2025年中考数学复习 四边形综合压轴题 专项训练题

年中考数学复习《四边形综合压轴题》专项训练题1．（2025•茄子河区一模）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC＝BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．2．（2025•惠州一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．3．（2025•任城区一模）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，BC＝b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．4．（2025•南山区校级一模）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF时，请直接写出tan∠BAE的值．5．（2025•胶州市校级模拟）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，速度为2cm/s；同时，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在；若不存在，请说明理由．6．（2025•雷州市一模）综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB＝15，CF＝37．（2025•香洲区校级一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，E是CD边上一点，连接AE，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值，请说明理由．8．（2025•津南区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），B（6，0），∠ACB＝90°．（Ⅰ）如图①，求点C的坐标；（Ⅱ）将△AOC沿x轴向右平移得△A′O′C′，点A，O，C的对应点分别为A′，C′．设OO′＝t，△A′O′C′与△OBC重叠部分的面积为S．①如图②，△A′O′C′与△OBC重叠部分为四边形时，A′C′，E，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当S取得最大值时，求t的值（直接写出结果即可）．9．（2025•沈丘县校级一模）在▱ABCD中，∠BAD＝α，以点D为圆心，分别交边AD、CD于点M、N，再分别以M、N为圆心的长为半径画弧，两弧交于点K，交对角线AC于点G，交射线AB于点E得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，请求出∠FAC的度数，以及AF，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当a＝120°时，连接AP，若，请直接写出线段AP与线段DG的比值．10．（2025•盐湖区校级一模）【问题情境】（1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为一边构造正方形CEFG，如图1所示，则BE和DG的数量关系为，位置关系为．【继续探究】（2）若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG，如图2所示，①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；②连接BG，若AE＝1，求线段BG长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作GH⊥BC，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．【拓展提升】（3）在（2）的条件下，点E在AD边上运动时，则BG+BE的最小值为．11．（2025•武强县校级模拟）如图1和图2，在矩形ABCD中，AB＝6，点K在CD边上，点M，BC边上，且AM＝CN＝2，点E在CD上随P移动，且始终保持PE⊥AP，点P，Q同时出发，点P到达点N停止，点Q随之停止．设点P移动的路程为x．（1）当点P在MB上时，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）；（2）当x＝5时，求tan∠PQC的值；（3）若PB＝EC，求x的取值范围；（4）已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，若CK＝，请直接写出点K在线段QE上（包括端点）12．（2025•市中区校级一模）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，DG＝2，CD＝3【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，AD＝2AE，求AC的长．13．（2025•博兴县模拟）综合与实践为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．【探究发现】（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，折痕为EF，将纸片展平，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．【拓展延伸】（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，连结EG，FH，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”2＝BD•GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．14．（2025•顺河区校级模拟）点M在四边形ABCD内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，如图1，在四边形ABCD中，MA＝MB，MC＝MD【概念理解】如图2，正方形ABCD中，对角线AC，说明理由．【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°．求证：AC＝BD．【拓展应用】在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°，，MC＝MD＝1，求此时BD2的值．15．