小升初-专题10 数论（47题）

2024年小升初数学重难点&压轴题专练（拓展提高）

第十讲数论（47题）

重点考察知识点一：数字问题

1．（2022•新城区）如图，我们在推导平行四边形的面积公式时，把求平行四边形面积的问题

变成了求长方形面积的问题，这里蕴含的数学思想方法是（）

A．方程B．转化C．抽象

2．（2023•沙坪坝区）有这样一类三位数，它们的各位数字之和等于4，如130的各位数字之

和是1+3+0＝4，像这样的三位数共有个。

3．（2023•历城区）有一个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2倍，

百位与个位数字的乘积恰好是十位上数字的2倍，这个三位数是多少？请用合理的方式表

示你的思考过程。

重点考察知识点二：奇偶性问题

4．（2023•武进区）a是奇数，b是偶数，下列式子结果是奇数的是（）

A．a+bB．2a+bC．2（a+b）D．4a+4b

5．（2023•高州市）学校举行象棋比赛，共有甲、乙、丙、丁4支队。规定每支队都要和另外

3支队各比赛一场，胜得3分，败得0分，平双方各得1分。已知：（1）这4支队三场比

赛的总得分为4个连续的奇数；（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方打成

平局，其中有一场是与丙队打成平局的。最终丙队得分。

6．（2023•城厢区）六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A

是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是。（填“奇数”或“偶数”）

重点考察知识点三：质数与合数问题

7．（2023•江北区）在1～8这八张数字卡片中，任意摸一张，摸到（）的可能性最小。

A．奇数B．偶数C．质数D．合数

8．（2022•金溪县）在1、2、5、29、57、这些数中，是合数，是质数，

既不是质数也不是合数。是这些数的公因数。

9．（2022•通城县）用0、1、2、3四个数字组没有重复的两位数。如果组成的数是质数，则

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两位数是；如果组成的数是2、3的公倍数，则两位数是。

重点考察知识点四：因数与倍数

10．（2022•宁津县）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个

班有男生人，女生人．

11．（2021•彭水县）商店里有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千

克、31千克，两名顾客买走的其中的5箱。已知一名顾客买走的货物质量是另一名顾客的

2倍，商店里剩下那一箱货物重千克。

12．（2023•环县）两根木棒长分别为24厘米和32厘米，要把它们截成整厘米的同样长的小

棒，不能有剩余，每根小棒最长是多少厘米？一共分成了多少根小棒？

重点考察知识点五：整数的裂项与拆分

13．（2022•南岸区）小亮是一名中学生，他代表学校参加了全市数学竞赛，他说：“我的名次、

得分和年龄的乘积是4074。”他的名次、得分和年龄之和是（）

A．97B．98C．114D．115

14．（2021•武城县）一种酸奶有4瓶装和2瓶装两种不同规格的包装，王阿姨要买12瓶这种

酸奶，一共有种不同的选择方法。

15．（2023•山海关区）水果店推出4种特价水果，每种特价水果仅限两人购买，小张、小王、

小李、小赵四人各自购买两种水果，且四人购买的水果品种不完全相同。

①小张购买了桃子，小赵买了苹果。②小王购买了香蕉，没买梨。

③小王与小赵购买的水果完全不同。④买桃子的人没买梨。

用“×”表示“没买”，用“√”表示“买了”，根据上面信息列表分析：

桃子苹果香蕉梨

小张

小王

小李

小赵

小张买了和，小王买了和，

小李买了和，小赵买了和。

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重点考察知识点六：位值原则

16．（2021•金昌）有三个不同的数，用他们组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是

1554，那么这三个数字分别是。

17．纯循环小数0.写成最简分数时，分子和分母和是58，则三位数＝．

18．（2020•大渡口区）一个三位数，各个数位上的数字都不相同，且个位数字×十位数字×

百位数字的积是72，若把十位数字和个位数字交换后得到一个新数，这个新数和原来的数

的差是百位数字的6倍，则原来的三位数是多少？

重点考察知识点七：数的整除特征

19．（2023•晋源区）计算11335×55779、四个同学给出了四个不同的答案，只有一个正确，

一个同学利用学过的一些数的倍数的特征很快找到了它，它是（）

A．632254965B．632244965C．632234965D．632213965

20．（2020•宁德）1～200这200个自然数中，能被4或能被6整除的数有多少个（）

A．65B．66C．67D．68

21．（2022•锦江区）一个五位数91□3□能被6整除，□里填同一个数，它是。

22．（2022•重庆）已知一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除，

那么这个自然数就一定能被13整除，我们把能被13整除的自然数称为“梦想数”。

例如：判断26260是否为“梦想数”，这个数的末三位数字是260，末三位以前的数字组成

的数是26，这两个数的差是：260﹣26＝234，234能被13整除，因此26260是“梦想数”。

（1）判断1158和254514是否为“梦想数”，并说明理由；

（2）如果一个四位自然数M，千位和百位上的数字均为a，十位与个位上的数字均为b，

我们就称它为“OOKK数”。已知一个四位数M既是“梦想数”又是“OOKK数”。求数M

的值。

重点考察知识点八：带余除法

23．（2020•三明）有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5

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余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是（）

