第14讲 线段、角、相交线与平行线（5考点+20题型）2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第四章三角形第14讲线段、角、相交线与平行线（3~8分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一认识几何图形考点二直线、射线、线段的相关概念考点三角的相关概念考点四相交线考点五平行线04题型精研·考向洞悉命题点一几何图形的初步►题型01立体图形►题型02几何体的展开图►题型03点线面体►题型04平面图形的认识命题点二直线、射线、线段的相关概念►题型01线段的和差问题►题型02画直线、射线、线段►题型03线段的性质命题点三角►题型01方向角和钟面角问题►题型02角的运算问题►题型03与余角、补角有关的计算►题型04角平分线的相关计算►题型05角的综合问题命题点四相交线►题型01点到直线的距离（垂线段）►题型02利用对顶角、邻补角的性质求解►题型03判断同位角、内错角、同旁内角命题点五平行线►题型01平行公理的应用►题型02利用平行线的判定进行证明►题型03求平行线之间的距离►题型04平行线性质的应用►题型05根据平行线性质与判定证明05分层训练·巩固提升基础巩固能力提升考点要求新课标要求考查频次命题预测认识几何图形通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念.10年6考该专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，预计2025年广东还将出现.在选择、填空题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握．对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待.直线、射线、线段的相关概念会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.掌握基本事实:两点确定一条直线和两点之间线段最短.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.近10年连续考查角的相关概念理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角、同(或)的补的性质.10年8考相交线理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线.掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.识别同位角、内错角、同旁内角.10年考平行线理解平行线的概念.掌握平行线的性质与判定定理.了解平行于同一条直线的两条直线平行.10年10考考点一认识几何图形几何图形的概念:我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.正方体展开图（共计11种）：口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,2）“三个二”成阶梯,3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.4）体：几何体也简称体.组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.考点二直线、射线、线段的相关概念一、直线、射线、线段的相关概念一、直线、射线、线段的相关概念直线射线线段概念直线是几何图形基础，是一个不做定义的原始概念.直线上一点和它一旁的部分叫做射线.直线上两点和它们之间的部分叫做线段.图形表示方法直线AB或直线BA直线m射线OA射线n线段AB线段l端点个数无1个2个延伸、度量情况可向两方无限延伸不可度量只能以一方无限延伸不可度量不能延伸，可以度量不同点线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线相同点都是直的线直线的性质：1）直线公理:经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线；2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了.两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.线段的性质：两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置.线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点.考点三角的相关概念角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形.角的分类：∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°角的表示方法：角的表示图例适用范围注意事项用三个大写字母表示记作：∠ABC或∠CBA任何情况都适用表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧.用一个大写字母表示记作：∠O1）以这个字母为顶点的角只有一个；2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示.用一个数字表示任何情况都适用在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母用一个希腊字母表示角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）°1周角=2平角=4直角=360°.角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．②角平分线上的点到角两边的距离相等．余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.考点四相交线一、相交线直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足.垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角.3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.二、相交线中的角第一种对顶角与邻补角第一种对顶角与邻补角种类图形顶点边的关系大小关系对顶角（∠1与∠2）有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线∠1=∠2邻补角（∠3与∠4）有公共顶点∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°第二种同位角、内错角与同旁内角同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5.内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5.同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6.【速记同位角、内错角与同旁内角】三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对.正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”.考点五平行线平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补..平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行.判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合.平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；2）平行线间的距离处处相等.命题点一几何图形的初步►题型01立体图形1．（2024·广东广州·模拟预测）下列几何体中，圆锥是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了认识立体图形，根据每一个几何体的特征即可判断．【详解】A、是圆锥，符合题意；B、是四棱柱，不符合题意；C、是圆柱，不符合题意；D、是三棱柱，不符合题意；故选：A．2．（2023·广东湛江·二模）下列几何体中，从正面看和从左面看形状均为三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键；注意所有的看到的棱都应表现在三视图中；分别找出各图形的左视图和主视图，然后进行判断．【详解】解：A．主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项不合题意；B．主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项不合题意；C．主视图和左视图均为三角形，故本选项符合题意；D．主视图为一行两个相邻的矩形，左视图为矩形，故本选项不合题意．故选：C．3．（2022·北京平谷·一模）如图是某几何体的展开图，则该几何体是（