（2025•濮阳模拟）综合与探究问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E猜想证明：（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；深入探究：（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，H．①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，BE＝4，直接写出四边形AMNQ的面积．16．（2025•滨海新区校级模拟）已知，在平面直角坐标系内有四边形OABC，点A与点C分别在y轴与x轴上，且点B坐标为（10，8），OC＝16，将△ADB沿BD折叠，点A的对应点E在x轴上．（Ⅰ）如图1，求线段BC的长度和点D的坐标；（Ⅱ）将四边形AOEB沿x轴向右平移，得到四边形A′O′E′B′，点A，O，E，O′，E′，当点E′到达点C时停止平移，设OO'＝t①如图2，当四边形A′O′E′B′与△BEC重叠部分的图形为五边形时，试用含有t的式子表示S；②当3≤t≤11时，直接写出S的取值范围．17．（2025•游仙区模拟）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题18．（2025•南宁模拟）综合与实践：【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AG⊥DG，AG＝CF，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，且AH＝HM，连接AM，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．19．（2025•佛山一模）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC=BF；（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②，∠ABC＝135°时，，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，则CE＝．20．（2025•樟树市校级一模）【课本再现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分1B1C1O可绕点O转动．则下列结论正确的是（填序号即可）．①△AEO≌△BFO；②OE＝OF；③四边形OEBF的面积总等于；④连接EF，总有AE2+CF2＝EF2．【类比迁移】（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，并进行证明；【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，求线段EF的长度．

参考答案1．解：图2结论：AC′＝BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′＝OD，OC′＝OC，∴AO＝BO，OC′＝OD′，在△AOC′与△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′＝BD′，∠OAC′＝∠OBD′，∵∠AO′D′＝∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O＝90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′＝90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′＝AC′理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OB＝OAOC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′＝OD，OC′＝OC，∴OD′＝OC′，∴＝，∴△AOC′∽△BOD′，∴＝＝，∠OAC′＝∠OBD′，∴BD′＝AC′，∵∠AO′D′＝∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O＝90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′＝90°，∴AC′⊥BD′．2．（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA＝OP，OA⊥OP∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，在△AOB和△OPQ中，∴△AOB≌△POQ（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP；（3）如图，过O作OE⊥BC于E．①如图1，当P点在B点右侧时，则BQ＝x+2，OE＝，∴y＝וx（x+1）5﹣，又∵5≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值为2；②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ＝2﹣x，OE＝，∴y＝וx（x﹣1）8+，又∵5≤x≤2，∴当x＝1时，y有最大值为；综上所述，∴当x＝2时．3．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG．（2）解：∠FCN＝45°，理由是：作FH⊥MN于H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠EBA＝90°，∴△EFH≌△ABE，∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由是：作FH⊥MN于H，由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG，又∵G在射线CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90°，∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴＝＝；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变．4．