2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题9.1 分式【九大题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）

专题9.1分式【九大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1分式的定义】 1【题型2根据分式有意义的条件求取值范围】 3【题型3分式值为零的条件】 4【题型4列代数式（分式）】 5【题型5求分式的值】 7【题型6分式的规律性问题】 9【题型7根据分式的值为整数求未知数的值】 11【题型8按要求构造分式】 14【题型9根据分式的值的正负求取值范围】 15知识点1：分式的定义一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式满足的三个条件：①式子一定是AB简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。【题型1分式的定义】【解题方法】观察式子的分母是否有字母，若有则是分式，若没有则不是。【例1】（24-25七年级·山东淄博·阶段练习）在式子3yx,aπ,A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意π不是字母，是常数．根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案．【详解】解：式子3yx,a故选：B．【变式1-1】（24-25七年级·江苏徐州·阶段练习）下列各式xy、3xx+1、xπ【答案】x【分析】根据分式的定义：形如AB，B【详解】解：xy、3xx+1、xπ、x−1x中：xπ故答案为：xπ【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键【变式1-2】（24-25七年级·重庆江北·期中）下列式子是分式的是（

）A．23x2y B．x+1π 【答案】C【分析】本题考查分式的识别，涉及分式定义，根据分式的定义对各选项进行分析即可得到答案．熟记分式定义是解决问题的关键．【详解】解：A、23B、x+1πC、1xD、−5ab是整式，不符合题意．故选：C．【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）在①a−b2，②2a，③5+xπ，④a−ba+b，⑤【答案】②④⑤【分析】利用分式的定义，依次判断，其中注意π是常数．【详解】解：由分式的定义知a−b2不是分式；2a是分式；5+xπ不是分式；a−b故分式有：2a、a−ba+b、故答案是：②④⑤．【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是：理解分式的定义，判断的依据是看分母中是否含有字母．知识点2：分式有意义的条件即要求分式的分母不能为0。即AB【题型2根据分式有意义的条件求取值范围】【解题方法】结合分母不能为0建立不等式求解，若式子中含有偶次根号，考虑被开方数大于等于0。【例2】（24-25七年级·上海·期中）当x满足条件时，分式x2【答案】x≠4【分析】本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，则分式的分母不为0，据此即可解答．【详解】解：当2x−8≠0，即x≠4时，分式x2故答案为：x≠4【变式2-1】（24-25七年级·四川绵阳·期末）已知式子1x−1x−1有意义，则【答案】x≠0且x≠1【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键．利用使分式有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意，得x−1≠0且x≠0，解得x≠1且x≠0．故答案为：x≠1且x≠0．【变式2-2】（24-25七年级·广东汕头·期末）当x=−1A．x+1x B．xx−1 C．x−1x【答案】D【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件．【详解】解：当x=−1时，x+1=0，∴当x=−1故选：D．【变式2-3】（24-25七年级·河南郑州·期末）若分式xx2−1有意义，请写出一个满足要求的x【答案】0（答案不唯一）【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可．【详解】解：要使分式有意义，即x2则x≠±1．故x=0时分式有意义．故答案为：0（答案不唯一）．知识点3：分式值为零的条件分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即AB中，A＝0，B对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不等于0。【题型3分式值为零的条件】【解题方法】利用分子的式子等于0，分母的式子不等于0建立方程与不等式进行计算即可。【例3】（24-25七年级·甘肃定西·期末）已知某个分式，当x=−1时，分式无意义，当x=2A．x−2x+1 B．x+2x+1 C．x+2x−1【答案】A【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当x=−1【详解】解：当x=−1时，x+1=0，则分式x−2x+1，x+2x+1无意义；x−1=−2≠0当x=2时，x−2x+1=0，故选：A．【变式3-1】（24-25七年级·广东茂名·期末）若分式m+2(m−2)(m+3)的值为零，则m=【答案】-2【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m的值．【详解】解：根据题意，得m+2=0，且m−2≠0、m+3≠0；解得m=−2；故答案是：−2．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．【变式3-2】（24-25七年级·安徽合肥·期末）当x=3时，下列分式中，值为0的是（