A．216B．108C．314D．348

24．一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天

读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是

页．

25．有一个数，除以3的余数是2；除以4的余数是1．这个数除以12的余数是．

重点考察知识点九：约数个数与约数和定理

26．（2020•绵阳）24的约数一共有（）个．

A．10B．8C．6D．4

27．（2020•泗洪县）已知a＝2×3×5，那么a的因数共有（）

A．8个B．6个C．5个D．3个

28．某自然数有10个不同的约数，但质约数只有2和3，满足条件的自然数最大是。

重点考察知识点十：同余定理

29．（2020•阳山县）一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每

10个装一盒，也剩余5个，这箱桃子有（）个。

A．40B．45C．48

30．（2019•郑州）一堆苹果不少于10个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多

两个，这堆苹果最少有多少个？

重点考察知识点十一：完全平方数性质

31．（2022•中原区）小明准备利用假期去读一本书，如果每天读80页，那么4天读不完，5

天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N

（N是自然数）天读完，这本书是页。

32．（2019•长沙）甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元，付钱时，甲先乙后，10元，

10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所

付的钱数同样多，则乙应给甲元

33．（2022•江夏区）当a大于0小于1时，a2小于2a。（判断对错）

重点考察知识点十二：数字和问题

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34．（2018•绵阳）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点