（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠6，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝8OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S3＝•OG•DK，S5＝•BF•AD，又∵BF＝3OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，则AD＝x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝5OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝7（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD8＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k5+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××5a×，∴AD2＝10ka，即10ka＝5k2+4ka，∴k＝3a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝8a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[8（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）5＝3k2﹣8ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×，∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．5．解：（1）∵AB∥CD，∴，∴，∴CM＝，∵点M在线段CQ的垂直平分线上，∴CM＝MQ，∴1×t＝，∴t＝；（2）如图3，过点Q作QN⊥AF于点N，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，∴AC＝＝＝10cm＝＝10cm，∵CE＝4cm，CM＝，∴EM＝＝＝，∵sin∠PAH＝sin∠CAB，∴，∴，∴PH＝t，同理可求QN＝6﹣t，∵四边形PQNH是矩形，∴PH＝NQ，∴6﹣t＝t，∴t＝3；∴当t＝3时，四边形PQNH为矩形；（3）如图6，过点Q作QN⊥AF于点N，由（2）可知QN＝6﹣t，∵cos∠PAH＝cos∠CAB，∴，∴，∴AH＝t，∵四边形QCGH的面积为S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，∴S＝×6×（8﹣t+××[6﹣（6﹣×（6﹣t+4）＝﹣t2+t+；（4）存在理由如下：如图3，连接PF，∵AB＝BE＝3cm，BC＝BF＝6cm，∴△ABC≌△EBF（SSS），∴∠E＝∠CAB，又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°，∵S△CEM＝×EC×CM＝，∴CK＝＝，∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，∴PH＝PK，∴t＝10﹣8t+，∴t＝，∴当t＝时，使点P在∠AFE的平分线上．6．解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE'，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝CE'，∴CF＝E'F；（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝32＝E'B4+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+3）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝3，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE＝＝＝3．7．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣4＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）3＝x2+42，∴x＝3，∴EC＝3．（2）①如图8中，∵AD∥CG，∴＝，∴＝，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝，在Rt△DCG中，DG＝，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM∽△GMN，∴＝，∴＝，∴y＝x2﹣x+10．当x＝7时，y有最小值．②存在．由题意：∠DMN＝∠DGM，推出∠DNM≠∠DMN，所以有两种情形：如图3﹣5中，当MN＝MD时，∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴＝，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝8﹣10．如图7﹣2中，当MN＝DN时．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵MH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得＝，∴＝，∴MG＝，∴x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8．8．解：（Ⅰ）如图①，∵A（﹣2，B（6，∴OA＝4，OB＝6，∵∠AOC＝∠BOC＝∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，∴△AOC∽△COB，∴＝，∴CO2＝OA•OB＝12，∵CO＞7，∴OC＝2，∴C（3，2）；（Ⅱ）①如图②中，在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝，∴∠CAO＝60°，∴∠ACO＝∠C′＝∠ABC＝30°，∵OO′＝t，∴BO′＝6﹣t，∴O′E′＝（6﹣t），∴C′E′＝2﹣（4﹣t）＝t，∴D′E′＝C′E′＝tD′E′＝t，∴S＝S△A′O′C′﹣S△C′D′E′＝×6×2﹣×t＝﹣t2+2（2≤t＜6）；②如图③中，当5＜t＜2时，S＝﹣t7+2﹣×（2﹣t）×t2+4t＝﹣）6+，∵﹣＜8，∴t＝时，S有最大值，当2≤t＜5时，t＝2时，∵＜，∴t＝时，S有最大值．9．解：（1）如图1，连接PB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC．故答案为：AP＝AC；（2）AB2+AD4＝2AF2，理由：如图3，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠FAC＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC4＝AC2，∴AB2+AD3＝2AF2；（3）由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，∴AB＝CD＝3BE，设BE＝a，则PE＝a，AB＝CD＝3a，①当点E在AB上时，如图3，作AT⊥BC于点T、PC，当∠BAD＝α＝120°时，∠ABC＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∴DH＝AD•cos∠ADE＝2a•cos30°＝a，∵AD＝AE，AH⊥DE，DE＝6DH＝2a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝＝＝，∴DG＝DE＝a，在Rt△ABT中，BT＝AB•cos∠ABC＝8a•cos60°＝aa，∴CT＝BC﹣BT＝5a﹣a＝a，在Rt△ACT中，AC＝＝＝a，由（1）知：AP＝AC＝a，∴＝＝．②如图6，当点E在AB延长线上时，AB＝CD＝3a，过点A作AH⊥DE于点H，作AT⊥BC于点T、PC，当∠BAD＝α＝120°时，∠ABC＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∴DH＝AD•cos∠ADE＝4a•cos30°＝2a，∵AD＝AE，AH⊥DE，DE＝2DH＝4a，由①同理可得：△AEG∽△CDG，∴＝＝＝，∴DG＝DE＝a，在Rt△ABT中，BT＝AB•cos∠ABC＝2a•cos60°＝aa，∴CT＝BC﹣BT＝4a﹣﹣a＝a，在Rt△ACT中，AC＝＝＝a，由（1）知：AP＝AC＝a，∴＝＝，综上所述，线段AP与线段DG的比值为或．10．解：（1）如图1中，延长GD交BE于J．∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCG＝90°，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∠BEC＝∠CGD，∵∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠DGC+∠EBC＝90°，即∠GJB＝90°，∴DG⊥BE，故答案为：DG＝BE，DG⊥BE．（2）①结论：DG＝BE，DG⊥BE．理由：如图，延长BE，∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCE＝∠DCG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠EBC＝∠CDG，BE＝DG，∵∠CDG+∠CDH＝180°，∴∠EBC+∠CDH＝180°，∵∠EBC+∠BCD+∠CDH+∠DHE＝360°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE．②如图3，过点G作GH⊥BC，∵AE＝5，AD＝4，∴DE＝3，∵∠ECG＝∠DCH＝90°，∴∠ECD＝∠GCH，又∵EC＝CG，∠EDC＝∠H＝90°，∴△ECD≌△GCH（AAS），∴DE＝GH＝8，CH＝CD＝4，∴BH＝BC+CN＝8，∴BG＝＝＝．（3）如图2中，由（2）可知，CH＝4，∴点G的运动轨迹是直线GH，直线GH与直线CD之间的距离为4，作点D关于直线GH的对称点T，连接BT．在Rt△ABT中，∵∠A＝90°，AT＝12，∴BT＝＝＝4∵BE＝DG，DG＝GT，∴BE+BG＝BG+GT，∵GB+GT≥BT，∴BE+BG≥4，∴BE+BG的最小值为6，故答案为4．11．解：（1）由题意，DE＝AP＝2+xMP＝x，∴QE＝DE﹣DQ＝2+x﹣x＝8+x；（2）当x＝6时，点P在线段BN上，PC＝8﹣1＝8，QC＝6﹣DQ＝6﹣＝，∴tan∠PQC＝＝＝2；（3）①当点P在线段MB上时，四边形PBCE是矩形，∴PB＝CE，此时0≤x≤7．②当点P在BN上时∵PE⊥AP，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠APB+∠PAB＝90°，∴∠PAB＝∠EPC，∵∠B＝∠C＝90°，若PB＝EC，则△APB≌△PEC（AAS），∴AB＝PC，即PC＝6，∴BP＝2，∴x＝BM+BP＝8，综上所述，满足条件的x的取值范围为：0≤x≤4或x＝7；（4）由题意，点P的运动速度为＝，点Q的运动速度为．如图2中，设BP＝m，则PC＝6﹣m，∵△ABP∽△BCE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣（m﹣4）2+，∵﹣＜0，∴m＝6时，y有最大值，当点Q运动到K时，t＝（6﹣＝，当点E运动到K时，y＝，由＝（﹣m3+8m），解得m＝4±，∴两次运动到K的时间分别为（4+4﹣）÷）秒或（4+4+＝（16+2，∴点E先运动到K，∴第一次K在线段QE上时，时间＝（4+3﹣﹣（4﹣＝16﹣5﹣﹣2，第二次K在线段QE上时，时间＝（7+4+﹣＝16+2﹣+2，∴总时间＝﹣2+＝14（秒）．12．（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝8，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝4∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝8；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝3AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝．13．解：（1）正确，作EM⊥BC于点M，∵EF⊥BG，∴∠BHF＝90°，∴∠FBH+∠BFH＝90°．∵∠EMF＝90°，∴∠MEF+∠BFH＝90°∴∠FBH＝∠MEF，又∵∠EMF＝∠C＝90°，∴△EMF∽△BCG． ．∵ABCD是矩形，EM⊥BC，∴四边形ABME是矩形．∴AB＝EM．∴．（2）同学们的发现说法正确，理由如下，∵CD∥FG，∴，∠CDF＝∠DFG，由折叠知∠CDF＝∠BDF，∴∠DFG＝∠BDF．∴GD＝GF．∴，由平行四边形及折叠知AB＝BG，AB＝CD，∴，∴BG2＝BD•GD即点G为BD的一个黄金分割点．14．【概念理解】解：结论：正方形ABCD为蝴蝶四边形．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，正方形ABCD的对边AB，∴正方形ABCD为蝴蝶四边形；【性质探究】证明：∵四边形ABCD是蝴蝶四边形，∠AMB＝∠CMD＝90°，∴△AMB和△CMD都是等腰直角三角形，AM＝BM，∠AMB+∠CMB＝∠CMD+∠CMB，∴∠AMC＝∠BMD，∴△AMC≌△BMD（SAS），∴AC＝BD；【拓展应用】解：延长AM交CD于N，∵△ACD是等腰三角形，∴AC＝AD，∵AM＝BM＝，CM＝DM＝1，∵AM＝AM，∴△AMC≌△AMD（SSS），∴∠CAM＝∠DAM，AC＝BD，∵AC＝AD，∴AN⊥CD，CN＝DN，∴MN＝CN＝DN＝CD＝，∴AN＝AM+MN＝，∴AC＝，∴BD＝AC＝，∴以BD为边的正方形的面积为（）2＝5．