2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期中数学试题和答案

试题PAGE1试题2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．0.3，0.4，0.5 B．13，14，C．32，42，52 D．8，15，173．（2分）如图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．无法确定4．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠CAB5．（2分）学校一角的形状如图所示，其中AB，BC，CD表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一座朗读亭，使点P到三面墙的距离都相等．则点P在（）A．线段AC、BD的交点 B．线段AB、BC垂直平分线的交点 C．线段BC、CD垂直平分线的交点 D．∠ABC、∠BCD角平分线的交点6．（2分）下列说法中，正确的有（）①如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2一定成立；②如果△ABC不是直角三角形，那么a2+b2≠c2；③△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）在直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是°．8．（2分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝°．9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2，若S1＝31，S2＝15，则BC的长为．10．（2分）如图，△ABC是边长为16的等边三角形，D是BC上一点，BD＝6，DE⊥BC交AB于点E，则线段AE＝．11．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，连接BE．若BD＝3cm，△ABC的周长为16cm，则△BCE的周长为cm．12．（2分）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且MN∥BC，若AB＝12，AC＝15，则△AMN的周长是．13．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，若DC＝7.8，BF＝3，则AF的长为＝．14．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，则BD的长是．15．（2分）如图，AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点M、N分别为BC、AB上的动点，则AM+MN的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出演算步骤或文字说明）17．（6分）如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，BE＝CF，AF∥DE，AF＝DE，求证：AB∥CD．18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，点D为AB上一点，且满足CD＝12，BD＝5．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求AC的长．19．（6分）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点，连接ME、MD、DE．（1）求证：△DEM为等腰三角形；（2）直接写出∠EMD与∠ABD之间的数量关系：．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，AD＝AE，BD、CE相交于点O．（1）求证：OB＝OC；（2）连接AO，求证：AO⊥BC．21．（8分）如图，△ABE、△ACD都是等边三角形，且B、E、C三点在一条直线上．（1）求∠AED的度数；（2）若点M、N分别是线段BC和DE的中点，连接AM，MN，NA，试判断△AMN的形状，并说明理由．22．（8分）如图，点E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC＝BE，AB＝DE．（1）求证：CE＝BD﹣AC；（2）若△ABC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理．23．（7分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，A，B，C为格点，点P为线段AB上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）（1）AB的长等于；（2）在图1中，画出△ABC的角平分线BD；（3）在图2中，在线段BC上画点Q，使得BP＝BQ．24．（8分）如图，点A、D、E在一条直线上，AB＝AC，∠BDE＝∠CDE＜90°，求证：BD＝CD．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，…第一步又∵AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD，…第二步∴BD＝CD．…第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．25．（9分）【教材呈现】如图是苏教版八年级上册数学教材65页的部分内容．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小明给出上述定理证明中的部分演绎推理的过程如下：已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线．求证：CD=1证明：如图2，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E．【问题解决】请结合图2将证明过程补充完整．【问题再探】如图3，将Rt△ABC的BC边沿着斜边上的中线CD折叠到CF，连接AF、BF．（1）求证：∠AFB＝90°；（2）若AC＝8，BC＝15，直接写出AF＝．

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义，判断即可．【解答】解：B选项图形无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；A，C，D选项均能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．2．（2分）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．0.3，0.4，0.5 B．13，14，C．32，42，52 D．8，15，17【分析】根据一组数据中，较小两个数的平方和等于较大一个数的平方，且3个数都为正整数，这组数为勾股数逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵0.3，0.4，0.5与13，14，∴这组数不是勾股数，∴AB不符合题意；∵92+162≠252，∴这组数不是勾股数，∴C不符合题意；∵82+152＝172，∴这组数是勾股数，∴D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股数的判定，熟练掌握勾股数的判定是解题的关键．3．（2分）如图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．无法确定【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、b边的夹角，然后写出即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴∠α的度数＝180°﹣60°﹣70°＝50°．