自动控制理论课件 zk-4 线性系统的根轨迹法学习资料

2025/4/141第4章线性系统的根轨迹法导读为什么要介绍本章?

根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根(即系统的闭环极点)在

s平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。本章主要讲什么内容?

本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和广义根轨迹。2025/4/142主要内容：第4章线性系统的根轨迹法

4.1

根轨迹的基本概念

4.2

根轨迹方程

4.3

根轨迹绘制的基本规则

4.4

典型反馈系统的根轨迹分析

4.5

用

Matlab绘制系统的根轨迹2025/4/143

闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分布来间接研究控制系统的性能。伊万思提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法——根轨迹法。将系统的某一个参数(比如开环放大系数)的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。

利用根轨迹法，可以：分析系统的性能确定系统的结构和参数校正装置的综合4.1

根轨迹的基本概念2025/4/1441、根轨迹定义

开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。4.1

根轨迹的基本概念2025/4/145例：二阶系统如图所示，系统开环传递函数为：，试画出系统的根轨迹。-特征方程为：闭环传递函数：特征根为：4.1

根轨迹的基本概念解：2025/4/146特征根为：[讨论]：①

当

K=0时，s1=0，s2=-2②当

K=0.32时，s1=-0.4，s2=-1.6③当

K=0.5时，s1=-1，s2=-1④当

K=1时，s1=-1+j，s2=-1-j⑤

当

K=5时，s1=-1+3j，s2=-1-3j⑥

当

K=∞时，s1=-1+∞j，s2=-1-∞j4.1

根轨迹的基本概念2025/4/1474.1

根轨迹的基本概念2025/4/1484.1

根轨迹的基本概念开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。相关术语：闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。(K*→0,开闭环极点相同。)2025/4/149

根轨迹增益：K*为开环系统根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及m<n可知)

根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、极点分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。4.1

根轨迹的基本概念2025/4/1410系统的结构图如右图所示：-闭环传递函数为：开环传递函数为：闭环传递函数的极点就是闭环特征方程的根。换句话说，满足：的点就是闭环系统的极点，闭环特征方程的根。为根轨迹方程。称4.2

根轨迹方程2025/4/14114.3根轨迹绘制的基本规则

以开环根轨迹增益

K*为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹(或一般根轨迹)。绘制普通根轨迹的基本规则主要有9条：1、根轨迹的分支数6、分离点(会和点)坐标2、根轨迹的连续性与对称性7、根轨迹与虚轴的交点3、根轨迹的起点与终点8、根轨迹的起始角和终止角4、根轨迹的渐近线9、根之和5、实轴上的根轨迹2025/4/14124.3根轨迹绘制的基本规则【规则1】根轨迹的分支数：根轨迹在s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相同，亦等于开环极点的数目。【规则2】根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。闭环极点若为实数，则位于s平面实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。【规则3】根轨迹的起点和终点:

根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。2025/4/1413【规则4】根轨迹的渐近线：如果控制系统的开环零点数目m小于开环极点数目n，当k→∞时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线共有(n–m)条。渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴交点的坐标为：4.3根轨迹绘制的基本规则2025/4/1414【规则5】实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。例4-2：设系统的开环传递函数，

试求实轴上的根轨迹。解：零极点分布如下：

红线所示为实轴上根轨迹，为[-2，-1]。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。4.3根轨迹绘制的基本规则×××××0-1-2-5-102025/4/1415分离点坐标

d

可由方程解出。【规则7】根轨迹与虚轴的交点：由下面的两个方程，可以求得根轨迹与虚轴的交点坐标w值及k值。4.3根轨迹绘制的基本规则几条根轨迹在

s平面上相遇后又分开的点，称为分离点。【规则6】分离点(会合点)坐标

d：2025/4/1416【规则8】根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴方向的夹角。计算公式为根轨迹的终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴方向的夹角。计算公式为4.3根轨迹绘制的基本规则2025/4/14174.3根轨迹绘制的基本规则2025/4/14184.3根轨迹绘制的基本规则【规则9】根之和：若n-m≥2，则有