图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图给出了“河

图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图．其中，正确的是（）

A．B．C．D．

35．（2021•南阳）如图是标有1、2、3、4、5、6数字的正方体的三种不同的摆法，三个正方

体朝左那一面的数字之和是。

36．a、b、c、d是四个不同的自然数，且a×b×c×d＝2790，a+b+c+d最小是．

重点考察知识点十三：等量关系与方程

37．（2023•确山县）一次知识竞赛，共有10道题，每答对一题得10分，答错或不答倒扣5

分，小明共得55分，他答对（）道。

A．3B．6C．7D．11

38．（2020•长沙）若＝2。求△代表的数。

39．（2023•迎泽区）中国自主研发的复兴号列车的速度已经达到350千米/时，民航飞机的一

般速度比复兴号列车速度的2倍还多200千米。民航飞机的一般速度是多少？

40．（2023•汝城县）有30个人去参加一个会议，住在一个宾馆里，安排11个房间（3人间

和2人间）刚好住完。他们住了个3人间，有人住在2人间。

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重点考察知识点十四：二元一次方程组的求解

41．（2020•阿坝州）（填“是”或“不是”）方程2x+y＝7的一个解．

42．（2021•重庆）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水

池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5

小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满。若某天早晨6点时

水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经

过多少小时水池的水刚好注满？

43．（2019•长沙）1分、2分、5分三种硬币共26枚，2分全部换成5分硬币，1分全部换成

5分硬币后，硬币总数变为11枚，原有5分硬币多少枚？

重点考察知识点十五：不定方程的分析求解

44．有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。

为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（）

A．1辆B．3辆C．2辆D．4辆

45．（2023•余干县）满足等式2002＝1949×M﹣25×N的一组自然数是（）

A．M＝125、N＝9508B．M＝122、N＝9506

C．M＝124、N＝9507D．M＝123、N＝9509

46．（2022•古县）某蛋糕店采用发放号牌的方式销售蛋糕，同一批次只发放4个号牌（每人

限领1个号牌），每个号牌最多购买3盒蛋糕、最少购买1盒蛋糕（每盒里有3个蛋糕）。

要保证同一批次的人都能买到所需要的蛋糕，蛋糕店每批次至少要准备个蛋糕。

47．（2021•和平区）用载重5吨和3吨的大小卡车往城市运39吨蔬菜。大卡车和小卡车各用

几辆正好一次运完？

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2024年小升初数学重难点&压轴题专练（拓展提高）

第十讲数论（47题）

重点考察知识点一：数字问题

1．（2022•新城区）如图，我们在推导平行四边形的面积公式时，把求平行四边形面积的问题

变成了求长方形面积的问题，这里蕴含的数学思想方法是（）

A．方程B．转化C．抽象

试题思路分析：把求平行四边形面积的问题变成了求长方形面积的问题，这种数学思想方

法是转化法。

规范详细解答：解：我们在推导平行四边形的面积公式时，把求平行四边形面积的问题变

成了求长方形面积的问题，这里蕴含的数学思想方法是转化。故选：B。

考察重难点与注意点：此题考查了平行四边形面积公式的推导和蕴含的数学思想方法。

2．（2023•沙坪坝区）有这样一类三位数，它们的各位数字之和等于4，如130的各位数字之

和是1+3+0＝4，像这样的三位数共有个。

试题思路分析：根据题意，三位数的各位数字之和等于4，分类讨论：百位为4，百位为

3，百位为2，百位为1的数；把这四种情况下符合要求的三位数都列举出来，数一数即可。

规范详细解答：解：①当百位为4时，有400，共1个；

②当百位为3时，有310、301，共2个；

③当百位为2时，有220、202、211，共3个；

④当百位为1时，有103、130、121、112，共4个。

一共：1+2+3+4＝10（个）

答：像这样的三位数共有10个。故答案为：10。

考察重难点与注意点：本题考查三位数的组成，以及分类讨论解决问题。

3．（2023•历城区）有一个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2倍，

百位与个位数字的乘积恰好是十位上数字的2倍，这个三位数是多少？请用合理的方式表

示你的思考过程。

试题思路分析：根据“这个三位数，各个数位上的数字都不相同，百位数字是个位数字的2

倍”，分别假设个位是1、2、3、4，再求出百位和十位数字，列举出所有情况即可解题。

规范详细解答：解：百位数字是个位数字的2倍，假设个位是1，则百位是2，十位是：2×

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1÷2＝1，个位与十位数字相同，不符合题意；

假设个位是2，则百位是4，十位是：2×4÷2＝4，个位与十位数字相同，不符合题意；

假设个位是3，则百位是6，十位是：3×6÷2＝9，这个数是693，符合题意；

假设个位是4，则百位是8，十位是：4×8÷2＝16，不能组成三位数，不符合题意；

答：这个三位数是693。

考察重难点与注意点：解答本题的关键是设个位是1、2、3、4，再分别求出百位和十位数

字。

重点考察知识点二：奇偶性问题

4．（2023•武进区）a是奇数，b是偶数，下列式子结果是奇数的是（）

A．a+bB．2a+bC．2（a+b）D．4a+4b

试题思路分析：根据奇数+偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，可进行判断。

规范详细解答：解：A：因为a是奇数，b是偶数，根据奇数+偶数＝奇数，所以a+b的结

果是奇数；

B：因为2a是偶数，b是偶数，根据偶数+偶数＝偶数，所以2a+b的结果是偶数；

C：因为a是奇数，b是偶数，根据奇数+偶数＝奇数，奇数×2＝偶数，所以2（a+b）的

结果是偶数；

D：因为a是奇数，4a是偶数，b是偶数，4b是偶数，根据偶数+偶数＝偶数，所以4a+4b

的结果是偶数；

综上所述，A选项符合题意。故选：A。

考察重难点与注意点：本题考查的是奇偶性问题，关键是根据奇数+偶数＝奇数，奇数×

偶数＝偶数。

5．（2023•高州市）学校举行象棋比赛，共有甲、乙、丙、丁4支队。规定每支队都要和另外

3支队各比赛一场，胜得3分，败得0分，平双方各得1分。已知：（1）这4支队三场比

赛的总得分为4个连续的奇数；（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方打成

平局，其中有一场是与丙队打成平局的。最终丙队得分。

试题思路分析：因为一场胜利可以得到3分，所以3场比赛最多得到9分，又根据题目可

知得分为4个连续奇数，所以得分为：9，7，5，3或者7，5，3，1；由于题目说乙队排

名第1，而丁队有2场踢平，且有一场是对丙队的平局，那么乙队的分数只能是7分；因

为如果乙队获得9分，那么意味着，丁队的战绩为2平1负，得到2分，不符合题意中的

连续奇数，那么，确定了乙队的分数，就可以知道丁队了，丁队的分数是5分或者3分；

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根据题目，丁队有2场平局，而且其中一场是对丙队的，而乙队的分数已经确定，7分，