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．4．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠CAB【分析】根据已知可得到∠B＝∠D，AC＝AC，然后根据各个选项中的条件，分别判断即可．【解答】解：A、添加AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，不符合题意；B、添加AD＝BC，不能证明△ABC≌△CDA，不符合题意；C、添加AB∥CD，得出∠BAC＝∠DCA，利用AAS证明△ABC≌△CDA，符合题意；D、添加∠B＝∠CAB，不能证明△ABC≌△CDA，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．5．（2分）学校一角的形状如图所示，其中AB，BC，CD表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一座朗读亭，使点P到三面墙的距离都相等．则点P在（）A．线段AC、BD的交点 B．线段AB、BC垂直平分线的交点 C．线段BC、CD垂直平分线的交点 D．∠ABC、∠BCD角平分线的交点【分析】根据角平分线的性质可得出答案．【解答】解：点P是∠ABC、∠BCD角平分线的交点，理由如下：过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，如图所示：∵点P是∠ABC、∠BCD角平分线的交点，∴PE＝PF，PH＝PF，∴PE＝PF＝PH，即点P到AB，BC，CD的距离相等．故选：D．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，准确识图，理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．6．（2分）下列说法中，正确的有（）①如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2一定成立；②如果△ABC不是直角三角形，那么a2+b2≠c2；③△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由勾股定理和勾股定理的逆定理分别对各个说法进行判断即可．【解答】解：①如果△ABC是直角三角形，且c是斜边，那么a2+b2＝c2一定成立；故①不正确；②△ABC不是直角三角形，则任何两边的平方和都不等于第三边的平方，故②正确；③∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，故③正确；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，且c是最长边，那么△ABC不是直角三角形，故④不正确；综上所述，正确的说法有2个，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）在直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是54°．【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：∵直角三角形的一个锐角是36°，∴另一个锐角是：90°﹣36°＝54°，故答案为：54．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．8．（2分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝80°．【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣50°×2＝80°．故答案为：80．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是根据等腰三角形的两个底角相等解答．9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2，若S1＝31，S2＝15，则BC的长为4．【分析】由以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2，且S1＝31，S2＝15，得AB2＝31，AC2＝15，即可根据勾股定理求得BC．【解答】解：∵以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2，且S1＝31，S2＝15，∴AB2＝31，AC2＝15，∵∠ACB＝90°，∴BC=A∴BC的长为4，故答案为：4．【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2分）如图，△ABC是边长为16的等边三角形，D是BC上一点，BD＝6，DE⊥BC交AB于点E，则线段AE＝4．【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝16，∠B＝60°，再根据垂直定义可得∠EDB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BED＝30°，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得BE＝12，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝16，∠B＝60°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠B＝30°，∵BD＝6，∴BE＝2BD＝12，∴AE＝AB﹣BE＝16﹣12＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及等边三角形的性质是解题的关键．11．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，连接BE．若BD＝3cm，△ABC的周长为16cm，则△BCE的周长为10cm．【分析】由已知条件，利用垂直平分线的性质可得其两条边AE＝BE，然后等效替换即可求出周长．【解答】解：∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∴AD＝BD＝3cm，AB＝6cm，∵△ABC的周长为16cm，∴AC+BC＝16﹣6＝10（cm），△BCE的周长＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝10（cm）．故答案为：10．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及判定及垂直平分线的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．12．（2分）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且MN∥BC，若AB＝12，AC＝15，则△AMN的周长是27．【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MB＝MO，NO＝NC，∵AB＝12，AC＝15，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝12+15＝27，故答案为：27．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．13．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，若DC＝7.8，BF＝3，则AF的长为＝1.8．