河南省洛阳市偃师高中2025年高三综合练习数学试题卷（三模）

河南省洛阳市偃师高中2025年高三综合练习数学试题卷（三模）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（）A． B． C． D．3．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．5．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A．-2 B．2 C．4 D．76．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（）A． B． C． D．7．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A．B．C．D．8．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③9．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．10．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A． B． C． D．11．设，，，则（）A． B． C． D．12．复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若正实数x，y，满足x+2y=5，则x214．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.15．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.16．已知实数x,y满足(2x-y)2+4y三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）[选修4-5：不等式选讲]设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.19．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）20．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.21．（12分）设函数.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.22．（10分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量(件)已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为，由正弦定理可得，解得，三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以，该几何体外接球的表面积为：.故选：C【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.2、A【解析】

根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率．【详解】由已知平面，，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为．故选：A．【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．3、A【解析】

根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，因为对任意，，都有，所以函数在上为减函数，则，解得：.即实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.4、D【解析】

由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意得，，得，解得，得.当时，；当时，，则的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5、B【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为，则则故选：B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.6、C【解析】

原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.【详解】解：由及正弦定理得.因为，所以代入上式化简得.由于，所以.又，故.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.7、B【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．8、C【解析】

根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；若，，平面可能相交，故②错误；若，，则可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，④正确；故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9、B【解析】

设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；【详解】解：设∵，∴，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.10、B【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为．故选：B．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．11、A【解析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】，，，因此，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.12、B【解析】

设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【详解】设,则,,,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】

分析：将题中的式子进行整理，将x+1当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.详解：x2-3x+1+2点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果.14、1【解析】

由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大.故答案为(1).1(2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.15、【解析】

先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.【详解】剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.16、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：2x-y2+4y当2x-y=2y，即x=328故答案为：2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）取中点，中点，连接，，.设交于，则为的中点，连接.通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）取中点，中点，连接，，.设交于，则为的中点，连接.设，则，，∴.由已知，，∴平面，∴.∵，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）及已知可得平面，建立如图所示的空间坐标系，设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，∴，令得.设平面的法向量为，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、(1)(2)【解析】

（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题在上有解，去绝对值分离变量a即可.【详解】（1）不等式，即等价于或或解得，所以原不等式的解集为；（2）当时，不等式，即，所以在上有解即在上有解，所以，．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.19、（1）分布列见解析；（2）406.【解析】

（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.依题意可知，，所以的分布列为：（2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当时化验次数最多可以平均减少次.【点睛】本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.20、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）取中点为，连接，，，，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取中点为，连接，，，如下图所示：因为，，，所以，故为等边三角形，则.连接，因为，，所以为等边三角形，则.又，所以平面.因为平面，所以.（2）由（1）知，因为平面平面，平面，所以平面，以为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易求，则，，，，则，，.设平面的法向量，则即令，则，，故.设平面的法向量，则则令，则，，故，所以.由图可知，二面角为钝二面角角，所以二面角的余弦