意味着2胜1平；由此确定，丙队的战绩只可能为2平1胜，（因为丙队不可能在与乙队的

比赛中获胜，而与丁队又是一场平局，最后，根据分数为奇数的原则，确定丙队为5分。

规范详细解答：解：由题意可知，每队需赛三场，最多可得3×3＝9分，

所以四队的得分应是：9，7，5，3或者7，5，3，1；

乙队排名第1，而丁队有2场踢平，且有一场是对丙队的平局，那么乙队的分数只能是7

分；

乙队得7分，则丁队的分数是5分或者3分；

丁队有2场平局，而且其中一场是对丙队的，而乙队的分数已经确定，7分，意味着2胜1

平；

由此确定，丙队的战绩只可能为2平1胜，即得5分。故答案为：5。

考察重难点与注意点：完成本题思路要清晰，在确定最高得分的前提下，根据所给条件进

行分析推理是完成本题的关键。

6．（2023•城厢区）六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A

是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是。（填“奇数”或“偶数”）

试题思路分析：偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，53和A都是是

奇数，奇数﹣奇数＝偶数，依次解答。

规范详细解答：解：因为53和A都是奇数，所以它们的差是偶数。故答案为：偶数。

考察重难点与注意点：本题考查对奇偶性的判断。

重点考察知识点三：质数与合数问题

7．（2023•江北区）在1～8这八张数字卡片中，任意摸一张，摸到（）的可能性最小。

A．奇数B．偶数C．质数D．合数

试题思路分析：在1～8这八张数字卡片中，奇数有1、3、5、7，共4个数字；偶数有2、

4、6、8，共4个数字；质数有2、3、5、7，共4个数字；合数有4、6、8，共3个数字，

哪种数字少，任意摸一张，摸到哪种数字的可能性最小。

规范详细解答：解：在1～8这八张数字卡片中，任意摸一张，摸到合数的可能性最小。

故选：D。

考察重难点与注意点：本题解题的关键是能够准确判断在1～8这八张数字卡片中，奇数、

偶数、质数、合数各有几个数字。

8．（2022•金溪县）在1、2、5、29、57、这些数中，是合数，是质数，

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既不是质数也不是合数。是这些数的公因数。

试题思路分析：质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的

数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既

不是质数也不是合数，公因数是指所有数共有的因数，只有1，由此解答。

规范详细解答：解：在1、2、5、29、57、这些数中，57是合数，2，5，29是质数，1既

不是质数也不是合数。1是这些数的公因数。故答案为：57，2，5，29，1，1。

考察重难点与注意点：此题主要考查质数与合数的概念及意义，明确1既不是质数也不是

合数。

9．（2022•通城县）用0、1、2、3四个数字组没有重复的两位数。如果组成的数是质数，则

两位数是；如果组成的数是2、3的公倍数，则两位数是。

试题思路分析：质数是只有1和它本身两个因数的数，据此找出即可；

根据2、3的倍数的特征可知：同时是2和3的倍数，个位上必须是偶数且各位上的数字之

和是3的倍数。

规范详细解答：解：用0、1、2、3四个数字组没有重复的两位数。如果组成的数是质数，

则两位数是13或23或31；如果组成的数是2、3的公倍数，则两位数是12或30。

故答案为：13或23或31；12或30。

考察重难点与注意点：理解掌握2、3的倍数特征以及质数的定义是解答关键。

重点考察知识点四：因数与倍数

10．（2022•宁津县）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个

班有男生人，女生人．

试题思路分析：本题可先根据男女生的比求出全班共有多少人，男女生比例为5：6，如果

男生有5人的话，女生有6人，班里共5+6＝11人，所以班里人的总数一定是11的倍数，

而40到50之间11的倍数只有44，所以班里有44人，然后，再根据男女生比求出男生有

多少人，从而求解．

规范详细解答：解：男女生比例为5：6，所以班内人数总数一定为5+6＝11的倍数，而

40到50之间11的倍数只有44，所以班里有44人．

男生有：44×＝20（人）；女生有：44﹣20＝24（人）．

答：这个班男生有20人，女生有24人．故答案为：20，24．

考察重难点与注意点：本题的关键是根据男女生的比例及人数范围确定好全班人数是多少．

11．（2021•彭水县）商店里有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千

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克、31千克，两名顾客买走的其中的5箱。已知一名顾客买走的货物质量是另一名顾客的

2倍，商店里剩下那一箱货物重千克。

试题思路分析：由题中“一位顾客买的货物的质量是另一位顾客的2倍”可知：两人买走

的重量是3的倍数。应选5箱质量和是3的倍数的箱子。6箱一共重：15+16+18+19+20+31

＝119（千克），现在计算119减去哪一箱的重量后差是3的倍数。

规范详细解答：解：两人买走的重量是3的倍数，五箱的重量和是3的倍数。

6箱的总重量是：15+16+18+19+20+31＝119（千克）。

计算119减去哪一箱的重量后差是3的倍数：119分别减去15，16，18，19，20，31得

104，103，101，100，99，88。里面只有99能被3整除。

所以剩下的1箱就是119﹣99＝20（千克）。答：剩下的一箱货物重20千克。

故答案为：20。

考察重难点与注意点：利用3的倍数的特征求解。

12．（2023•环县）两根木棒长分别为24厘米和32厘米，要把它们截成整厘米的同样长的小

棒，不能有剩余，每根小棒最长是多少厘米？一共分成了多少根小棒？

试题思路分析：分别把24和32两个数分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每根小

棒最长厘米数，然后再进一步用除法解答即可．

规范详细解答：解：24＝2×2×2×3

32＝2×2×2×2×2

所以24和32的最大公因数是2×2×2＝8，所以每根小棒最长能有8厘米；

（24+32）÷8

＝56÷8

＝7（根）答：每根小棒最长是8厘米，一共分成了7根小棒．

考察重难点与注意点：主要考查几个数的最大公因数的求法，并用它解决实际问题．

重点考察知识点五：整数的裂项与拆分

13．（2022•南岸区）小亮是一名中学生，他代表学校参加了全市数学竞赛，他说：“我的名次、

得分和年龄的乘积是4074。”他的名次、得分和年龄之和是（）

A．97B．98C．114D．115

试题思路分析：根据题意，把4074分解质因数，4074＝2×3×7×97，小亮是个中学生，

年龄在12～18之间，可能的值只有2×7＝14（岁），名次是个位数，所以是第三名，据此

解答。

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规范详细解答：解：4074＝2×3×7×97

因为小亮是中学生，年龄介于12～18岁之间；

可能的值只有2×7＝14（岁）；

名次是个位数，所以是第三名；

因此李明得了97分。

他的名次、得分和年龄之和是：3+97+14＝114。故选：C。

考察重难点与注意点：本题关键是分解质因数，然后再根据中学生的年龄阶段进一步解答。

14．（2021•武城县）一种酸奶有4瓶装和2瓶装两种不同规格的包装，王阿姨要买12瓶这种

酸奶，一共有种不同的选择方法。

试题思路分析：要求有多少种不同的选择方法，实际就是求有几种不同的包法，因为有2

瓶装和4瓶装两种不同规格的包装，所以把12分成2的倍数和4的倍数相加的和即可。

规范详细解答：解：（1）12＝4×3，所以4瓶装有3袋；

（2）12＝4×1+2×4，所以4瓶装有1袋、2瓶装有4袋；

（3）12＝4×2+2×2，所以4瓶装有2袋，2瓶装有2袋；

（4）12＝2×6，所以2瓶装有6袋；

所以共有4种不同的方法。答：一共有4种不同的选择方法。故答案为：4。

考察重难点与注意点：本题主要考查了整数的拆分，把12分成2的倍数和4的倍数相加的

和是解答的关键。

15．（2023•山海关区）水果店推出4种特价水果，每种特价水果仅限两人购买，小张、小王、

小李、小赵四人各自购买两种水果，且四人购买的水果品种不完全相同。

①小张购买了桃子，小赵买了苹果。②小王购买了香蕉，没买梨。

③小王与小赵购买的水果完全不同。④买桃子的人没买梨。

用“×”表示“没买”，用“√”表示“买了”，根据上面信息列表分析：

桃子苹果香蕉梨

小张

小王

小李

小赵

小张买了和，小王买了和，

小李买了和，小赵买了和。

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试题思路分析：根据①、②、③可得，小王购买了香蕉和桃子；根据①、②、④可得小张