）A．长方体 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱【答案】D【分析】根据几何体的展开图可知，该几何体是一个三棱柱．【详解】解：根据几何体的展开图可知，该几何体是一个三棱柱，故选：D．【点睛】本题考查空间想象能力，熟记常见几何体的展开图是解决问题的关键．4．（2022·河北邯郸·三模）如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看主视图为长方形，且长方形内有一条斜线．故选：B．【点睛】此题考查了三视图的知识，解题的关键是知道主视图是从物体的正面看得到的视图．►题型02几何体的展开图5．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答．【详解】解：观察，∴其展开图可能是，故选：D．6．（2024·广东深圳·三模）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是（）A．一 B．定 C．满 D．意【答案】D【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．【详解】解：原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是意，故选：D．7．（2024·广东广州·二模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识，首先根据三视图确定该几何体的形状，然后确定其展开图即可．【详解】解：主视图和左视图均为等腰三角形，底面为圆，所以该几何体为圆锥，∵圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，∴B选项符合，故选B．8．（2024·广东广州·二模）下列几何体中，其侧面展开图是扇形的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查几何体的展开图，根据圆锥的侧面展开图是扇形，即可得出结果．【详解】解：在圆柱体，圆锥，三棱锥，长方体中，只有圆锥的侧面展开图是扇形；故选：B．►题型03点线面体9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是（

）A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．垂线段最短【答案】C【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可．【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体，故选：C．10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可得到的立体图形是（）A． B．\ C． D．【答案】B【分析】本题考查了点、线、面、体的问题，根据将一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周所形成的几何体是圆锥即可得解．【详解】解：将一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是圆锥，故选：B．11．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C．12．（2024·陕西渭南·二模）下列图形分别绕虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是解题的关键，根据选项逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.绕直线l旋转后得到的图形为一个球体；B.选项中的图形旋转后为圆柱；C.可得其旋转后的几何体为圆锥；D.可知其绕直线l旋转后得到的图形为一个圆台；故选C．►题型04平面图形的认识13．（2024·上海·三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（

）

A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形【答案】D【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键．【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成正方形

故选：D．14．（2023·河南商丘·二模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，李约瑟称它是“东方最古老的消遣品之一”．图1是边长为4的大正方形，图2是王林同学将其分割制作的七巧板摆拼而成的“奔跑者”图，则图2中阴影部分的面积为（

）

A．4 B． C．6 D．【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理．对图1中的部分图形进行编号．由题意大正方形的边长为4，进而得出对角线的长，得出，进而得出，根据即可求解．【详解】对图1中的部分图形进行编号，如解图所示．由题意，大正方形的边长为4，则其对角线长为，∴小正方形①的边长为．又∵．又大正方形的面积为，∴题图2中阴影部分的面积为，故选C．

15．（2023·河北衡水·模拟预测）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．【详解】解：将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是：故选：A．【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现，同时要注意菱形的判断方法．16．（2023·湖北武汉·模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，如图1，它有五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，共七块板，可组成一个面积是1的大正方形．图2是一个用七巧板拼成的装饰图，将其放入矩形ABCD内，则矩形内空白处的面积是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】设①的直角边为，则各边长度如图所示，表示矩形的两边分别为：，，再利用割补法求解空白部分的面积即可．【详解】解：设①的直角边为，则各边长度如图所示，

由题意可得：，∴，而矩形的两边分别为：，，∴矩形内空白处的面积是，故选A【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用割补法求解图形的面积，理解题意，选择合适的解题方法是关键．命题点二直线、射线、线段的相关概念►题型01线段的和差问题17．（2023·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(

)A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对【答案】A【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解．【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选：A．

【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键18．（2022·山东威海·一模）在数轴上，点A，B表示的数分别是和2，则线段AB的中点表示的数是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】令AB的中点为M，根据两点之间的距离求得AB，根据中点的性质求得BM，进而即可求解．【详解】解：令AB的中点为M，，∴，∴AB的中点表示的数是，故选：A．【点睛】本题考查两点之间的距离、数轴、有理数的减法、线段的中点，解题的关键是根据两点之间的距离求得AB．19．（2023·浙江杭州·二模）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n，a是常数，（

