山东省天一大联考·齐鲁名校教研体2024-2025学年（下）高三年级第六次联考（数学试题及答案）

绝密★启用前20242025学年(下)高三年级第六次联考数学—、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分·在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的·1.已知集合A=-T,-e,0,1,e,m,B=txlx'2-6<0则AnB=A.30,1,efB.-e2.已知向量m=(2,-1),n=(-1,3),则m·(m-n)=A.8B.10C.12A.x2+2x+1=0的一个复数根,则IA.233334.已知3"x9'=3">1,则x+2y的最小值是A.22、B.4C.42、厂D.85.现有5种颜色的筷子各一双,从中任取两根筷子,若已知取到的筷子中有红色的概率为591317<53453574577.小王到某公司面试,一共要回答3道题,每道题答对得2分,答错倒扣1分,设他每道题答对的概率均为p(0<P<1),且每道题答对与否相互独立·记小王答完3道题的总得分为X,则当E(X)+D(X)取得最大值时,P=43348.PMN中,MN=2,PQMN,Q,2QM·QN=MN2PQ2,P的轨迹为A.22的椭圆的一部分/22B.长轴长为厂,的椭圆的一部分/22二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分·在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部则t2n-则t2n-1取值为A.-6B.-4C.-2D.3A.P=2B.直线AFY轴C.若yO<-1,则IAFI<IBFlD.若oI<2XO,则IAFI<IBFl11.已知函数f(x)=sinxcos(x+p)(peR),则下列说法正确的是A.f(x)的最小正周期为42424242D.若对于任意的P,直线Y=a与曲线Y=If(x)I总有公共点,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=2-x-2,已知三个正数ri,r2,"s构成公比为q(q>1)的等比数列,圆ci:(x-ri)2+y2=r2i(i=1,2,3),过圆C3上21+sin23'2,sin2+cos2数学试题第1页(共4页)数学试题第2页(共4页)21+sin23'2,sin2+cos2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤·15.(13分)下表是20202024年中国出生人口数y(单位:十万人)的数据:年份出生人口数十万人(I)求20202024年中国每年出生人口数的平均数;(I)某研究人员建立了s关于x的回归模型=120-6x,用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万;(Ⅲ)求(II)中回归模型的决定系数R',并评价其拟合效果.(如果0.85≤R2≤1,就认为拟合效果好,如果0.7≤R2<0.85,就认为拟合效果一般,如果R2<0.7,就认为拟合效果差)16.(15分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,点D,E是BC边上的两点,点D在B,E之间,LBAD=LCAE.17.(15分)如图,四棱锥P-ABCD的所有顶点均在同一个球的球面上,且AB=AD=4,BclcD,PBl平面PAD.(I)证明:平面PABl平面ABCD;(I)求四棱锥P-ABCD体积的最大值;(Ⅲ)当四棱锥P-ABCD的体积最大时,求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.18.(17分)已知a,beR,函数f(x)=x-ax2e+b.(I)若a=1,b=-1,求曲线Y=f(x)在点(-2,f(-2))处的切线方程;(I)若a>0,g(x)=f"(x),求g(x)的单调区间;(Ⅲ)若对任意beR,f(x)至多有2个零点,求a的取值范围·19.(17分)ab23已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点b、bab23(I)求C的离心率·(I)设A,B分别为C的左、右顶点,P,Q为C上异于A,B的两动点,且直线BQ的斜率恒为直线AP的(i)当b的值确定时,证明:直线PQ过x轴上的定点;(ii)按下面方法构造数列tbn当b=b,时,直线PQ过的定点为M(bn.1,0),且b,=2,设d,= :b,-32020202120222023202412345120106969095数学试题第320202021202220232024123451201069690952024—2025学年(下)高三年级第六次联考一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.答案A命题透析本题考查集合的表示与运算.解析由题意可得B={x|-2<x<3},集合A中的元素属于B的有0,1,e.2.答案B命题透析本题考查平面向量的坐标运算.解析由题意可得m-n=(3,-4),故m.(m-n)=2×3+(-1)×(-4)=10.3.答案B命题透析本题考查复数的运算.解析Z和Z是题中方程的两个根,所以即所以4.