购买了桃子和苹果；根据①、③可得小赵购买了苹果和梨；又根据每种特价水果仅限两人

购买可得小李购买了香蕉和梨。

规范详细解答：解：用“×”表示“没买”，用“√”表示“买了”，根据上面信息列表分

析如下：

桃子苹果香蕉梨

小张√√××

小王√×√×

小李××√√

小赵×√×√

小张买了桃子和苹果，小王买了桃子和香蕉。

小李买了香蕉和梨，小赵买了苹果和梨。

故答案为：桃子，苹果，桃子，香蕉，香蕉，梨，苹果，梨。

考察重难点与注意点：运用列表法来推理解答是解决本题的关键。

重点考察知识点六：位值原则

16．（2021•金昌）有三个不同的数，用他们组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是

1554，那么这三个数字分别是。

试题思路分析：假设这三个数字分别是a，b，c，则它们组成的三位数表示为

（100a+10b+c），（100a+10c+b），（100b+10a+c），（100b+10c+a），（100c+10a+b），

（100c+10b+a），利用6个三位数的和，计算出三个数的和，然后找出符合要求的数。

规范详细解答：解：假设这三个数字分别是a，b，c，由分析可知：222a+222b+222c＝

1554，则a+b+c＝7，所以这三个数字是1，2，4。故答案为：1，2，4。

考察重难点与注意点：姐姐本题的关键是找出这6个三位数的和与这三个数的和之间的数

量关系。

17．纯循环小数0.写成最简分数时，分子和分母和是58，则三位数＝．

试题思路分析：纯循环小数都可以写成分母是99…（9的个数等于循环节的位数），循环节

是分子的分数；所以这个循环小数可写成分数形式是，999＝3×3×3×37＝27×37，

所以分母只可能是37和27，又因为和为58，是真分数，所以分子要小于分母，分母为

37，分子就为58﹣37＝21．此最简分数为，通分得，所以这个纯循环小数为

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0.．据此解答即可．

规范详细解答：解：这个循环小数可写成分数形式是，999的质因数为3、3、3、37，

因为和为58，所以分母只可能是37和27，由于是真分数，分子要小于分母，所以分母为

37，分子为58﹣37＝21，

此最简分数为，通分得，所以这个纯循环小数为0.．

三位数＝567；故答案为：567．

考察重难点与注意点：此题考查纯循环小数改写成分数的方法和运用．

18．（2020•大渡口区）一个三位数，各个数位上的数字都不相同，且个位数字×十位数字×

百位数字的积是72，若把十位数字和个位数字交换后得到一个新数，这个新数和原来的数

的差是百位数字的6倍，则原来的三位数是多少？

试题思路分析：此题可通过字母代替数的方法解决，设个位数为x，十位数为y，百位数为

z，则：x×y×z＝72，（100z+10x+y）﹣（100z+10y+x）＝6z，所以9x﹣9y＝6z，3x﹣3y＝

2z，因为各个数位上的数字都不相同，所以72只有两种划分：①2、4、9；②3、4、6。这

两种情况，又要满足x比y答，且3x﹣3y＝2z，又因为x、y、z都是10以内的数字，推出

x、y、z的值，进而求出这三个数。

规范详细解答：解：设个位数为x，十位数为y，百位数为z，则：

x×y×z＝72，（100z+10x+y）﹣（100z+10y+x）＝6z

化简为：3x﹣3y＝2z

因为各个数位上的数字都不相同，

所以72只有两种划分：①2、4、9；②3、4、6。这两种情况，又要满足x比y大，且3x﹣

3y＝2z

又因为x、y、z都是10以内的数字，

所以x＝6，y＝4，z＝3。

所以这个数为346。答：原来的这个三位数是346。

考察重难点与注意点：解决此类问题，一班采取用字母代替数的方法解决，根据题目特点，

灵活设出这个数，然后根据位置关系，列出等式，通过推理，解决问题。

重点考察知识点七：数的整除特征

19．（2023•晋源区）计算11335×55779、四个同学给出了四个不同的答案，只有一个正确，

一个同学利用学过的一些数的倍数的特征很快找到了它，它是（）

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A．632254965B．632244965C．632234965D．632213965

试题思路分析：等式左边55779是3的倍数，那么11335×55779的积也应该是3的倍数；

据此选择即可。

规范详细解答：解：632254965是3的倍数，

632244965不是3的倍数，

632234965不是3的倍数，

632213965不是3的倍数，

所以只有632254965是正确的。故选：A。

考察重难点与注意点：解答此题通过发现55779是3的倍数，根据能被3整除的特征判断。

20．（2020•宁德）1～200这200个自然数中，能被4或能被6整除的数有多少个（）

A．65B．66C．67D．68

试题思路分析：先分别求出从1到200的自然数中，能被4整除的数的个数和能被6整除

的数的个数，然后相加后，减去能被12整除的数的个数即可。

规范详细解答：解：1～200这200个自然数中，

能被6整除的数的个数：

200÷6＝33……2

所以有33个

能被4整除的数的个数：

200÷4＝50（个）

因为6和4的最小公倍数是：12

所以能被4和6同时整除的数有：

200÷12＝16……8

所以有16个

所以1～200这200个自然数中，能被4或6整除的数共有：

33+50﹣16＝67（个）

答：1～200这200个自然数中，能被4或6整除的数共有67个。故选：C。

考察重难点与注意点：解答此题的关键：找出从1到200的自然数中，能被6整除的数的

个数和能被4整除的数的个数，然后相加，其中能被6整除又能被4整除的数多算了一次，

应减去。

21．（2022•锦江区）一个五位数91□3□能被6整除，□里填同一个数，它是4。

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试题思路分析：如果一个整数的各位数字之和能被3整除，那么它必能被3整除；如果一