）A．若，则点A在点B，C之间 B．若，则点A在点B，C之间C．若，则点C在点A，B之间 D．若，则点C在点A，B之间【答案】D【分析】根据点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设当点A在点B，C之间时，恒成立；设点C在点A，B之间时，恒成立；分别代入求解即可．【详解】解：当点A在点B，C之间时，恒成立，即方程至少有一解化简得若，则，不符合条件，故A选项错误；若，则，不符合条件，故B选项错误；当点C在点A，B之间时，恒成立，即方程至少有一解化简得若，则，不符合条件，故C选项错误；若，则，符合条件，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了线段的和与差，一元二次方程根的判定，根据题意，列方程，结合选项进行验证是解题的关键．20．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由题意可求出，，，．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可．【详解】解：由题意可知．∵，∴，，∴，．当大货车第一次到达D地时，用时，∴此时小车行驶路程为．∵，∴此过程两车不相遇；当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，∵，∴大货车到达C地用时．假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，则，解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；当大货车继续由C地返回B地时，∵，∴大货车到达B地用时．此时大货车共行驶．∵小车到达C地用时，∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠．∵小车中途在C地停靠3分钟，即，∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠．当大货车又从B地出发前往D地时，用时，∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，∴此时小车剩余停靠时间，∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了．假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，则，解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，∴此过程两车没相遇．当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，∴两车此过程必相遇．综上可知，两车相遇的次数为2次．故选A．【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键．►题型02画直线、射线、线段21．（2023·河北廊坊·三模）如图，已知两点，画射线，按照上述语句，下列画法正确的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据射线的概念即可得到答案．【详解】解：已知两点，画射线，如图所示：

，故选：A．【点睛】本题主要考查了射线的定义，熟练掌握射线的定义：由线段的一端无限延伸所形成的直线，是解题的关键．22．（2023·河北·二模）如图，已知，借助量角器判断，射线可能经过的点是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】借助量角器作出射线即可判定．【详解】如图，利用量角器作出，则射线经过点Q．

故选：B【点睛】本题主要考查量角器的使用，正确使用量角器是解题的关键．23．（2023·河北邢台·二模）如图，以为端点，画一条射线，若射线与直线相交，则这条射线还可能经过的点是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点【答案】D【分析】在图中作出射线，即可判断．【详解】解：如图所示，只有射线经过点N时，射线与直线相交，

故选：D．【点睛】题目主要考查射线与直线的交点，理解题意是解题关键．24．（2023·河北衡水·二模）如图，若线段与线段有一个公共点，则点C可以是（

）A．点D B．点E C．点Q D．点M【答案】A【分析】把P与各点的连线段画出来即可得到答案.【详解】解：如图，若线段与线段有一个公共点，则点C可以是D，故选A【点睛】本题考查的是线段的概念，熟记线段的特征是解本题的关键.►题型03线段的性质25．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（

）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短【答案】C【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键．【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短，故选：C．26．（2022·山东济南·模拟预测）如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由轴对称性质可知：作D点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，此时值最小，再求出直线的解析式，即可求得P点坐标．【详解】解：如图所示：作D点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，此时值最小，且最小值为，∵直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，∴令x=0，则y=8，则，令y=0，则x=-8，则，∵点C，D分别为线段AB，OB的中点，，，D点关于x轴的对称点为，，设直线解析式为，将，代入得：，解得：，∴直线解析式为，∵P为直线与x轴交点，∴令y=0，则x=-2，．故选C．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，中点坐标，轴对称中的最短路径问题，熟练掌握轴对称中的最短路径问题和求一次函数解析式是解题的关键．27．（2022·山东济南·一模）在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE=CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】延长AB至G，使BG=AB=2，连接DG交BC于F'，连接GF，由四边形ABCD是正方形，得CD=BC=AB=BG，∠C=∠ABC=90°=∠GBF，根据DE=CF，可得△BCE≌△GBF（SAS），即知BE=GF，故BE+DF=GF+DF，当F运动到F'，即D、F、G共线时，GF+DF最小，即BE+DF最小，最小值为DG的长，勾股定理求出DG，即可得BE+DF最小值．【详解】解：延长AB至G，使BG=AB=2，连接DG交BC于F'，连接GF，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC=AB=BG，∠C=∠ABC=90°=∠GBF，∵DE=CF，∴CD-DE=BC-CF，即CE=BF，∴△BCE≌△GBF（SAS），∴BE=GF，∴BE+DF=GF+DF，∵DG≤DF+GF，∴DG≤BE+DF，即当F运动到F'，即D、F、G共线时，GF+DF最小，即BE+DF最小，最小值为DG的长，在Rt△ADG中，DG===2，∴BE+DF最小值是2．故选：B．【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把DF+BE转化为GF+DF．28．（2022·安徽合肥·一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延长BD至点，使得D＝BD＝2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，给出证明，再过点E作EF⊥B于点F，由勾股定理求出EF的长，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案．【详解】解：∵∴∠ADB＝90°∵，∴AB＝2由勾股定理得BD＝∴AD＝BD＝2∴∠BAD＝∠ABD＝45°∵E是AB的中点，∴BE＝AE＝AB＝延长BD至点，使得D＝BD＝2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，如下图，理由如下：∵’，D＝BD＝2，∴AD垂直平分B∴AD上任意一点P,总有PB＝P，由“两点之间，线段最短”可知，点P在E与AD的交点处时，PE＋PB的值最小，最小值为E的长，此时过点E作EF⊥B于点F，如上图，则∠EFB＝∠EF＝90°，∵∠ABD＝45°∴EF＝BF∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2∴EF＝BF＝＝1∴F＝BD＋D－BE＝3在Rt△EF中，由勾股定理得E＝＝＝即的最小值为故选：C【点睛】本题考查了最短路径问题、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，掌握最短路径的确定方法、灵活应用勾股定理是解题的关键．命题点三角►题型01方向角和钟面角问题29．（2022·广东珠海·一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离10cm，经20分钟，分针针尖转过的弧长是（