根轨迹绘制好后，还需标出根轨迹上的点所对应的参数k值，这时绘制根轨迹的工作才告结束。对应根轨迹上确定点sl，有

：2025/4/14194.3根轨迹绘制的基本规则2025/4/14204.3根轨迹绘制的基本规则2025/4/14214.3根轨迹绘制的基本规则2025/4/1422

变化的参数不是开环根轨迹增益

K*的根轨迹叫参数根轨迹。将开环传递函数变形，让变化的参数处于开环增益的位置，就可以采用绘制常规根轨迹时的法则。1、参数根轨迹(parameterrootlocus)

在负反馈系统中，K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。4.4典型反馈系统的根轨迹分析2025/4/1423例4-4：已知系统的开环传递函数为，求

Ta

由0→∞的闭环根轨迹。解：原系统的闭环特征方程为

D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0所以就是新的开环传递函数，而5Ta相当于新的开环增益。解题关键：要将开环传递函数变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的地位。将和参数有关的各项归并在一起，上式可写为

5s2+s+5+5Tas=04.4典型反馈系统的根轨迹分析2025/4/1424R(s)-C(s)

j

0P1P2-K原系统的闭环特征方程：Tms2+s+K=0整理可得等效开环传递函数或由s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程：s2+(s+K)/Tm=0则新的等效开环传函为例4-5：系统如图所示，求Tm从0→∞时的根轨迹。4.4典型反馈系统的根轨迹分析解：（即）（即）2025/4/1425如果系统的特征方程的形式为1-G(s)H(s)=0，此时因为其相角遵循条件：其根轨迹叫零度根轨迹。零度根轨迹与180

根轨迹的区别体现在：1、实轴上的根轨迹；2、渐近线与实轴的夹角；3、起始角与终止角。2、零度根轨迹(0orootlocus)4.4典型反馈系统的根轨迹分析2025/4/1426附加开环零点作用:选择得当，可改善系统的稳定性和动态性能。4.4典型反馈系统的根轨迹分析(b)(a)(c)(d)图

零点变化时系统根轨迹(a)

j

0-1+j-1-j

j

0-3-1-j-1+j(b)

j

0-2-1-j-1+j(c)(d)

j

0-1-j-1+j附加开环零点:2025/4/14274.4典型反馈系统的根轨迹分析增加极点2025/4/14284.4典型反馈系统的根轨迹分析增加零点2025/4/14294.5

用Matlab绘制系统的根轨迹

将分子多项式与分母多项式按s的降幂写成向量形式num和den，则采用以下命令可绘制根轨迹图。

rlocus(num,den)

该命令不仅可用于连续系统，还可用于离散系统。另外，还可自动获得根轨迹上各点的增益。命令rlocus(num,den,K)直接绘制出给定K

值时的闭环极点。2025/4/1430如果引入左端变量，即[r,K]=rlocus(num,den,K)，则r向量中元素为指定K值闭环极点的位置。如果不指定K，即[r,K]=rlocus(num,den)，则r矩阵的行数与K向量的元素相同，列数与极点的个数相同。r中元素分别为各对应K值的闭环极点。这时，使用绘图命令plot(r,‘’)

也可绘制系统根轨迹。如果希望在绘制根轨迹时标上符号“o”或“x”，则需要采用下列绘图命令

plot(r,'o')或plot(r,'x')这时，每一个计算的闭环极点都被图解表示出来。

4.5

用Matlab绘制系统的根轨迹2025/4/1431例4-6：已知系统开环传递函数为应用Matlab绘制系统根轨迹。

，num=[122];den=[14160];rlocus(num,den)v=[-50-44];axis(v)gridtitle('RootLocusPlotofG(s)H(s)=K(s^2+2s+2)/[s(s^2+4s+16)]')4.5

用Matlab绘制系统的根轨迹解：2025/4/1432例4-7：已知系统开环传递函数应用Matlab绘制系统根轨迹。

，4.5

用Matlab绘制系统的根轨迹a=[140];b=[122];den=conv(a,b);num=[1416];rlocus(num,den)v=[-40.5-1515];axis(v);gridtitle('RootLocusPlotofG(s)H(s)=K(s^2+4s+16)/[s(s+4)(s^