答案D命题透析本题考查指数运算、基本不等式的应用.解析由3x×9y=3x+2y=3xy>1,得x+2y=xy,且x,y均为正数,故即x+2y≥8,当且仅当x=4,y=2时取等号.5.答案D命题透析本题考查排列组合的应用,概率与条件概率的计算.解析设事件M为“两根筷子都是红色的设事件N为“取到的筷子中有红色的”,则所求即为6.答案A命题透析本题考查三角恒等变换的应用.7.答案C命题透析本题考查二项分布的性质.解析设答对题的个数为Y,则Y~B(3,P),所以E(Y)=3P,D(Y)=3P(1-P).由题意知X=2Y-(3-Y)=3Y-3.所以E(X)=3E(Y)-3=9P-3,D(X)=9D(Y)=27P(1-P).所以E(X)+D(X)=-27P2+36P-3=-27(P-2+9,所以当E(X)+D(X)取得最大值时,P=.8.答案D命题透析本题考查轨迹与方程.解析以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴,MN的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系,不妨令M(-1,0),N(1,0),设P(x,y),则Q(x,0),因为△PMN是锐角三角形,所以x∈(-1,1),则|QM|=1+x,|QN|=1-x,|PQ|=|y|,由2QM.QN=MN2-PQ2,得2(1+x)(1-x)=4-y2→2-2x2=4-y2,整理得-x2=1(-1<x<1),其为双曲线的一部分,且双曲线的实轴长为2\2,离心率为\\12+2=\EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(6),2),故点P的轨迹为实轴长为2\,离心率为\EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(6),2)的双曲线的一部分.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.答案CD命题透析本题考查数列的单调性.解析当n为偶数时,an+2-an=4n+4+2t≥12+2t>0,解得t>-6,当n为奇数时,an+2-an=-4n-4-2t≤-8-2t<0,解得t>-4,所以t的取值范围是(-4,+∞).故t的可能取值为-2,3.10.答案BCD命题透析本题考查抛物线的性质、抛物线与直线的位置关系.解析对于A,将A,1)的坐标代入C:y2=2Px(P>0),得P=1,故A错误.对于B,可得F,0),点A,F的横坐标相同,所以直线AFⅡy轴,故B正确.对于C,因为点A,B均在C上,所以|AF|=+=1,|BF|=x0+,要使|AF|<|BF|,只需x0>.若<-1,由于yEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)=2x0,所以2x0>1,x0>,故C正确.对于D,若|y0|<2x0,因为x0≥0,所以yEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)<4xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0),故2x0<4xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0),解得x0>,故D正确.11.答案ACD命题透析本题考查三角函数的图象与性质.解析对于A,f(x)=sinx(cosxcosφ-sinxsinφ)=sinxcosxcosφ-sin2xsinφ=sin2xcosφ-sinφ=sin(2x+φ)-sinφ,所以f(x)的最小正周期为π,故A正确;对于B,若φ=,则f(x)=sin(2x+-,其值域为[-,故B错误;对于C,设k∈Z,由-+2kπ≤2x+φ≤+2kπ,可得--+kπ≤x≤-+kπ,故f(x)的单调递增区间为[--+kπ,-+kπ](k∈Z),故C正确;对于D,若直线y=a与曲线y=|f(x)|有公共点,则a≥0,曲线y=f(x)与直线y=a或y=-a有公共点,因为f(x)的值域为[--sinφ,-sinφ],所以a≤-sinφ,或-a≥--sinφ,即a≤+ 当sinφ≠0时,max-sinφ,+sinφ}>,要使对任意的φ,①式恒成立,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.命题透析本题考查圆锥与球的相关计算.解析设该圆锥的底面半径为r,母线长为l,则其表面积为πrl+πr2,球的表面积为4π2=πl2,所以πrl+πr2=πl2,即2+-1=0,解得=\52-1(负值舍去),故圆锥的底面直径与母线长的比值为=\5-1.-,+∞)命题透析本题考查函数的奇偶性、二次函数的性质.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,在f(x)+g(x)=ax2-x-2中,用-x去代换x,得f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x),:f(xf(x)+g(x),:f(x)=-x,g(x)=ax-2,」1<x1<x2<6,:由>-2,可得2-x1g(x2)+2x2>g(x1)+2x1,令h(x)=g(x)+2x=ax2+2x-2,则h(x)在(1,6)上单调递增.