）A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm【答案】B【分析】根据弧长公式可求得．弧长公式为l=．【详解】解：l===π（cm）．故选：B．【点睛】主要考查了圆周的弧长公式和钟表上分针所走过的角度与时间之间的关系．弧长公式为l=，需要注意的是求弧长需要知道圆心角的度数和半径；分针1分钟走过的角度为6°．30．（2023·广东肇庆·一模）如图，小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐继续行驶，若行驶到C处后，小明想按正东方向行驶，则他在C处应该（

）A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐【答案】C【分析】过点B作于点B，过点C作，如图，先求得，再根据平行线的性质得到．于是可判断他想仍按正东方向行驶，那么他向右拐．【详解】过点B作于点B，过点C作，并标记角，如图所示．∵，∴．∵，∴．∴若小明想按正东方向行驶，则他在C处应该右拐70°，故选C．【点睛】本题考查了方位角、垂直的性质和平行线性质，关键是作出适当的辅助线，找出要求的角与未知角的关系．31．（2022·广东深圳·三模）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是（

）米（结果保留根号）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BC⊥AC于点D，在中利用三角函数求得AD的长，在中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得．【详解】解：如图，作BD⊥AC于点D，∵在中，，∴，(米)，∵在中，，∴（米），则(米)．故选：B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．定理：直角三角形中所对直角边是斜边的一半．32．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（）A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西【答案】C【分析】根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答．【详解】解：如图：由题意得：，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东，小岛A相对于小岛C的方向是南偏西．故选C【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．►题型02角的运算问题33．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】∵∴∵∴∴．故选：C．34．（2024·广东广州·三模）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，结合计算即可，本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，掌握平行线的性质，是解题的关键．【详解】∵直尺的对边平行，∴，∵，∴，故选C．35．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点C在上，角的顶点A在上，如果边与的交点D是的中点，那么的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查平行线的性质、等边对等角和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意得，，由，即可求得答案．【详解】解：设点E在上，如图，∵边与的交点D是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，则．故选：C．36．（2024·广东惠州·三模）一根直尺和一个角的三角板按如图方式叠合在一起，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的求解，根据题意得：，，根据平行线的性质可得，再由平角的定义，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：，，∴，，∵，∴．故选：A．►题型03与余角、补角有关的计算37．（2024·广东湛江·二模）若和互补，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查补角，根据两角和为，这两角互补求解即可．【详解】解：∵和互补，∴∵，∴，故选：A．38．（2023·广东佛山·三模）已知，与互为余角，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据互为余角的定义即可求解．【详解】解：∵与互为余角，∴，又∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查互为余角的定义，熟练掌握如果两个角的和等于，则这两个角互为余角是解题的关键．39．（2023·广东湛江·一模）将一块三角板和一块直尺如图放置，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质，可得，再由对顶角相等可得，从而得到，根据计算求解即可．【详解】解：如图，由题意得：，∴，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行线的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．40．（2022·山东济南·二模）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线AB上，若∠1＝22°，则∠2的度数为（）A．78° B．68°C．22° D．60°【答案】B【分析】由平行线的性质，可得∠2=∠3，由∠3=90°-∠1，进而求出∠2的度数．【详解】解：∵将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线AB上∴∠2=∠3又∠3+∠1=90°，∠1=22°∴∠3=90°-22°=68°∴∠2=68°故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，互余的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．►题型04角平分线的相关计算41．（2024·广东江门·模拟预测）如图，为的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（

