2024年春八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形知能演练提升新版新人教版

PAGEPAGE818.2.3正方形知能演练提升实力提升1.四个角相等,四条边也相等的四边形肯定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形2.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为()A.8 B.10C.217 D.823.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是()A.①② B.②③C.①③ D.②④4.如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形对角线的交点,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为()A.14cm2 B.n4C.n-14cm2 D.5.矩形各内角平分线若能围成一个四边形,则这个四边形肯定是.

★6.以边长为2的正方形的对角线的交点O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A,B两点,则线段AB的最小值是.

7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AM⊥DF.8.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.9.已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC,BD相交于点O,P是射线AB上随意一点,过点P分别作直线AC,BD的垂线PE,PF,垂足为E,F.(1)如图①,当点P在线段AB上时,求PE+PF的值;(2)如图②,当点P在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.图①图②★10.如图,在边长为5的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,DC边上的点,且AE⊥EF,BE=2.(1)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图),试推断AE与EP的大小关系,并说明理由;(2)在AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请赐予证明;若不存在,请说明理由.创新应用11.如图①,在正方形ABCD中,P是BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F.图①图②(1)证明:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,摸索究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.参考答案实力提升1.A四个角相等的四边形是矩形,四条边相等的四边形是菱形,既是菱形又是矩形的四边形肯定是正方形,故选A.2.B连接BM交AC于点N(图略),此时DN+MN有最小值,且DN+MN=BM=BC2+3.B4.C5.正方形6.2如图,∵四边形CDEF是正方形,∴∠OCD=∠ODB=45°,∠COD=90°,OC=OD.∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠COA+∠AOD=90°,∠AOD+∠DOB=90°,∴∠COA=∠DOB.∵在△COA和△DOB中,∠∴△COA≌△DOB,∴OA=OB.∵∠AOB=90°,∴△AOB是等腰直角三角形,由勾股定理,得AB=OA2+OB2=2OA,要使AB最小,只要OA取最小值即可,依据∵O是正方形CDEF的对角线的交点,且正方形边长为2,∴OA=12CD=1,即AB=27.证明在正方形ABCD中,AO=DO=OC,AC⊥BD,∴∠AOE=∠DOF=90°,∠OAE+∠AEO=90°.又DE=CF,∴OE=OF,∴△AOE≌△DOF.∴∠AEO=∠DFO,∠OAE+∠DFO=90°.∴∠AMF=90°,∴AM⊥DF.8.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.又△ACE是等边三角形,∴EO⊥AC,即DB⊥AC.∴▱ABCD是菱形.(2)∵△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°.∵EO⊥AC,∴∠AEO=12∠AEC=30°∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°.∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.∵四边形ABCD是菱形,又∠ADC=2∠ADO=90°.∴四边形ABCD是正方形.9.解(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF∥AC.同理PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.又∠PBF=45°,∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB.在Rt△OBC中,OB2+OC2=BC2,∴2OB2=a2.∴OB=22即PE+PF=22(2)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF∥AC.同理PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形,∴PE=OF.又∠PBF=45°,∴PF=BF.∴PE-PF=OF-BF=OB.由(1)得OB=22∴PE-PF=2210.解(1)AE=EP.理由:在AB上取一点G,使BG=BE,连接GE,∵AB=BC,∴AG=EC.∵AE⊥EF,∴∠2+∠3=90°.∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠BCD=90°.∴∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2.又∠AGE=∠ECP=135°,∴△AGE≌△ECP.∴AE=EP.(2)在AB边上存在一点M,使四边形DMEP是平行四边形.证明过程如下:在AB边上取一点M,使AM=BE,连接ME,MD,DP.在正方形ABCD中,AD=BA,∠DAM=∠ABE=90°,∴Rt△DAM≌Rt△ABE.∴DM=AE,∠1=∠4.∴DM=EP.∵∠1+∠5=90°,∴∠4+∠5=90°.∴AE⊥DM.∵AE⊥EP,∴DM∥EP.∴四边形DMEP为平行四边形.创新应用11.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.∵DP=DP,∴△ADP≌△CDP.∴PA=PC.又PA=PE,∴PC=PE.(2)解∵△ADP≌△CDP,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴∠DAP=∠E.∴∠FCP=∠E.∵∠PFC=∠DFE