如图4中，当AD＝DC时2＝AC3＝AN2+CN2＝（+1）7+（）6＝3+．综上所述，BD3＝5或3+．15．解：（1）四边形AECF为矩形．理由如下：∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠AFC+∠ECF＝180°，∠ECF＝180°﹣∠AFC＝90°∴四边形AECF为矩形．（2）①CH＝MD．理由如下：证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．∵△ABE旋转得到△AHG，∴AB＝AH，∠B＝∠H．∴AH＝AD，∠H＝∠D．∵∠HAM＝∠DAC，∴△HAM≌△DAC，∴AM＝AC，∴AH﹣AC＝AD﹣AM，∴CH＝MD．证法二：如图，连接HD．∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC，∵△ABE旋转得到△AHG，∴AB＝AH，∠B＝∠AHM，∴AH＝AD，∠AHM＝∠ADC，∴∠AHD＝∠ADH，∴∠AHD﹣∠AHM＝∠ADH﹣∠ADC，∴∠MHD＝∠CDH，∵DH＝HD，∴△CDH≌△MHD，∴CH＝MD．②情况一：如图，当点G旋转至BA的延长线上时，此时S四边形AMNQ＝．∵AB＝8，BE＝4，∴由勾股定理可得AE＝3，∵△ABE旋转到△AHG，∴AG＝AE＝5，GH＝BE＝4，∵GN⊥CD，∴GN＝AE＝3，∴NH＝2，∵AD∥BC，∴∠GAM＝∠B，∴tan∠GAM＝tan∠B，即，解得GM＝，则MH＝，∵tan∠H＝tan∠B，∴在Rt△QNH中，QN＝，∴S四边形AMNQ＝S△AMH﹣S△QNH＝MH•AG﹣．情况二：如图，当点G旋转至BA上时，此时S四边形AMNQ＝．同第一种情况的计算思路可得：NH＝7，QN＝，MH＝，∴S四边形AMNQ＝S△QNH﹣S△AMH＝NH•QN﹣．综上，四边形AMNQ的面积为．16．解：（Ⅰ）过B作BF⊥OC于F，如图：∵∠OAB＝90°＝∠AOB＝∠BFO，∴四边形AOFB是矩形，∴AO＝BF，AB＝OF，∵B（10，8），∴AB＝OF＝10，AO＝BF＝8，∵OC＝16，∴FC＝OC﹣OF＝6，在Rt△BFC中，BC＝＝，∵将△ADB沿BD折叠，点A的对应点E在x轴上，∴BE＝AB＝10，AD＝DE，在Rt△BEF中，EF＝＝，∴OE＝OF﹣EF＝10﹣6＝4，设OD＝x，则AD＝8﹣x＝DE，在Rt△DOE中，OD2+OE5＝DE2，∴x2+22＝（8﹣x）7，解得x＝3，∴OD＝3，∴D（5，3）；∴线段BC的长度是10，点D的坐标为（0；（Ⅱ）①设A'O'交BE于K，B'E'交BC于T，过B作BF⊥x轴于F由（1）知BF＝8，EF＝CF＝6，∴BE＝＝10＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∴tan∠BEC＝tan∠BCE＝＝＝，由平移可得，OO'＝BB'＝EE'＝t，BE∥B'E'，∴四边形BEE'B'是平行四边形，∴S平行四边形BEE'B'＝EE'•BF＝8t，∵OO'＝t，OE＝6，∴EO'＝t﹣4，在Rt△EO'K中，tan∠KEO'＝，∴＝，∴KO'＝，∴S△EO'K＝EO'•KO'＝，∵∠B'＝∠B'E'C＝∠BEC＝∠BCE＝∠B'BC，∴BT＝B'T，tanB'＝tan∠BEC＝，∴BH＝B'H＝BB'＝，∴＝，∴TH＝，∴S△BB'T＝BB'•TH＝＝，∴S＝S平行四边形BEE'B'﹣S△EO'K﹣S△BB'T＝8t﹣﹣＝﹣t7+t﹣，∵OE＝2，OF＝10，∴4＜t＜10，∴S＝﹣t2+t﹣；②当t＝3时，如图：∴OO'＝EE'＝BB'＝7，同①可得S平行四边形BEE'B'＝3×8＝24，TH＝，∴S△BB'T＝×3×2＝8，∴S＝24﹣3＝21；当t＝4时，如图：∴OO'＝EE'＝BB'＝3，同理可得S平行四边形BEE'B'＝4×8＝32，TH＝，∴S△BB'T＝×2×＝，∴S＝32﹣＝；当6＜t＜10时，S＝﹣t2+t﹣）2+，∴当t＝时S最大为，当t＝10时，如图：∴OO'＝EE'＝BB'＝10，同理可得S平行四边形BEE'B'＝10×8＝80，TH＝，∴S△BB'T＝×10×＝，S△A'EO'＝×6×8＝24，∴S＝80﹣﹣24＝；当t＝11时，设A'O'交BC于R∴OO'＝EE'＝BB'＝11，∴OE'＝OE+EE'＝4+11＝15，∴O'E'＝OE'﹣OO'＝15﹣11＝8，∴S梯形A'O'E'B'＝＝56，∵B'H＝BB'＝，＝，∴TH＝，∴S△B'TH＝××＝，∵A'B＝BB'﹣A'B'＝11﹣10＝7，∴A'H＝BH﹣A'B＝﹣1＝，∵＝，∴A'R＝，∴S梯形A'RTH＝＝，∴S＝56﹣﹣＝；∵＜21＜＜＜，∴当3≤t≤11时，S的取值范围是．17．解：（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由如下：∵∠BED＝90°，∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°，∵∠ABE＝∠A，∴AC∥BE，∴∠CGE＝∠BED＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形BCGE为矩形．∵△ACB≌△DEB，∴BC＝BE．∴矩形BCGE为正方形；（2）①结论：AM＝BE．理由：∵∠ABE＝∠BAC，∴AN＝BN，∵∠C＝90°，∴BC⊥AN，∵AM⊥BE，即AM⊥BN，∴，∵AN＝BN，∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC，∴AM＝BE．②解：如图：设AB，DE的交点为M，∵△ACB≌△DEB，∴BE＝BC＝9，DE＝AC＝12，∠ABC＝∠DBE，∴∠CBE＝∠DBM，∵∠CBE＝∠BAC，∴∠D＝∠BAC，∴MD＝MB，∵MG⊥BD，∴点G是BD的中点，由勾股定理得，∴，∵，∴DM＝＝＝，即，∴，∵AH⊥DE，BE⊥DE，∴△AMH∽△BME，∴，∴，即AH的长为．18．解：（1）四边形ABCD是正方形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形；（2）HF＝AH+CF，理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，∴四边形HFDG是矩形，∴∠G＝∠DFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AG＝CF，DG＝DF，∴矩形H