）．A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，先证明，，，可得，再证明，从而可得答案．【详解】解：∵为的中位线，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵的角平分线交于点F，∴，∴，∴，∴，故选：C．42．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，，直线分别交于点E，F，平分，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的相关计算，先由角平分线求出，再由两直线平行同旁内角互补即可得到求出的度数.【详解】解：∵，平分，∴，∵，∴故选：D43．（2023·广东阳江·一模）如图，，，若平分，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．根据角平分线的定义得出，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答．【详解】解：∵，平分，∴，∵，∴，故选：B．44．（2023·广东梅州·二模）如图所示，直线，直线交直线于点，交直线于点，射线平分，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先由平行线的性质，得到，，再由角平分线定义得，即可求解．【详解】解：∵，∴，，∵平分，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查角平分线定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．►题型05角的综合问题45．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，，求的度数．【答案】【分析】本题考查了多边形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数，再根据四边形内角和的度数即可求出的度数．【详解】解：平分，，，，，，在四边形中，，，．46．（2024·广东珠海·一模）已知如图，过点A作，且，．(1)求证；(2)若已知平分，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了角平分线的定义，及平行线的判断和性质，两直线平行，同位角相对；内错角相等，两直线平行；（1）先通过推算出，在结合推算出，根据两直线平行，同位角相等，得到，从而证得，最后根据内错角相等，证得；（2）根据（1）中证得，结合平分，得到，再根据平行直线的性质得到，即可求得答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，由（1）得，∴，∵，∴，∴．47．（2022·广东清远·一模）如图，在中，，(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的________，射线是的________；(2)在（1）所作的图中，求的度数．【答案】(1)垂直平分线，角平分线(2)75°【分析】（1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到∠BAD=∠B=40°，再结合三角形的内角和便能求得∠BAC=90°，∠DAC=50°，再根据角平分线的定义可知∠EAC，∠AED=∠EAC+∠C，即可得到答案．【详解】（1）由图可知，：直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线，故答案为：垂直平分线，角平分线；（2）∵DF是线段AB的垂直平分线，∴DB=DA，∴∠BAD=∠B=40°，∵∠B=40°，∠C=50°，∴∠BAC=90°，∴∠DAC=50°．∵射线AE是∠DAC的平分线，∴∠DAE=25°=∠EAC．∴∠AED=∠EAC+∠C=25°+50°=75°．【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．48．（2024·广东江门·一模）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点(1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______．(2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由．(3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论．【答案】(1)(2)平分(3)，证明见解析【分析】本题主要考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识点，掌握相关知识是解题关键．（1）根据四边形内角和360度即可解答；（2）根据角平分线性质可得，再根据、，然后根据同角的余角相等可得结论；（3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度求解即可．【详解】（1）解：，为直角，，根据四边形内角和等于得：，，故答案为：（2）解：平分，理由如下：平分，，，为直角，，，，平分；（3）解：与的位置关系是：，证明如下：由（1）可知：，又，，平分，平分，∴，，，为直角，，，又，，，即命题点四相交线►题型01点到直线的距离（垂线段）49．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（

）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．50．（2023·广东广州·一模）是的角平分线，若，，则点到距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点D作于E，∵是的角平分线，，∴，∴点到距离为3，故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．51．（2023·广东广州·模拟预测）如图，直线相交于点O，，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了对顶角相等，垂线性质，角度的和差，根据对顶角相等求出的度数，从而求出的度数，根据垂线性质得出，最后根据求出结果即可．【详解】解：，，，即故选：B．52．（2020·广东深圳·三模）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠BOD＝70°，则∠CON的度数为（

）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案．【详解】解：∵∠BOD＝∠AOC＝70°，射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠MOC＝35°，∵ON⊥OM，∴∠CON＝90°﹣35°＝55°．故选：C．【点睛】本题考查垂线的定义及角平分线的定义．熟练掌握相应定义并准确应用是解题的关键．►题型02利用对顶角、邻补角的性质求解53．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可．【详解】解：∵∴，∵，∵一束平行于主光轴的光线，故选：A．54．（2024·广东清远·二模）如图，一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义，利用平行线的性质得出，利用平角定义求出，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得，∴，∵，∴，故选：B．55．（2024·广东江门·模拟预测）下图是某平台销售的折叠椅子及其左视图，已知与地面平行，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等的性质即可求出，根据邻补角的性质求出．【详解】解：根据题意得：，，，，故选：D．56．（2023·广东·模拟预测）如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则∠2的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．由平行线的性质及对顶角的性质可求解∠5的度数，利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解∠2的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故选：A．►题型03判断同位角、内错角、同旁内角57．（2024·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（