个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除。能被6整除的数同时满足能被3、2整除数

的特征。

规范详细解答：解：9+1+3＝13，13+8＝21，21能被3整除，那么8÷2＝4。□里填同一

个数，它是4。故答案为：4。

考察重难点与注意点：明确能被6整除数的特征是解决本题的关键。

22．（2022•重庆）已知一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除，

那么这个自然数就一定能被13整除，我们把能被13整除的自然数称为“梦想数”。

例如：判断26260是否为“梦想数”，这个数的末三位数字是260，末三位以前的数字组成

的数是26，这两个数的差是：260﹣26＝234，234能被13整除，因此26260是“梦想数”。

（1）判断1158和254514是否为“梦想数”，并说明理由；

（2）如果一个四位自然数M，千位和百位上的数字均为a，十位与个位上的数字均为b，

我们就称它为“OOKK数”。已知一个四位数M既是“梦想数”又是“OOKK数”。求数M

的值。

试题思路分析：（1）根据“梦想数”的定义，计算即可；

（2）根据位值原则以及给出的新定义，列出整除关系求解即可。

规范详细解答：解：（1）158﹣1＝157

157÷13＝12……1

所以1158不是“梦想数”；

514﹣254＝260

260÷13＝20

所以254514是“梦想数”；

（2）根据位置原则，M＝（1000+100）a+（10+1）b＝1100a+11b，a，b均为整数，

根据“梦想数”的定义：

100a+10b+b﹣a＝99a+11b是13的倍数，

99a+11b＝11×（9a+b）

所以9a+b是13的倍数，

9a+b＝13a+b﹣4a

所以b﹣4a也是13的倍数，

因为b﹣4a≤9﹣4×1＝5且b﹣4a≥0﹣4×9＝﹣36

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所以b﹣4a＝0或﹣13或﹣26，

当b﹣4a＝0时，a＝1，b＝4或a＝2，b＝8；

当b﹣4a＝﹣13时，a＝4，b＝3或a＝5，b＝7；

当b﹣4a＝﹣26时，a＝7，b＝2或a＝8，b＝6。

综上所述，M＝1144或2288或4433或5577或7722或8866。

考察重难点与注意点：本题主要考查了位置原则和定义新运算，根据整除的特性来求解是

本题解题的关键。

重点考察知识点八：带余除法

23．（2020•三明）有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5

余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是（）

A．216B．108C．314D．348

试题思路分析：根据A与B、C、D三个数的关系有：A＝5B+5，A＝6C+6，A＝7D+7，得

出：5（B+1）＝6（C+1）＝7（D+1）＝A，所以A为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的

最小公倍数为210，根据题意可知，它们的和不超过400，所以A＝210，进而求出另外三

个数的值，求其和即可。

规范详细解答：解：根据题意：

A＝5B+5，A＝6C+6，A＝7D+7

5（B+1）＝6（C+1）＝7（D+1）＝A

所以A为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的最小公倍数为210，

因为它们的和不超过400，所以A＝210

所以：210÷5﹣1＝41

210÷6﹣1＝34

210÷7﹣1＝29

B＝41

C＝34

D＝29

这四个自然数的和是210+41+34+29＝314。故选：C。

考察重难点与注意点：本题主要考查带余除法的应用，关键是根据A与其它三个数的关系，

找到符合题意的A的值。

24．一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天

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读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是

