2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题练习新人教A版选修2-1

PAGEPAGE11.1.1命题[A基础达标]1．下列语句中，不能成为命题的是()A．5＞12B．x＞0C．已知a、b是平面对量，若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点解析：选B．A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法推断真假，故不是命题．2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“标准大气压下，100℃时水沸腾”不是命题C．命题“对角线相互垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：选D．对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D．3．命题“平行四边形的对角线既相互平分，也相互垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线相互平分B．这个四边形的对角线相互垂直C．这个四边形的对角线既相互平分，也相互垂直D．这个四边形是平行四边形解析：选C．把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．4．下列命题中真命题的个数为()①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线相互垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A．①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等不肯定相互垂直．5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：选C．方程无实数根时，应满意Δ＝a2－4<0，故当a＝0时符合条件．6．(2024·上海普陀高二(上)调研试卷)已知命题“函数f(x)＝cos2ωx－sin2ωx的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________．解析：依题意，得f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＝cos2ωx，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2π,2ω)))＝π，解得ω＝±1．答案：±17．把命题“末位数字是4的整数肯定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________________________________________．答案：若一个整数的末位数字是4，则它肯定能被2整除8．给出下列命题：①在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；④若将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，则得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象．其中真命题的序号是________．解析：①在△ABC中，A＞B⇒a＞b⇒sinA＞sin B．正确．②③易知正确．④将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的图象．答案：①②③9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除．解：(1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．(1)当m＞eq\f(1,4)时，方程mx2－x＋1＝0无实根；(2)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．解：(1)若m＞eq\f(1,4)，则方程mx2－x＋1＝0无实根．真命题．(2)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0．真命题．[B实力提升]11．对于随意实数a，b，c，d，有下列命题：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；④若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A．当c＜0时，①错误；ac2＞bc2，明显c2＞0，因此②正确；当a＞0＞b时，③错误；当a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2时，明显④错误，故选A．12．给出如下三个命题：①设a，b∈R，且ab≠0，若eq\f(a,b)＜1，则eq\f(b,a)＞1；②若四个非零实数a，b，c，d依次不成等比数列，则ad≠bc；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()A．①②③ B．①②C．②③ D．①③解析：选B．①举反例，eq\f(a,b)＝－1＜1，但eq\f(b,a)＝－1＜1，①是假命题；②考虑其逆否命题，即若四个非零实数a，b，c，d满意ad＝bc，则a，b，c，d依次成等比数列．举反例：a＝1，b＝2，c＝8，d＝16，说明此命题是假命题，②是假命题；③f(|x|)＝log2|x|，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(|－x|)＝log2|－x|＝f(|x|)，故f(|x|)是偶函数，③是真命题．13．推断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．解：这是一个可以推断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题，理由如下：函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．14．(选做题)(1)已知“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满意的条件；(2)已知命题“若x1<x2<0，则eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)”是假命题，求a满意的条件．解：(1)因为ax2＋bx＋1＝0有解，所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，方程有解x＝－eq\f(1,b)．当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b2－4a≥0．综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0