）A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角【答案】A【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知它们构成的一对角可以看成是同位角，故选：A．58．（2018·广东广州·中考真题）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4【答案】B【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据此定义即可得出答案．【详解】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题的关键是熟记内错角和同位角的定义．59．（2024·山东东营·模拟预测）如图，已知直线、、相交于、、三点，则下列结论：①与是同位角；②内错角只有与；③若，则；④；正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了三线八角、三角形外角与内角及对顶角的判别，解答此类题时确定三线八角是关键，可直接从截线入手；对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语；熟练掌握相交线两线四角及三角形外角与内角的性质：①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角；③对顶角相等；④邻补角互补．①②根据同位角和内错角的定义可知；③对顶角相等；④三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的一个内角，是的一个外角；【详解】解：①因为和是直线、被直线所截得的同位角，此结论正确；②因为内错角除了和外，还有和等，此结论错误；③因为和是对顶角，，若，则；此结论正确；④由三角形的外角定理得，此结论正确；因此正确的结论有3个，故选：C．60．（2022·河北保定·模拟预测）如图，和不是同位角是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据同位角的定义即可得到结论．【详解】解：根据同位角的定义可知选项B中的和不是同位角，故选：B．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键．命题点五平行线►题型01平行公理的应用61．（2024·辽宁大连·三模）关于两条平行直线，，下列说法正确的是（均发生在同一平面内）（

）A．若，被第三条直线所截，则内错角互补；B．过，外一点作直线，则与一定交于一点；C．对于，外的任意一点，过关于平行的直线有且仅有一条；D．被平行直线所截得线段成比例．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理、平行线分线段成比例等知识；依照相减知识逐项判断即可．【详解】解：A、若两平行直线，被第三条直线所截，则内错角相等，故说法错误；B、过，外一点作直线，则与一定平行或相交，故说法错误；C、对于，外的任意一点，过关于平行的直线有且仅有一条，说法正确；D、被平行直线所截得对应线段成比例，故说法错误．故选：C．62．（2024·江苏苏州·二模）在平面内，下列说法错误的是（

）A．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行B．若一条直线上有两点到另一条直线距离相等，则这两条直线平行C．同平行于一条直线的两条直线平行D．同垂直于一条直线的两条直线平行【答案】D【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平行公理及推论，根据平行线的判定和性质，平行公理及推论进行判断即可．【详解】解：A．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故选项正确，不符合题意；B．若一条直线上有两点到另一条直线距离相等，则这两条直线平行，故选项正确，不符合题意；C．同平行于一条直线的两条直线平行，故选项正确，不符合题意；D．在同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行，故选项错误，符合题意．故选：D．63．（2024·黑龙江大庆·一模）下列命题是真命题的是（

）A．相等的两个角是对顶角B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【分析】本题主要考查了对顶角、点到直线的距离、平行线公理、平行线的性质等知识，理解并掌握相关定义和定理是解题关键．根据对顶角、点到直线的距离、平行线公理、平行线的性质，逐项分析判断即可．【详解】解：A.相等的两个角不一定是对顶角，故该命题是假命题，不符合题意；B.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该命题是假命题，不符合题意；C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意；D.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故该命题是假命题，不符合题意．故选：C．64．（2024·山西临汾·二模）反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线被直线所截，，那么．”先假设，过点作直线，使，由“同位角相等，两直线平行”，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明的假设是不正确的，于是有，上述材料中的“基本事实”是指（