【分析】根据AAS证明△DBF与△ABC全等，利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE⊥AC于E，∴∠FDB+∠C＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠D+∠DFB＝90°，∴∠C＝∠BFD，在△DBF与△ABC中，∠C=∠BFD∠ABC=∠DBF=90°∴△DBF≌△ABC（AAS），∴BF＝BC，∵DC＝7.8，BF＝3，∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝7.8﹣3﹣3＝1.8，故答案为：1.8．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．14．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，则BD的长是152【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由AAS证明△ACD≌△AED（AAS），得出AE＝AC＝9，DE＝CD，再由勾股定理求出BC的长，设BD＝x，则CD＝DE＝12﹣x，在Rt△BDE中由勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，又∵AD＝AD，∠C＝∠DEA＝90°，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC＝9，DE＝CD，∴BE＝AB﹣AE＝15﹣9＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=A设BD＝x，则CD＝DE＝12﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2＝BD2，∴（12﹣x）2+62＝x2，解得x=15∴BD=15故答案为：152【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记勾股定理是解题的关键．15．（2分）如图，AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是48°．【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，AE＝AC，根据等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE，求出∠AEC的度数，再根据三角形的外角性质求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠BAC＝28°，∴∠AEC＝∠ACE=12（180°﹣∠∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，∴∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，∴∠B＝∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，故答案为：48°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点，注意：①全等三角形的对应边相等，对应角相等，②等边对等角．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点M、N分别为BC、AB上的动点，则AM+MN的最小值为245【分析】作A关于CB的对称点D，连接DM，DN，BD，推出AM＝MD，CD＝AC＝3，由三角形三边关系得到NM+AM≥DN，当DN⊥AB时，DN长最小，由勾股定理求出BC=AB2−AC2=4，由三角形面积公式得到△ABD的面积=12AB•DN=12AD•【解答】解：作A关于CB的对称点D，连接DM，DN，BD，∴AM＝MD，CD＝AC＝3，∵MN+MD≥DN，∴NM+AM≥DN，当DN⊥AB时，DN长最小，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC=A∵△ABD的面积=12AB•DN=12∴5DN＝6×4，∴DN=∴AM+MN的最小值是245故答案为：245【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，关键是由轴对称的性质得到DM＝AM，由三角形三边关系得到NM+AM≥DN，由三角形的面积公式即可求出DN的长．三、解答题（本大题共9小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出演算步骤或文字说明）17．（6分）如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，BE＝CF，AF∥DE，AF＝DE，求证：AB∥CD．【分析】根据平行线的性质和等式的性质得出∠AFB＝∠DEC，BF＝CE，进而利用SAS证明△AFB与△DEC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC，在△AFB与△DEC中，AF=DE∠AFB=∠DEC∴△AFB≌△DEC（SAS），∴∠B＝∠C，∴AB∥CD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用SAS证明△AFB与△DEC全等解答．18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，点D为AB上一点，且满足CD＝12，BD＝5．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求AC的长．【分析】（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BCD为直角三角形，（2）由（1）推出∠ADC＝90°，根据勾股定理可求出AC的长．【解答】解：（1）△BCD为直角三角形，理由如下：∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BCD为直角三角形；（2）设AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣5）2+122，解得x＝16.9，∴AC＝16.9．【点评】此题考查逆定理的应用、勾股定理，解题关键是根据勾股定理的逆定理推出△BCD为直角三角形．19．（6分）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点，连接ME、MD、DE．（1）求证：△DEM为等腰三角形；（2）直接写出∠EMD与∠ABD之间的数量关系：∠EMD＝2∠ABD．【分析】（1）根据垂直定义可得∠CEB＝∠CDB＝90°，然后利用直角三角形的斜边上的中线性质可得EM＝BM=12BC，DM＝CM=12BC，从而可得（2）利用（1）的结论和等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠MEB，∠DCM＝∠CDM，从而利用三角形内角和定理可得∠EMB＝180°﹣2∠ABC，∠DMC＝180°﹣2∠ACB，然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得可得∠EMD＝180°﹣∠EMB﹣∠DMC＝180°﹣2∠A，再根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而可得∠A＝90°﹣∠ABD，最后进行计算可得∠EMD＝2∠ABD，即可解答．【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠CEB＝∠CDB＝90°，∵点M是BC的中点，∴EM＝BM=12BC，DM＝CM=∴EM＝DM，∴△DEM为等腰三角形；（2）解：∠EMD＝2∠ABD，理由：∵EM＝MB，DM＝CM，∴∠ABC＝∠MEB，∠DCM＝∠CDM，∴∠EMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MEB＝180°﹣2∠ABC，∠DMC＝180°﹣∠ACB﹣∠CDM＝180°﹣2∠ACB，∴∠EMD＝180°﹣∠EMB﹣∠DMC＝180°﹣（180°﹣2∠ABC）﹣（180°﹣2∠ACB）＝2∠ABC+2∠ACB﹣180°＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝2（180°﹣∠A）﹣180°＝360°﹣2∠A﹣180°＝180°﹣2∠A，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABD，∴∠EMD＝180°﹣2（90°﹣∠ABD）＝2∠ABD，即：∠EMD＝2∠ABD，故答案为：∠EMD＝2∠ABD．