平方根教学设计

8.1平方根（第一课时)【教材分析】平方根是认识无理数的开端数系，是人教版七年级下册第八章《实数》第一节的内容。开平方运算是基于学生在已经掌握了加、减、乘、除、乘方几种运算的基础上又生长出的一种新运算。作为一节重要的基础概念课，平方根能让学生感受数系的发展、运算体系的完备，为以后学习其它方根和运算打下基础，也为后续解高次方程提供思路。【教学重难点】理解平方与开平方运算互为逆运算、平方根的符号表达.【学情分析】七年级学生已经具备数与代数的相关知识基础，并且上学期已在有理数范围内学习过四则运算和乘方运算，有一定的知识储备。同时具有强烈的好奇心和学习热情，但是抽象意识淡薄，所以本节课应从整体把握教学内容，注重知识的系统性，了解知识的产生和来源，从学生的已有知识经验出发，类比学习新知，使学生经历层次清晰的完整的抽象过程.【学习目标】经历已知一个数的平方，求这个数的逆向思维的求解过程，能抽象平方根的定义，会用根号表示一个数的平方根，发展符号意识；能根据开平方与平方互为逆运算的关系，求一个完全平方数的平方根，发展运算能力和应用意识；能通过实例归纳平方根的性质，体会从特殊到一般的思想.【教学思路】本节课牢牢抓住平方运算与开平方运算互为逆运算的关系，并以此作为学生学习新知的生长点，类比加减、乘除分别互为逆运算提出问题：乘方是否也有逆运算？从而唤醒学生学习经验，实现知识有序生长。通过具体例子，在“从特殊到一般”思想的指引下，学生在教师引导下归纳出平方根的定义、性质。关于平方根的符号表达较抽象是本节课的难点，通过面积为2的正方形求其边长的实际问题，揭示认知困境，让学生体会到引入新符号的必要性与合理性；通过“根号的演变”，渗透数学历史文化，增加了课程的人文性和趣味性，让学生更好的理解数学符号，会用数学的语言表达现实世界.【教学过程】环节一：梳理回顾子问题1：新运算的引入问题情境1.1：从小学到现在我们学习了很多数，上初中后，我们引入了什么数？是因为什么需要？所以数的范围扩充到了有理数，关于有理数，学习了哪些知识？解决策略：学生回顾知识说出上初中后引入了负数，教师通过举例引导提示学生因为实际需要及运算需要引入负数，让学生体会数系的扩充。学生通过回顾有理数相关知识切入本章学习，厘清了前后知识的脉络联系。问题情境1.2：关于有理数的运算，我们学习了哪几种？根据学习经验乘方运算有逆运算吗?解决策略：学生回顾已学过的加、减、乘、除、乘方运算，感受新运算的存在，体会运算体系的完备是“情理之中”。问题情境1.3：根据学习经验，运算学什么?解决策略：通过问题唤醒学生学习经验，教师点拨，引导学生类比已学运算说出新运算研究的路径是：定义、符号、性质、应用。环节二：概念生成子问题2：开平方、平方根的定义问题情境2.1：什么是平方运算？3?放在实际情境中可以解决什么问题？解决策略：学生思考问题并回答，平方运算是求几个相同因数的积，放在实际情境中可解决已知正方形的边长求面积的问题。通过梳理平方运算的算理和应用为开平方运算的合理得出做准备。问题情境2.2：以32为例，平方运算是已知底数、指数求幂，那么平方运算的逆运算是已知什么求什么？可以解决什么实际问题？这样的运算叫什么运算？结果叫什么？解决策略：学生类比加法与减法、乘法与除法的关系，借鉴平方运算的应用得出逆运算可以解决已知正方形的面积求边长的问题，进行思考：？2=9？从而得出：平方运算的逆运算是已知幂、指数，反过来求底数，学生在这个过程中体会到学习平方逆运算的必要性与合理性。教师引导并指出这样的逆运算叫开平方运算，结果叫平方根，揭示课题平方根。问题情境2.3：像这样的例子很多，例如：？2=36，谁叫36的平方根？或36的平方根是谁?？2”=1，？2=425”解决策略：学生口答，教师引导。让学生在解决问题的过程中感受平方运算的逆运算其结果有两个，进而对平方根有一定的感性认识，为归纳平方根的概念做铺垫。问题情境2.4：通过以上具体例子，你能尝试给平方根下个定义吗?解决策略：学生思考并分享。教师引导学生结合上述实例归纳平方根的概念，并在学生总结不到位时加以修正。如果x2=a,那么x叫a的平方根；求一个数平方根的运算叫开平方运算。让学生体会通过观察、归纳发现一般结论的方法。环节三：性质归纳子问题3：平方根的性质问题情境3.1：知道了开平方运算与平方运算互为逆运算，下面我们从具体例子出发归纳平方根的性质，你能根据定义求出下列各数的平方根吗?解决策略：出示例1：求出下列各数的平方根。(1)64;(2）m；(3)0.01;(4)0;教师引导学生从开平方运算与平方运算互为逆运算的角度解题，并规范书写格式。接着教师让学生说出一个自己喜欢的数，请同桌算出它的平方根，再次巩固开平方运算，为接下来归纳平方根的性质提供实例。值得一提的是如果学生喜欢的数不是完全平方数，那么为接下来平方根的符号表达提供了问题素材。问题情境3.2：观察上述例子的共性，你能得出哪些结论？