）A．两点确定一条直线B．两直线平行，内错角相等C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直【答案】C【分析】本题考查了反证法，直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．【详解】解∶根据题意知∶材料中的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选：C►题型02利用平行线的判定进行证明65．（2024·广东云浮·一模）下列图形中，由能得到的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定逐一判断即可．【详解】解：对于A选项，由得出，不符合题意；对于B选项，设的对顶角为，如图所示：的对顶角为，，，，，故由能得出，符合题意；对于C选项，由不能得出，不符合题意；对于D选项，由不能得出，不符合题意；故选B．66．（2021·广东·三模）如图，已知直线a、b被直线c所截，下列条件不能判断的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A、，能判断两直线平行，故该选项不符合题意；B、，能判断两直线平行，故该选项不符合题意；C、∵,,∴，能判断两直线平行，故该选项不符合题意；D、，是邻补角互补，不能判断两直线平行，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握两直线平行的判定方法是解题的关键．67．（2024·陕西渭南·三模）如图，点、分别在、上，连接、，下列条件中，能判断的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键．运用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的方法进行判定即可求解．【详解】解：A、，则，不符合题意；B、，则，不符合题意；C、，则，不符合题意；D、，则，符合题意；故选：D．68．（2024·四川达州·三模）如图，在中，点、、分别是、、上的点，连接，，，则下列条件中，能判定的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可．【详解】解：，，故A不符合题意；，，故B符合题意；，，故C不符合题意；由，不能判定，故D不符合题意；故选：B．►题型03求平行线之间的距离69．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知点在直线上，、两点在直线上，且，是个钝角，若，则、两直线的距离可以是（

）

A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案．本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离．熟练掌握平行线之间距离的概念是解题的关键．【详解】根据平行线之间的距离的定义可得、两直线的距离应该小于5，故选：D．70．（2023·河南省直辖县级单位·一模）如图，在四边形中，，对角线相交于点E，若，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由四边形中，，可得，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案．【详解】解：∵四边形中，，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，熟练的掌握同高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．71．（2022·安徽滁州·一模）如图，在中，是的角平分线，交于点E，F为上一点，连接，已知，则的面积（）A．12 B．7.5 C．8 D．6【答案】B【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后利用角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式求出的面积，最后根据平行线间的距离处处相等可得的面积的面积，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面积，∵，∴的面积的面积，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．72．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系．由题意可知的面积和四边形的面积相等，可通过连接的方法，证明出，进而求出的面积，然后即可求出答案．【详解】解：连接．∵，∴，∵两个三角形有公共底，且面积相等，∴高相等，∴，从而可得：，∴，又，，即，故选：C．►题型04平行线性质的应用73．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得到，再由，即可得到．【详解】解：如图，由题意得，，∴，∵，∴，故选C．74．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．如图，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可．【详解】如图，∵在空气中平行的光线，在水中也是平行的∴，，∵∴，，∴，故选：B．75．（2024·广东中山·三模）如图，直线，，于点，若，则的度数为（）A．. B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和，根据可得，再结合和三角形内角和即可求解．【详解】∵，，∴∵∴∵∴故选：B．76．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质推出成为解题的关键．由邻补角的性质得到，由平行线的性质推出，然后根据角的和差即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故选：C．►题型05根据平行线性质与判定证明77．（2023·广东梅州·一模）如图，点E，A，C，F在同一直线上，，，．求证：

(1)≌；(2)四边形是平行四边形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：，，在和中，，≌；（2）由（1）可知，≌，，，，，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．78．（2024·广东东莞·三模）如图，在等腰中，．点D是边上的动点，连接，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．作交于点G，连结，交于点H．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定、平行线的判定：（1）根据两直线平行，内错角相等，得到，再根据等边对等角得到，最后根据旋转的性质得到结果；（2）根据等角对等边得到，一组对边平行且相等可得到四边形是平行四边形，即，两直线平行，同位角相等，可得到两个三角形三个角对应相等，则两个三角形相似；掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，由旋转的性质得到：，∴；（2）证明：∵，∴，由旋转的性质得到：，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，，∴．79．（2024·广东佛山·三模）综合探究如图1，在等腰中，，于D，一个直径与相等的圆与相切于点E、与相切于点F，连接．(1)求证：；(2)如图2，过E作交圆于G，连接，求证：四边形是矩形；(3)与的交点是圆心的位置吗？为什么？【答案】(1)见详解(2)见详解(3)是，见详解【分析】由题意可得，，则，结合，可得，即可证明；由题意知，进一步得到，即四边形为矩形．连接，由(2)可知为直径，可得，又由(1)可知，，则，结合，得到为圆的切线．由于为已知圆的切线得，则是的垂直平分线，则必过圆心，即可证明圆心O就是与的交点．【详解】（1）解∵圆与相切于点E、与相切于点F，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，（2）∵，，∴，∵与圆切于点E，∴为圆的直径，∴，∴四边形为平行四边形，∵，即四边形为矩形．（3）圆心O即为与的交点．理由∶连接，由(2)可知为直径，∴，又由(1)可知，，∴，又∵四边形为矩形，∴，∴为圆的切线．∵为已知圆的切线，∴，∴是的垂直平分线，则必过圆心，即圆心O就是与的交点．【点睛】本题综合考查了平行线的判定和性质、等边对等角、矩形的判定和性质、切线的性质和垂径定理，解题的关键是熟悉圆的性质和等腰三角形的性质。80．（2023·广东·模拟预测）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．(1)【初步应用】如图2，有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，若，证明：；(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，则为多少度？【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，进而得到，求出，从而得证；（2）过点作，根据平行线的传递性可得，根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．（2）解：如图，过点作，∵，，又∵，，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．∴为．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．基础巩固单选题1．（2024·广东佛山·三模）一个角的补角，则这个角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互补，进行求解即可．【详解】解：由题意，这个角的度数为；故选C．2．（2024·陕西西安·模拟预测）为弘扬“中国航天精神”，设立每年的4月24日为“中国航天日”，如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“国”字对面的字是（