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线是解题的关键．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，AD＝AE，BD、CE相交于点O．（1）求证：OB＝OC；（2）连接AO，求证：AO⊥BC．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可证∠OBC＝∠OCB，可得OB＝OC．（2）根据SAS证明△AEO与△ADO全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可．【解答】（1）证明：在△ABD与△ACE中，AB=AC∠A=∠A∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC．（2）证明：连接AO，∵△ABD≌△ACE，∴∠AEO＝∠ADO，BD＝CE，∵OB＝OC，∴EO＝OD，在△AEO与△ADO中，AE=AD∠AEO=∠ADO∴△AEO≌△ADO（SAS），∴∠EAO＝∠DAO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△ACD是本题的关键．21．（8分）如图，△ABE、△ACD都是等边三角形，且B、E、C三点在一条直线上．（1）求∠AED的度数；（2）若点M、N分别是线段BC和DE的中点，连接AM，MN，NA，试判断△AMN的形状，并说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝60°，再根据角之间的数量关系，得出∠BAC＝∠EAD，再根据“边角边”得出△ABC≌△AED，再根据全等三角形的性质，即可得出∠AED的度数；（2）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵△ABE，△ACD都是等边三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝60°，∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△AED中，AB=AE∠BAC=∠EAD∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠AED＝∠ABC＝60°；（2）解：如图；△AMN为等边三角形，理由如下：由（1）可知，△ABC≌△ACD，∴BC＝ED，∠B＝∠AED，∵点M、N分别是线段BC和DE的中点，∴BM=12BC，EN=∴BM＝EN，在△BAM与△EAN中，AB=BE∠B=∠AED∴△BAM≌△EAN（SAS），∴∠BAM＝∠EAN，AM＝AN，∵∠BAM﹣∠EAM＝∠EAN﹣∠EAM，∴∠BAE＝∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据“边角边”得出△ABC≌△AED解答．22．（8分）如图，点E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC＝BE，AB＝DE．（1）求证：CE＝BD﹣AC；（2）若△ABC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC与Rt△EBD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）连接AD，AE，根据全等三角形的性质和面积公式证明勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AC⊥CB，DB⊥BC，∴∠C＝∠DBC＝90°，在Rt△ABC与Rt△EBD中，AC=BEAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△EBD（HL），∴BC＝BD，AC＝BE，∴CE＝BC﹣BE＝BD﹣AC；（2）解：由（1）可知Rt△ABC≌Rt△EBD，∴DE＝AB＝c，EB＝AC＝b，BD＝BC＝a，∠ABC＝∠EDB，∵∠ABC+∠ABD＝90°，∴∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠DOB＝180°﹣90°＝90°，连接AD，AE，S梯形ACBD=1∵S梯形ACBD＝S△ACE+S△AED+S△BED=1=1=1=1∴12即a2+b2＝c2．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABC与Rt△EBD全等解答．23．（7分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，A，B，C为格点，点P为线段AB上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）（1）AB的长等于5；（2）在图1中，画出△ABC的角平分线BD；（3）在图2中，在线段BC上画点Q，使得BP＝BQ．【分析】（1）由勾股定理可得AB＝5；（2）取格点E，连接BE并延长交AC于D，BD即为所求；（3）取格点K，使BK＝BA，连接KP交BD于T，连接AT并延长交BC于Q，Q即为所求的点．【解答】解：（1）AB=3故答案为：5；（2）取格点E，连接BE并延长交AC于D，如图：BD即为所求；理由：由图可知AB＝5，BE＝25，AE=5∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，过E作EF⊥AB于F，∵2S△ABE＝AE•BE＝AB•EF，∴EF=AE⋅BE∴E到AB的距离等于E到BC的距离，∴BD是△ABC的角平分线；方法2：在BC上取点F，使BF＝5，连接AF，取AF的中点E，连接BE交AC于D，如图：BD即为所求；（3）取格点K，使BK＝BA，连接KP交BD于T，连接AT并延长交BC于Q，如图：Q即为所求的点；理由：∵AB＝BK，∠ABT＝∠KBT，BT＝BT，∴△ABT≌△KBT（SAS），∴∠BAT＝∠BKT，∵∠ABQ＝∠KBP，AB＝BK，∴△ABQ≌△KBP（ASA），∴BQ＝BP．【点评】本题考查作图﹣应用与涉及作图，解题的关键是掌握网格的特征和全等三角形判定与性质定理．24．（8分）如图，点A、D、E在一条直线上，AB＝AC，∠BDE＝∠CDE＜90°，求证：BD＝CD．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，…第一步又∵AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD，…第二步∴BD＝CD．…第三步（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理求解即可；（2）过点A分别作AG⊥CD交CD的延长线于点G，AF⊥BD交BD的延长线于点F，利用HL证明Rt△ABF≌RtACG，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，利用AAS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】解：（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）如图，过点A分别作AG⊥CD交CD的延长线于点G，AF⊥BD交BD的延长线于点F，∵∠BDE＝∠CDE，∠BDE＝∠ADF，∠ADG＝∠CDE，∴∠ADG＝∠A