A

6.王叔叔打算做一个无盖的长方体鱼缸，已经准备了4块长方形玻璃，其中2块玻璃长

6dm,宽4dm,另外2块玻璃长5dm,宽4dm,还需配1块（）的玻璃才刚好合适。

A.长6dm；宽5dmB.长4dm；宽4dmC.长6dm；宽4dm

【答案】A

【分析】一个无盖的长方体鱼缸，需要5个面来拼成。题目中已给了其中的4个面，可以根

据这4个面的数据，确定第5块玻璃的数据。

【详解】根据分析，一个无盖的长方体鱼缸，长和宽组成的底面1个，长和高组成的面2

个，宽和高组成的面2个；结合玻璃的数据，鱼缸的长为6dm,高为4dm,宽为5dm,题目中

已知前、后面，和左、右面，缺少底面：长6dm,宽5dm；还需配1块长6dm,宽5dm的玻璃

才刚好合适。

4dm）

________/?dm

6dm

故答案为：A

二、填空题

7.正方体是由6个完全相同的（）围成的立体图形，它是特殊的（

【答案】正方形长方体

【详解】由正方体的特征可知，正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所有的

棱长度相等，正方体是长、宽、高都相等的长方体，它是特殊的长方体。

8.长方体（）条棱，（）个顶点。

【答案】128

【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊

情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。长方体有12条

棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点，每

个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。据此解答。

【详解】根据分析得，长方体12条棱，8个顶点。

9.长方体有12条棱和（）个面，在特殊情况下长方体至少有（）面是长

方形。

【答案】6/六4/四

【分析】根据长方体的特征进行解答。

①长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。

②长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时

有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。

【详解】长方体有12条棱和6个面，在特殊情况下长方体至少有4面是长方形。

10.李爷爷用木条制作了一个棱长6厘米的正方•体灯笼框架，如果用同样长的木条制作一个

长9厘米、宽6厘米的长方体灯笼框架，高是（）厘米。

【答案】3

【分析】用同样长的木条制作正方体和长方体框架，正方体的棱长总和等于长方体的棱长总

和；正方体的棱长总和=棱长X12,用正方体的棱长总和除以4求出长宽高的和，再减去长

和宽即可求出长方体的高度。

【详解】6X124-4-9-6

=18-9-6

=3（厘米）

长方体灯笼框架的高是3厘米。

11.用两个大小相同的正方体可以拼成一个长方体，拼成的长方体有（）个面是正

方形，有（）个面是长方形。

【答案】24

【分析】两个正方体可以拼成一个长方体，拼在一起的两个正方体的面是正方形，所以和它

相对的面就是正方形，即这个长方体有2个面是正方形，剩下的部分都是由两个正方形拼在

一起组成的长方形，所以长方体有4个面是长方形。

【详解】如图：05一百

用两个大小相同的正方体可以拼成一个长方体，拼成的长方体有2个面是正方形，有4个面

是长方形。

12.长方体和正方体都有（）个面，（）条棱，（）个顶点。一个

正方体的棱之和是2.4米，它的一条棱长是（）米。

【答案】61280.2

【分析】根据长方体和正方体的特征可知，长方体和正方体都有6个面。12条棱，8个顶

点；再根据正方体的总棱长公式：L=12a,据此求出它的一条棱长。

【详解】2.44-12=0.2（米）

则长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。一个正方体的棱之和是2.4米，它的一

条棱长是0.2米。

13.下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则（）字在下面，

“城”字在前面，（）字在后面，“创”字在（）面，“市”字在

（）面。

创

建文明

城市-5.5cm

J____人___J

V

21cm12cm

【答案】明文左右

【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方

形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明”字相对，“城”

字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。

【详解】根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文”

字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。

14.下图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长和是（）厘米。

【答案】200

【分析】观察图形可知，这个长方体的长是30厘米，宽是15厘米，高是（40—15X2）+2

=5厘米，然后根据长方体的总棱长=（长+宽+高）X4,据此代入数值进行计算即可。

【详解】（40—15X2）4-2

=（40-30）4-2

=104-2

=5（厘米）

（30+15+5）X4

=50X4

=200（厘米）

15.小明用一根128厘米长的铁丝围成一个长方体，量得长方体的长是16厘米，宽是8厘

米，那么这个长方体的高是（）厘米。

【答案】8

【分析】铁丝长度是长方体棱长总和，根据长方体的高=棱长总和+4—长一宽，列式计算即

可。

【详解】128+4—16—8

=32-16-8

=8（厘米）

这个长方体的高是8厘米。

16.用铁丝焊接成一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝（）

cm0

【答案】108

【分析】根据长方体的总棱长公式：L=（a+b+h）X4,据此代入数值进行计算即可。

【详解】（12+10+5）X4

=27X4

=108（cm）

则至少需要铁丝108cm。

17.一个长方体的棱长和为72厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是（）厘

米。

【答案】18

【分析】相交于一个顶点的三条棱就是长方体的长、宽、高，然后根据长方体的总棱长公

式：L=（a+b+h）X4,用72除以4即可求出相交于一个顶点的三条棱的长度和。

【详解】724-4=18（厘米）

则相交于一个顶点的三条棱的长度和是18厘米。

18.一个长方体的棱长总和是72cm,长是8cm,宽是4cm,高是（）cm,最大那个

面的面积是（）cm%

【答案】648

【分析】长方体的棱长总和=（长+宽+高）X4,已知棱长总和以及长和宽，可以求长方体

的高。求出高后，根据长、宽、高的长度比较，可以求出找到面积最大的面。

【详解】72+4—（8+4）

=18-12

=6（cm）

8>6>4,

8X6=48（cm2）

长方体高是6cm,最大那个面的面积是48cm2o

三、判断题

19.长方体有6个面，8个顶点，12条棱。（）

【答案】V

【分析】根据长方体的特征：长方体有6个面。每组相对的面完全相同。长方体有12条棱,

相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点。每个顶

点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。长方体相邻的两条棱互相垂直。据此

解答。

【详解】根据分析得，长方体有6个面，8个顶点，12条棱。原题说法是正确的。

故答案为：V

20.小红穿鞋的鞋盒是一个长20cm,宽10cm,高3cm的长方体。（）

【答案】X

【分析】根据情景和生活经验，对长度单位和数据大小的认识，据此判断鞋盒这个长方体的

长宽高是否符合实际。

【详解】这个长方体的鞋盒的长为20cm,宽为10cm,高为3cm,高度只有3cm,3cm大概是

无名指一半的长度，显然作为鞋盒的高度不合适。所以原题说法错误。

故答案为：X

21.如图，把这张纸折叠后，能围成一个正方体。（)

【答案】V

【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1—4—1”结构，即第一

行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2—2—2”结构，即每一行放2个正方

形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3—3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种

展开图；第四种：“1—3—2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行

放2个正方形。

【详解】根据分析可知，本题图示属于正方体展开图的“1—4—1”型，能围成正方体。

故答案为：V

22.在一个长方体中最少有4个面是长方形。（