）A．航 B．天 C．精 D．神【答案】C【分析】本题考查了正方体相对面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找出相对面的文字，即可解答．【详解】解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是“精”，故选：C．3．（2024·山西太原·二模）一个棱柱的侧面展开图如图所示，则该棱柱底面的形状是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查棱柱的展开图，侧面展开图下方线段所围成的图形为棱柱底面的形状，由此可解．【详解】解：由所给段面展开图可知，底面图形由2条长线段、2条短线段围成，形状为：，故选B．4．（2024·山西阳泉·二模）下列图形为正方体展开图的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了正方体的展开图．熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．根据正方体展开图包括，，，型，进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，是正方体的展开图，故选：C．5．（2024·广东·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿着所在直线剪开并错位放置，点在一条直线上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，由题意可得，，即可得，，据此即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：由题意可知，，，∴，，∵，∴，∴，故选：．6．（2024·广东东莞·三模）如图是某品牌躺椅的侧面示意图，其中，当，时，人躺着最舒服，则此时的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，由平角定义求出．【详解】解：如图所示，∵，，，．故选：D．7．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．平行线的性质推出，即可求出．【详解】解：∵，∴，∵，，∴．故选：．二、填空题8．（2025·广东·模拟预测）将一副三角板如图所示放置，，若，则的度数为．【答案】/20度【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算，先求出，再根据求解即可．【详解】解：，，，，，故答案为：．9．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：延长交于点，∵，∴，∵是的一个外角，∴，故选：．10．（2024·广东佛山·一模）如图所示为正方体的三个顶点，则的度数为．【答案】/60度【分析】根据正方体各面对角线相等，得到，根据等边三角形的性质与判定，即可求解；本题考查了正方体的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．【详解】解：∵为正方体的三个顶点，∴、、是正方体一个面的对角线，∴，∴是等边三角形，∴，故答案为：．11．（2023·广东广州·一模）直线，线段分别与，交于点，，过点作，交直线于点，的平分线交直线于点．若，则的度数是．【答案】【分析】由垂直关系及可求得的度数，由平行线的性质可求得的度数，由角平分线的定义求得的度数，再由平行线的性质即可求得的度数．【详解】解：∵，，∴；∵，∴，∴；∵平分，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，互余关系，角平分线的定义等知识，其中平行线性质的掌握是解题的关键．12．（2024·广东汕尾·二模）如图1，小言用七巧板拼了一个对角线长为6的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形（如图2所示），则矩形的对角线长为．【答案】【分析】本题考查了用七巧板拼图形，勾股定理，解题的关键是找到边长之间的等量关系，长方形的长等于正方形的对角线，长方形的宽是正方形对角线的一半，根据勾股定理，即可求解，【详解】解：由图像可知，长方形的长等于正方形的对角线为6，长方形的宽是正方形对角线的一半为3，根据勾股定理可得：，故答案为：．三、解答题13．（2024·广东·模拟预测）如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线，交于点E，交于点F．试判断四边形的形状，并给出证明．

【答案】四边形是菱形，证明见解析【分析】本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据菱形的判定即可得．【详解】解：四边形是菱形，证明如下：∵，∴四边形是平行四边形，∵是的角平分线，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四边形是菱形．14．（2024·广东广州·三模）如图，点在直线上，，且，求证：．【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由可得，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】证明：∵点在直线上，，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴．15．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点．(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接