）A．x−3x2−9 B．2x−6x+2 C．【答案】B【分析】本题考查求分式的值，将x=3分别代入各个选项，进行运算，即可求解；理解分式无意义，正确计算是解题的关键．【详解】解：A.当x=3时，分式无意义，结论错误，不符合题意；B.当x=3时，2x−6x+2C.当x=3时，分式无意义，结论错误，不符合题意；D.当x=3时，x+3x+1故选：B．【变式3-3】（24-25七年级·湖北襄阳·期末）当x=时，分式|x|−1x【答案】−1【分析】本题考查了分式的值为零的条件，完全平方公式．熟练掌握分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题的关键．由题意知|x|−1=0，【详解】解：由题意知，|x|−1=0，解得，x=±1，x≠1，∴x=−1，故答案为：−1．【题型4列代数式（分式）】【例4】（24-25七年级·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了w瓶消毒液，原计划每天用m瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了n瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（）A．wm+n B．wm C．wm【答案】C【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可．【详解】解：由题意得，原计划用的天数为wm天，实际用的天数为w∴这些消毒液提前(w故选：C．【变式4-1】（24-25七年级·山西晋城·阶段练习）已知A、B两地相距50km，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别为xkm/h、ykm【答案】50+a【分析】本题主要考查了列分式，解题的关键是理解题意，根据速度、路程和时间的关系，列出分式即可．【详解】解：根据题意可知，甲、乙两人第二次相距akm时，两人所行驶的路程之和为(50+a)∵两人的速度之和为x+ykm∴行驶的时间为50+ax+y故答案为：50+ax+y【变式4-2】（24-25七年级·河北衡水·期中）在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（

）A．m+n2分 B．a+b2分 C．am+bna+b分 【答案】C【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩．【详解】解：∵甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，∴两班在这次测验中的总分为：ma+nb分，∴两班在这次测验中的总平均分是am+bna+b故选：C．【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．【变式4-3】（24-25七年级·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少元．【答案】1000【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键．【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是：1000x当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是：1000x+2则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少：1000x故答案为：1000x【题型5求分式的值】【解题方法】根据已知条件变形，或用一个字母来表示所有的字母然后带入求解。【例5】（24-25七年级·贵州毕节·期末）已知m2−3m−2=0，则A．10 B．11 C．15 D．16【答案】C【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到m2−3m=2，进而可得m−2【详解】解：∵m2−3m−2=0，且根据题意有：∴m2−3m=2，即∴m−2∴m2∴m2∴2==2+13=15故选：C．【变式5-1】（24-25七年级·辽宁大连·期末）已知x2=y3【答案】1【分析】设x2=y3=z4=k，则有x=2k，【详解】设x2=y则有x=2k，y=3k，z=4k，即xy−x故答案为：16【点睛】本题考查为了分式的求值，设x2【变式5-2】（24-25七年级·福建厦门·期末）已知非零实数x，y满足y=x2x−1，则2x+xy+2yxy【答案】5【分析】本题考查分式的求值，根据y=x2x−1，得到【详解】解：∵y=x∴x+y=2xy，∴2x+xy+2yxy故答案为：5．【变式5-3】（24-25七年级·山东日照·期末）若1x+x=3，则A．8 B．18 C．8或18【答案】B【分析】由1x+x=3可得x2+1【详解】解：∵1x∴1x整理得，x2∴x2x4故选：B【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及求代数式值，把1x+x=3和【题型6分式的规律性问题】【例6】（24-25七年级·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：−2a，5a4，−10a7，17a10【答案】−1【分析】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为−11×12+1a3×1−2，−1【详解】解：第1个数为−2第2个数为5a第3个数为−10第4个数为17a……，∴第n个数为−1n故答案为：−1n【变式6-1】（24-25七年级·天津·期末）观察给定的分式，探索规律：（1）1x，2x2，3x3（2）x2y，−x4y3，（3）−b2a，b5a2，−b【答案】6x6−【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是x6（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是y11,（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n,分子是b3n-1，分母是an,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是6x（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是−x（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是(−1)【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键【变式6-2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列一组分式：ab，−2a3b2，3a【答案】−【分析】本题考查代数式规律，对于分式规律，从三个方面：符号、分子和分母分别寻找，最终得到这组分式的规律是−1n+1na2n−1【详解】解：首先观察符号：奇数项为正、偶数项为负，则符号规律是−1n+1观察分子a,2a,3a,4a,⋯，则分子规律为na；观察分母b,3b2,5∴这组分式的规律是−1n+1∴当n=8时，−1n+1故答案为：−8a【变式6-3】（24-25七年级·云南文山·期末）给定一列分式：xy，x32y2，x54y3，x78A．x2n+12nyn B．x2n−1【答案】C【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案．【详解】解：第一个分式为：xy第二个分式为：x3第三个分式为：x5第四个分式为：x7第五个分式为：x2×5−1……，按此规律，那么这列分式中的第n个分式为x2n−1故选：C．【题型7根据分式的值为整数求未知数的值】【例7】（24-25七年级·江苏扬州·期末）能使分式6x+212x−3值为整数的整数x有（

