山东省济宁市泗水一中下学期2025届下学期期中考试高三数学试题

山东省济宁市泗水一中下学期2025届下学期期中考试高三数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（）A．0 B．2 C．4 D．12．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（）A． B．4 C． D．164．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种 B．144种 C．288种 D．360种5．已知若在定义域上恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．设等差数列的前n项和为，若，则（）A． B． C．7 D．27．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．9．运行如图程序，则输出的S的值为（）A．0 B．1 C．2018 D．201710．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（）.A． B． C． D．11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是()A． B． C． D．12．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（）A．年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量与的夹角为，，，则________.14．已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA最长时，则______________；四棱锥P-ABCD的体积为______________.15．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为______.16．（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四面体中，.（1）求证:平面平面；（2）若，二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.18．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围；（2）若函数在区间上恰有3个零点，且，求的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，，，求证：.20．（12分）如图所示，在四棱锥中，∥，，点分别为的中点.（1）证明：∥面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.21．（12分）已知函数，且.（1）求的解析式；（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.22．（10分）已知a＞0，证明：1．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，所以为上的奇函数.由可得，故，故是周期为4的周期函数.因为，所以.因为，故，所以.故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.2、D【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：，，.故选：D..【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.3、D【解析】

根据复数乘方公式：，直接求解即可.【详解】，.故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.4、B【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题5、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函数的值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】，先解不等式.①当时，由，得，解得，此时；②当时，由，得.所以，不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时，，则，此时；当时，，此时.综上所述，函数的值域为，由于在定义域上恒成立，则不等式在定义域上恒成立，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.6、B【解析】

根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．7、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．8、C【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.9、D【解析】

依次运行程序框图给出的程序可得第一次：，不满足条件；第二次：，不满足条件；第三次：，不满足条件；第四次：，不满足条件；第五次：，不满足条件；第六次：，满足条件，退出循环．输出1．选D．10、C【解析】

易得，，又，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，，，所以，即，故离心率为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.11、B【解析】

利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点，由抛物线的定义可知，线段AB中点的横坐标为3，又，，可得，所以抛物线方程为.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.12、C【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.故选：C.【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.【详解】由可得，则，所以.故答案为:【点睛】本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.14、90°【解析】

易得平面PAD，P点在与BA垂直的圆面内运动，显然，PA是圆的直径时，PA最长；将四棱锥补形为长方体，易得为球的直径即可得到PD，从而求得四棱锥的体积.【详解】如图，由及，得平面PAD，即P点在与BA垂直的圆面内运动，易知，当P、、A三点共线时，PA达到最长，此时，PA是圆的直径，则；又，所以平面ABCD，此时可将四棱锥补形为长方体，其体对角线为，底面边长为2的正方形，易求出，高，故四棱锥体积.故答案为：(1)90°；(2).【点睛】本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.15、【解析】

由三角函数图象相位变换后表达函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则所以，当函数最大，最大值为故答案为：【点睛】本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.16、【解析】

依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）取中点连接，得，可得，可证，可得，进而平面，即可证明结论；（2）设分别为边的中点，连，可得，，可得（或补角）是异面直线与所成的角，，可得，为二面角的平面角，即，设，求解，即可得出结论.【详解】（1）证明:取中点连接，由则，则，故，，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:设分别为边的中点，则，（或补角）是异面直线与所成的角.设为边的中点，则，由知.又由（1）有平面，平面，所以为二面角的平面角，，设则在中，从而在中，，又，从而在中，因，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.解法二:过点作交于点由（1）易知两两垂直，以为原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.不妨设，由，易知点的坐标分别为则显然向量是平面的法向量已知二面角为，设，则设平面的法向量为，则令，则由由上式整理得，解之得(舍)或，因此，异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立时，的取值范围；（2）由已知，在区间内恰有一个零点，转化为在区间内恰有两个零点，由（1）的结论对分类讨论，根据单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.【详解】（1）由题意得，则，当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立.∴（其中），解得.当函数在区间上单调递减时，在区间上恒成立，∴（其中），解得.综上所述，实数的取值范围是.（2）.由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调.∴在区间内存在零点，同理在区间内存在零点.∴在区间内恰有两个零点.由（1）易知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意.当时，在区间上单调递减，故在区间内至多有一个零点，不合题意，∴.令，得，∴函数在区间上单凋递减，在区间上单调递增.记的两个零点为，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）分、、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）.当时，由，解得，此时；当时，不成立；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）要证，即证，因为，，所以，，，.所以，.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.20、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）根据题意，连接交于，连接，利用三角形全等得，进而可得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接交于，连接，，≌，且，面面，面，（2）取中点，连，.由，面面面，又由，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，为面的一个法向量，设面的法向量为，依题意，即，令，解得，所以，平面的法向量，，又因二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，属于基础题.21、（1）；（2）【解析】

（1）由,可