解决策略：学生独立思考，归纳共性，师生共同总结得出：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的相反数是0。问题情境3.3：还有哪些数的平方根问题没有研究？你还能想到什么问题？有什么结论?解决策略：学生在问题的引导下独立思考，提出负数的平方根问题，教师引导学生根据平方运算、平方根的定义得出：在所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根。通过问题串引导学生发现和提出问题，培养学生的代数推理能力和归纳能力。环节四：符号表达子问题4：开平方运算用符号如何表达？问题情境4.1：面积为2的正方形边长是多少？解决策略：教师出示面积为2的网格正方形，学生思考边长为多少？很显然，没有哪个有理数的平方是2，所以学生难住了。教师根据学生的认知困境，结合学生的回答，提出可以用符号来刻画这一结论，学生体会到引入符号的必要性，发展了符号意识。问题情境4.2：2的平方根应该怎样表示?解决策略：教师出示并讲解“根号”的演变：古埃及人用记号“”表示平方根；印度人在开平方时，在数字前面写上“ka”;1840年后，德国人用一个“。”表示平方根；1525年，德国数学家鲁道夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写√4是2，√9是3，但是这种写法未得到普遍的认可与采纳；经过一代代数学家的努力，直到十七世纪，法国数学家笛卡尔使用了一种符号一根号”√”，得到了普遍认可，并沿用至今。结合资料教师指出：一种符号的普遍采用不是某一个人凭空臆造出来的，是数学家们集体智慧的结晶。教师讲解“2”的平方根的表示方法：土√/2，土代表一个正数有两个平方根，左上角的2代表根指数，根指数是2的时候可以省略，根号下的2表示被开方数，同时强调根号也是运算符号，表示进行开平方运算。问题情境4.3：任意一个数的平方根如何表示？解决策略：学生回答，教师引导并板书：+√a表示数a的正平方根，一√a表示数a的负平方根，合起来士√a表示数a的平方根。教师追问：a可以取任意数吗？学生根据平方根的性质说出平方根的表示需要有附加条件：a≥0。由于符号表达抽象，教师设计如下表格来巩固学习成果，由学生思考后回答。算式±√49-√0.81√表示意义计算结果环节五：学以致用子问题5：开平方运算的应用问题情境5.1：例2：下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.(1)1.21(2)-5(3)(-4)²（4）1解决策略：（1）教师示范引领，（2）（3）（4）学生板演，要求学生用数学符号表达。教师追问：通过以上例子，如何求一个数的平方根？学生小组讨论并回答，教师总结三步计算法，第一步：查户口（判断数的类型，该化简的化简，该计算的计算）；第二步：找朋友（记住常用数的根）；第三步：验身份（反向验证答案）。通过三步法生动形象阐释了如何求一个数的平方根，深化了学生对平方根概念的理解，同时规范了求解平方根的书写格式。问题情境5.2：例3：求下列式子中x的值.(1)x2=81(2)(2x-1)2=81解决策略：学生利用平方根的概念尝试求解，并在全班分享。教师追问：换个角度观察有没有新的发现？引导学生说出这是一个一元二次方程。教师点拨：刚才寻找平方根的过程，就是求x的值，相当于解方程，利用开平方运算可解形如x2=a（a≥0）的方程。(1)和（2）有一定关系，均是“？2=25”模型，“?”可以是字母，也可以是含x的多项式，可以进行很多变式，模型观念渗透其中。本例题让学生感受到开平方运算的降次功能，感受到知识从哪里来还知道了知识要到哪儿去。环节六：课堂小结子问题6：本节课我们学习了什么知识？我们是如何研究平方根的？你认为接下来可以研究什么问题？解决策略：教师提出问题，学生回顾分享。教师总结并呈现本节课学习的知识、研究方法路径及接下来要研究的内容。环节七：作业布置1.课本第46-47页习题8.1第1、6题;2.课下查阅数学史，了解数的发展历程；3.带着下列问题阅读课本第48-49页内容，并试着给出解答：（1）什么是立方根？（2）请尝试规划研究“立方根”的路径.【课后反思】本节课在充分了解学生学情的基础上，通过梳理回顾，让学生感受到数域的扩充与运算的扩展。在探究平方运算的逆运算时，类比加减、乘除分别互为逆运算的算理，由学生发现、提出逆运算是已知幂、指数反过来求底数。同时借助逆运算的实际应用让学生感受到学习新知的必要性。对于一种新的运算，研究的路径一般是定义、表示、性质、应用，因为符号较抽象，担心学生“只能会形，不能会意”，所以采用了新教材的“延迟符号化”策略：先性质后符号。事实证明是正确的，学生在充分理解掌握平方根的定义之后，“根号的演变”帮助学生很好的理解掌握了根号。在开平方运算的应用上，设置了两道例题，第一道要求会求一个数的平方根，并会用数学符号表达，是基础；第二道拓展题，会用开平方运算求形如“x2=a