A．0 B．1 C．2 D．8【答案】D【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将6x+212x−3转化为3+【详解】解：6x+212x−3∵分式的值为整数，∴302x−3∴2x−3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，∵x也是整数，∴2x−3=±1,±3,±5,±15，解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=−1,x=9,x=−6；故选D．【变式7-1】（24-25七年级·黑龙江牡丹江·期末）若分式6m+1的值是整数，则满足条件的所有正整数mA．9 B．8 C．7 D．5【答案】B【分析】本题考查了分式的值，根据分式6m+1的值是整数得m+1=1或2或3或6，求得m的值即可求解，根据题意得m+1=1【详解】解：∵分式6m+1∴m+1是6的约数，即m+1=1或2或3或6，解得：m=0（舍去）或1或2或5，则满足条件的所有正整数m的和为1+2+5=8．故选：B．【变式7-2】（24-25七年级·浙江宁波·期末）若x及x+82x+1都是正整数，则所有满足条件的x的值的和是【答案】10【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据x为整数，且x+82x+1的值也为正整数，列出不等式，求出x的取值范围，再枚举求出符合题意的x【详解】解：∵x及x+82x+1∴x+82x+1即x+8≥2x+1，解得：x≤7，故当x=1时，x+82x+1当x=2时，x+82x+1当x=3时，x+82x+1当x=4时，x+82x+1当x=5时，x+82x+1当x=6时，x+82x+1当x=7时，x+82x+1故所有满足条件的x的值有：1、2、7，∴所有满足条件的x的值的和是1+2+7=10．故答案为：10．【变式7-3】（24-25七年级·四川成都·阶段练习）已知x为整数，且分式9x−73x+1的值也为整数，则满足条件的所有x的值之和为【答案】0【分析】根据x为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出x的值再求和即可．【详解】解：9x−73x+1=9x+3−10=3−10∵x为整数，分式9x−73x+1∴当x=0时，分式=−7，符合题意；当x=−1时，分式值=8，符合题意；当x=−2时，分式值=5，符合题意；当x=3时，分式值=2，符合题意；∴满足条件的x的值为0、−1、−2、3，所有满足条件的数的和为0−1−2+3=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．【题型8按要求构造分式】【例8】（24-25七年级·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为零；（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3；（3）当a=0时，分式的值为−1．你所写的分式为【答案】−3a+3【分析】根据所满足的条件解答即可：（1）分式的分母不为零、分子不为零；（2）分式有意义，分母不等于零；（3）将a=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．【详解】解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；根据（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3，可知当a=−3时，分式的分母等于零；根据（3）当a=0时，分式的值为−1，可知把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．综上可知，满足条件的分式可以是：−3a+3故答案为：−3a+3（答案不唯一）【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值不为零的条件等，掌握分式的分母不能为0是解题的关键．【变式8-1】（24-25七年级·江苏南京·期中）请你写出一个值恒为正数的分式．【答案】1x【分析】根据条件写出分式即可．【详解】解：一个值恒为正数的分式为：1x故答案为：1x【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是注意两个条件：①值恒为正数；②是分式．【变式8-2】（24-25七年级·上海浦东新·期末）从整式π，2，a+3，a−3中，任选两个构造一个分式．【答案】2a+2【分析】本题考查分式的定义．分式的定义：如果A，B表示两个整式，且B中含有字母，则AB【详解】解：2和a+3可构造分式2a+3，答案不唯一，以a+3或a−3故答案为：2a+2【变式8-3】（24-25七年级·安徽安庆·期中）有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出满足上述全部特点的一个分式：．【答案】3x2−1，【详解】根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式