2025版高考数学一轮复习课后限时集训37空间几何体的三视图和直观图表面积与体积理含解析新人教A版

PAGE3-课后限时集训(三十七)空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2024·合肥二模)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()ABCDC[过点E，F，G截正方体的平面为如图所示的平面EFKGHI，由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C选项，故选C.]2．(2024·山西六校联考)如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9cm，高为36cm.玻璃杯内水深为33cm，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭．假如不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为()A．900πcm2 B．450πcm2C．800πcm2 D．400πcm2A[由题意，知球嵌入玻璃杯的高度h＝36－33＝3cm.设球的半径为R，则有R2＝92＋(R－3)2，解得R＝15cm，所以该球的表面积S＝4πR2＝900πcm2，故选A.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为()A．1＋eq\r(2) B．1＋2eq\r(2)C．2＋eq\r(2) D．2＋2eq\r(2)C[由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2×eq\f(1,2)×1×1＋2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×1＝2＋eq\r(2)，故选C.]4．(2024·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为eq\r(3)，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A.eq\f(8,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．32πB[设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π，故选B.]5．(2024·郑州模拟)已知点P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，点B在AC上的射影为D，则三棱锥P­ABD体积的最大值是()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(3\r(3),8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),4)B[设点P在平面ABC上的射影为G，如图，由PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，知点P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC的中点．设球的球心为O，连接PG，则O在PG的延长线上．连接OB，BG，设PG＝h，则OG＝2－h，所以OB2－OG2＝PB2－PG2，即4－(2－h)2＝4－h2，解得h＝1，则AG＝CG＝eq\r(3).设AD＝x，则GD＝x－AG＝x－eq\r(3)，BG＝eq\r(3)，所以BD＝eq\r(BG2－GD2)＝eq\r(－x2＋2\r(3)x)，所以S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BD＝eq\f(1,2)eq\r(－x4＋2\r(3)x3).令f(x)＝－x4＋2eq\r(3)x3，则f′(x)＝－4x3＋6eq\r(3)x2.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(3\r(3),2)，易知当x＝eq\f(3\r(3),2)时，函数f(x)取得最大值eq\f(243,16)，所以(S△ABD)max＝eq\f(1,2)×eq\f(9\r(3),4)＝eq\f(9\r(3),8).又PG＝1，所以三棱锥P­ABD体积的最大值为eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),8)×1＝eq\f(3\r(3),8)，故选B.]二、填空题6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．2＋eq\f(\r(2),2)[如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.图1图2在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可还原原图形如图2.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).]7.(2024·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其全部面的中心为顶点的多面体的体积为________．eq\f(4,3)[正方体的棱长为2，以其全部面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的全部棱长都是eq\r(2)，则该正八面体的体积为eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×2＝eq\f(4,3).]8．(2024·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S­ABC的全部顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．36π[如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S­ABC的体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]三、解答题9．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eq\r(15)，求这个三棱锥的体积．[解]正三棱锥S­ABC如图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于点E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3)，∴AH＝eq\f(2,3)AE＝2eq\r(3).在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝9eq\r(3).在Rt△SHA中，SA＝eq\r(15)，AH＝2eq\r(3)，∴SH＝eq\r(SA2－AH2)＝eq\r(15－12)＝eq\r(3)，∴V正三棱锥＝eq\f(1,3)S△ABC·SH＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×eq\r(3)＝9.10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.[解](1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).B组实力提升1．(2024·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4C[将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，简单求得PC＝3，CD＝eq\r(5)，PD＝2eq\r(2)，故△PCD不是直角三角形，故选C.]2.(2024·湖北联考)一个帐篷下部的形态是高为2m的正六棱柱，上部的形态是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点D究竟面中心O1的距离为________时，帐篷的体积最大．eq\r(7)m[设DO1为x米，(2＜x＜5)则由题意可得正六棱锥底面边长为：eq\r(9－x－22)＝eq\r(5＋4x－x2)m，于是底面正六边形的面积为6×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(5＋4x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(5＋4x－x2)，所以帐篷的体积为V(x)＝eq\f(3\r(3),2)(5＋4x－x2)×2＋eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(5＋4x－x2)(x－2)＝eq\f(3\r(3),2)(5＋4x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,3)x－2))＝eq\f(\r(3),2)(5＋4x－x2)(x＋4)，所以V′(x)＝eq\f(\r(3),2)(21－3x2)，可得当2＜x＜eq\r(7)时，V′(x)＞0，则函数V(x)单调递增；当eq\r(7)＜x＜5时，V′(x)＜0，则函数V(x)单调递减，所以当x＝eq\r(7)时，V(x)取得最大值．]3.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD＋DC1最小时，三棱锥D­ABC1的体积为________．eq\f(1,3)[将直三棱柱ABC­A1B1C1的两侧面绽开成矩形ACC1A1，如图，连接AC1，交BB1于D，此时AD＋DC1最小．∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，∴当AD＋DC1最小时，BD＝1，此时三棱锥D­ABC1的体积为VD­ABC1＝VC1­ABD＝eq\f(1,3)·S△ABD·B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BD·B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).]4.(2024·沈阳质检)在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1­ABC的体积．[解](1)证明：因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平