若a>0,则h(x)的图象的对称轴为直线x=-<0,图象开口向上,符合题意;若a<0,则h(x)的图象的对称轴为直线x=-> 0,图象开口向下,则需-≥6,即-≤a<0;若a=0,则h(x)=2x-2在(1 上,a≥-6 命题透析本题考查直线与圆的位置关系.解析不妨设r1=1,r2=q,r3=q2,三个圆心分别为C1(1,0),C2(q,0),C3(q2,0),根据勾股定理得|PQ|2=|PC2=|PC2-1=4,因为点P在圆(x-q)+y=q上,故可设点2-1)2+(q2sinθ)2-14,2q2(q2-1)(1+cosθ)P(q22,q2sinθ),其中θ≠π,则(q2cosθ+q2-q)22-1)2+(q2sinθ)2-14,2q2(q2-1)(1+cosθ),即=,解得q=3.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题透析本题考查回归模型的应用.解析(Ⅱ)中国出生人口数低于700万,即EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),入)<70.………………(4分)当x=8时,EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),入)=120-6×8=72>70,当x=9时,EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),入)=120-6×9=66<70,………………(6分)x=9对应2028年,即预测从2028年开始中国出生人口数将低于700万.………………(7分)(Ⅲ)分别令x=1,2,3,4,5,得EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),入)=114,108,102,96,90,…………………(8分)所以因为0.7≤R2<0.85,所以这个模型的拟合效果一般.……………………(13分)16.命题透析本题考查三角形面积公式、正弦定理和余弦定理的应用.解析(I)因为匕BAD=匕CAE,…………(1分)所以即所以……………(5分)(Ⅱ)因为AB=5,AC=3,BC=7,所以匕……………(8分)因为AB丄AE,所以匕BAD=匕所以匕…………………(10分)所以sin匕,…………：EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up2(……),凹凸)………(13分)所以AD=Sin匕AED==13\3DESin匕DAE\321.217.命题透析本题考查空间位置关系的证明、利用空间向量计算空间角.解析(I)由题意知四边形ABCD存在外接圆,故匕BAD+匕BCD=π,而BC丄CD,故AB丄AD,……………(1分)由PB丄平面PAD,ADC平面PAD,可得PB丄AD,…………(2分)而AB∩PB=B,ABC平面PAB,PBC平面PAB,故AD丄平面PAB,………(3分)又因为ADC平面ABCD,故平面PAB丄平面ABCD.………(4分)(Ⅱ)如图,过点P作PH丄AB,垂足为H,则PH丄平面ABCD.四棱锥P-ABCD的体积V=●PH●S四边形ABCD=●PH●(S△ABD+S△BCD),…………(5分)AB由已知得PB丄PA,则点P在以AB为直径的圆上,当PA=PB时,PH最大,最大值为2=2.…………(‘分)同理,当BC=CD时,S△BCD最大,此时底面ABCD是正方形.………………(7分)所以四棱锥P-ABCD体积的最大值为Vmax=×2×42=.…………(8分)(Ⅲ)以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.AB由(Ⅱ)可知B(4,0,0),D(0,4,0),P(2,0,2),C(4,4,0).所以=(2,0,-2),=(-4,4,0),EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(→),PC)=(2,4,-2).………………(10分)设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),●n=2x-2z=0,则设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),●n=2x-2z=0,记直线PC与平面PBD所成的角为θ,则18.命题透析本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及极值等性质.所以所以曲线y=f(x)在点(-2,f(-2))处的切线方程为y=(x+2)-3-,2即y=x-1-4……………2(Ⅱ)由题易知g(x)=fl(x)=1-a(2x+x2)ex,所以gl(x)=-a(x2+4x+2)ex.……(5分)令gl(x)=0,得x=-2±\2,当x<-2-\2或x>-2+\2时,gl(x)<0,g(x)单调递减,当-2-\2<x<-2+\2时,gl(x)>0,g(x)单调递增,……………………(7分)故g(x)的单调递增区间为(-2-\2,-2+\2),单调递减区间为(-∞,-2-\2)和(-2+\2,+∞).…………………(8分)(Ⅲ)若a=0,则f(x)=x+b,f(x)仅有1个零点,符合题意.……………(9分)若a≠0,由f(x)至多有2个零点,可知f(x)至多有