页．

试题思路分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有

余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x

＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有N＝18.320＜18×18＝324＜360．

规范详细解答：解：设页数为x，①320＜x＜400；

②270＜x＜360；

③由①②得：320＜x＜360，

满足上述条件的只有N＝18．

320＜18×18＝324＜360．故答案为：324．

考察重难点与注意点：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．

25．有一个数，除以3的余数是2；除以4的余数是1．这个数除以12的余数是．

试题思路分析：此题可采用列举法由一般到特殊进行推理解决．如：除以3余2的数，应

是3的倍数+2；除以4余1的数，应是4的倍数+1，从中找出同时符合“除以3余数是2

且除以4余数是1的数”，即可解决问题．

规范详细解答：解：除以3余2的数，应是3的倍数+2，那么除以3余2的数有：5，8，

11，14，17，20，23，26，29，32…；

除以4余1的数，应是4的倍数+1，那么除以4余1的数有：5，9，13，17，21，25，

29，33…

所以，同时符合除以3余数是2，除以4余数是1的数5，17，29，…，（5不符合题意），

所以17，29，…，这个数除以12余数均为5．

答：这个数除以12余数是5．故答案为：5．

考察重难点与注意点：此题采用列举法列举出符合题意的数据，由特殊到一般推理出最后

结果．

重点考察知识点九：约数个数与约数和定理

26．（2020•绵阳）24的约数一共有（）个．

A．10B．8C．6D．4

试题思路分析：根据求一个合数的约数个数的计算公式解答即可．

规范详细解答：解：24＝23×31，

所以24的约数一共有：（3+1）×（1+1）＝4×2＝8（个）；

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答：24的约数一共有8个．故选：B．

考察重难点与注意点：此题是数论中的约数个数问题；当合数比较小时，可以用枚举法；

当合数较大时，用求一个合数的约数个数的计算公式比较简单：N＝pα×qβ×rγ（其中N

为合数，p、q、r是质数），则N的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．

27．（2020•泗洪县）已知a＝2×3×5，那么a的因数共有（）

A．8个B．6个C．5个D．3个

试题思路分析：根据求一个数因数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的

积就是这个数因数的个数，据此解答即可。

规范详细解答：解：a＝2×3×5

（1+1）×（1+1）×（1+1）

＝2×2×2

＝8（个）答：a的因数共有8个。故选：A。

考察重难点与注意点：此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：a＝pα×qβ×rγ（其

中a为合数，p、q、r是质数），则a的因数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个因数。

28．某自然数有10个不同的约数，但质约数只有2和3，满足条件的自然数最大是。

试题思路分析：首先把10分成两个数的乘积，用因数减1当作所求自然数的质因数个数，

从最小的质数2开始考虑，使3的个数最多，算出乘积即可得出答案。

规范详细解答：解：因为10＝2×5＝（1+1）×（4+1），

所以一个自然数有10个不同的因数，则这个自然数最大：21×34＝162。

答：满足条件的自然数最大是162。故答案为：162。

考察重难点与注意点：此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：a＝pα×qβ×rγ（其

中a为合数，p、q、r是质数），则a的因数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个因数。

重点考察知识点十：同余定理

29．（2020•阳山县）一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每

10个装一盒，也剩余5个，这箱桃子有（）个。

A．40B．45C．48

试题思路分析：如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5

个，说明这个数减去5后，能被8和10整除，这个数就是8和10的公倍数再加上5，据

此解答。

规范详细解答：解：8和10的最小公倍数为40，

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40+5＝45（个）符合题意。答：这箱桃子有45个。故选：B。

考察重难点与注意点：本题主要考查了同余定理，题目较为简单，找到8和10的公倍数是

本题解题的关键。

30．（2019•郑州）一堆苹果不少于10个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多

两个，这堆苹果最少有多少个？

试题思路分析：“三个三个的数，余2个，四个四个的数，余2个，五个五个的数，余2

个”，说明这堆苹果的个数是3、4、5的公倍数加2；3、4、5的最小公倍数是3×4×5＝

60，又知这堆苹果不少于10个，可确定这堆苹果最少有60+2个，由此解决问题即可．

规范详细解答：解：3、4、5两两互质，

3、4和5的最小公倍数是：3×4×5＝60

60+2＝62（个）答：这堆苹果最少有62个，

考察重难点与注意点：此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数互质，它们的

最小公倍数是它们的积，并用此决解实际问题．

重点考察知识点十一：完全平方数性质

31．（2022•中原区）小明准备利用假期去读一本书，如果每天读80页，那么4天读不完，5

天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N

（N是自然数）天读完，这本书是页。

试题思路分析：根据题干中的三句话求出N的取值范围，再根据完全平方数的特征解答即

可。

规范详细解答：解：设总页数为M

根据如果每天读80页，4天读不完，5天又有余，可得：320＜M＜400；

根据如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余，可得：270＜M＜360；

再根据如果每天读N页，恰好用了N（N是自然数）天读完，可得：320＜N2＜360；

在320～360之间，只有182＝324符合要求，所以N＝18，即总页数是324。故答案为：

324。

考察重难点与注意点：本题考查了有余数除法和完全平方数的性质的灵活应用，关键是求

出总页数的取值范围。

32．（2019•长沙）甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元，付钱时，甲先乙后，10元，

10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所

付的钱数同样多，则乙应给甲元

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试题思路分析：篮球的总价为n2．由题意“首先由甲付10元，然后乙付10元，甲再付10

元，乙再付10元，…直到某次甲付10元后，乙只需要再付不足10元“可知，每轮他们付

20元，最后一轮甲付了10元后乙没付够10元，所以他们支付的总价格的十位上必定是奇

数。

由下面可以推出十位上是奇数个位必定是6：

假设一个数为n＝10x+y，其中x和y是整数，且0＜y≤9，于是，我们有：

n*n＝100x*x+20xy+y*y

＝20x（5x+y）+y*y

如果n*n的十位数字是奇数，那么y的平方十位数字是奇数，由此推得：

y的平方等于16或36。

所以n的平方个位数字是6。

所以最后乙付的钱肯定是6元，由此可以作答。

规范详细解答：解：总价为n2元，由题意得，总价的十位数上为奇数，所以个位数上必定

为6。

所以最后一轮乙支付了6元，甲支付了10元。

所以乙需要给甲（10+6）÷2﹣6＝2（元）

答：按照约定，乙需要再给甲2元。故答案为：2。

考察重难点与注意点：本题考差了平方数的一些规律，灵活运用即可作答。

33．（2022•江夏区）当a大于0小于1时，a2小于2a。（判断对错）

试题思路分析：根据一个大于0的数乘1其积等于这个数，乘小于1的数其积小于这个数，

乘大于1的数其积大于这个数；因为a大于0小于1，所以a2＜a，2a＞a；据此判断即可。

规范详细解答：解：因为a大于0小于1，a2＜a，2a＞a；

所以即a2＜2a，故原题说法正确。故答案为：√。

考察重难点与注意点：此题主要是考查平方的意义．也可举例验证结论正确。

重点考察知识点十二：数字和问题

34．（2018•绵阳）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点

图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图给出了“河

图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图．其中，正确的是（）

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A．B．C．D．

试题思路分析：把一个点看成1，那么中间数是5，幻和就是5×3＝15；再根据这个幻和

进行推算．

规范详细解答：解：每个点表示1，中间数就是5，幻和是5×3＝15．

左下角的数是：15﹣5﹣2＝8，

P点的数是：15﹣8﹣1＝6．

P点有6个点组成，与C相同．故选：C．

考察重难点与注意点：解决本题关键是根据中间数求出幻和，再根据幻和推算．

35．（2021•南阳）如图是标有1、2、3、4、5、6数字的正方体的三种不同的摆法，三个正方

体朝左那一面的数字之和是。

试题思路分析：从第一种摆法可知道，3的对面不是1和2，从第二种摆法可知道，3的对

面不是4，从第三种摆法可知道，3的对面不是6，所以3的对面只能是5，即第一个正方

体朝左那一面的数字是5；从第一种摆法可知，2的对面不是1、3、5，从第二种摆法可知，

2的对面不是4，所以2的对面只能是6；于是1的对面只能是4，所以第二个正方体朝左

一面的数字是1，第三个正方体朝左一面的数字是4。

规范详细解答：解：5+1+4＝10

答：三个正方体朝左那一面的数字之和是10。故答案为：10。

考察重难点与注意点：解答此题的关键是掌握最多只能看到正方体的三个面，不可能同时

看到两个相对的面。

36．a、b、c、d是四个不同的自然数，且a×b×c×d＝2790，a+b+c+d最小是．

试题思路分析：由于a、b、c、d是四个不同的自然数，且a×b×c×d＝2790，因此可先

将2790分解质因数，2790＝2×3×3×5×31，所以2790含有5个质因数，这些质因数中，

只有2×3＝6的值最小，所以这四个因数可为3×6×5×31＝2790，则a+b+c+d最小是

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3+5+6+31＝45．

规范详细解答：解：由于2790＝2×3×3×5×31，

只有2×3＝6的值最小，a×b×c×d＝3×6×5×31＝2790，

则a+b+c+d最小是3+5+6+31＝45．故答案为：45．

考察重难点与注意点：先根据题意将2790分解质因数，再根据其质因数的情况进行分析是

完成本题的关键．

重点考察知识点十三：等量关系与方程

37．（2023•确山县）一次知识竞赛，共有10道题，每答对一题得10分，答错或不答倒扣5

分，小明共得55分，他答对（）道。

A．3B．6C．7D．11

试题思路分析：假设他答对x道，则能得到10x分，由于答错或不答要倒扣5（10﹣x）分，

根据“得到的分数﹣倒扣的分数＝55”列方程解答即可。

规范详细解答：解：设他答对了x道题，根据题意可得：

10x﹣5（10﹣x）＝55

10x﹣50+5x＝55

15x＝105

x＝7

答：他答对7道。故选：C。

考察重难点与注意点：此题属于鸡兔同笼问题，解这类题也可以用假设法或列表法。

38．（2020•长沙）若＝2。求△代表的数。

试题思路分析：根据分数与除法的关系，化简等式的左边，然后根据等式的基本性质解方

程即可。

规范详细解答：解：＝2

[2×（1﹣）]÷[3÷（△+1）]＝2

×（﹣）÷×（△+）＝

×××（△+）＝

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×（△+）＝

×（△+）×＝×

△+＝

△+﹣＝﹣

△＝

考察重难点与注意点：本题主要考查了解方程的能力，充分利用等式的基本性质，分数与

除法的关系，是本题解题的关键。

39．（2023•迎泽区）中国自主研发的复兴号列车的速度已经达到350千米/时，民航飞机的一

般速度比复兴号列车速度的2倍还多200千米。民航飞机的一般速度是多少？

试题思路分析：根据题意可知：复兴号列车的速度×2+200＝民航飞机的一般速度，据此

列式解答。

规范详细解答：解：350×2+200

＝700+200

＝900（千米/时）答：民航飞机的一般速度是900千米/时。

考察重难点与注意点：此题主要考查了解决问题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而

列式是解答此类问题的关键。

40．（2023•汝城县）有30个人去参加一个会议，住在一个宾馆里，安排11个房间（3人间

和2人间）刚好住完。他们住了个3人间，有人住在2人间。

试题思路分析：方法一：可设他们住了x个3人间，则2人间住了（11﹣x）个，则根据总

人数30人列出方程可得：3x+2（11﹣x）＝30，解方程即可解决问题。

方法二：此题可以假设全是3人间，则一共有11×3＝33人，这比已知的30人多了33﹣

30＝3人，因为1间3人间比1间2人间多1人，则2人间有3÷1＝3个，由此即可解答。

规范详细解答：解：方法一：设他们住了x个3人间，则2人间住了（11﹣x）个，则根据

题意可得方程：

3x+2（11﹣x）＝30

3x+22﹣2x＝30

x＝8

则住2人间的有：（11﹣8）×2＝6（人）。

方法二：假设全住3人间，则2人间有：

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（11×3﹣30）÷（3﹣2）

＝3÷1

＝3（个）

所以3人间有11﹣3＝8（个）

住2人间的有：2×3＝6（人）答：他们住了8个3人间，有6人住在2人间。

故答案为：8；6。

考察重难点与注意点：（1）解答此题的关键是正确设出未知数，找准等量关系列出方程即

可解答；

（2）此题问题原型是鸡兔同笼问题，也可以采用假设法即可解答。

重点考察知识点十四：二元一次方程组的求解

41．（2020•阿坝州）（填“是”或“不是”）方程2x+y＝7的一个解．

试题思路分析：要判断是否是不定方程2x+y＝7的一个解，只要代入方程2x+y＝7

验证即可．

规范详细解答：解：把代入方程2x+y＝7的左边可得：

左边＝2×+3＝4，

右边＝7，

左边≠右边，

所以，不是方程2x+y＝7的一个解．故答案为：不是．

考察重难点与注意点：本题考查了不定方程解的验证方法，注意验证的书写格式．

42．（2021•重庆）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水

池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5

小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满。若某天早晨6点时

水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经

过多少小时水池的水刚好注满？

试题思路分析：设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据“如

果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将

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水池注满（水池中有水15%）”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可求出x、

y的值；再将其代入中即可求出结论。

规范详细解答：解：设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，依题

意，可得：

解得：

所以，