利用导数解决实际问题（教学设计）

山顶的每秒风景,属于不断付出与攀登的人.《利用导数解决实际问题》教学设计漯河市第四高级中学数学组：王晴【内容解析及学情分析】本节内容选自《选择性必修第二册》人教A版，第五章第3节《导数在研究函数中的应用》第3课时，本节是在学生理解了导数的概念，掌握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质（单调性、极值、最值），进而解决一些实际问题.通过对现实中最优化问题的合理抽象、恰当建模，准确求解，综合反馈加深学生对所学导数知识的理解,提高学生利用所学知识解决实际问题的能力.【教学目标】1、知识目标：掌握导数在优化问题（如最小成本，最大利润等）中的应用方法;理解导数与实际问题中变量变化率的关系2、能力目标：能够将实际问题转化为数学模型，并利用导数求解最优解.培养分析问题、建立函数关系的能力.3、情感目标：通过实际案例，感受数学的实用性，增强学习兴趣.【教学重难点】重点：建立实际问题与导数的联系，求函数极值、最值的方法.难点：将实际问题抽象为数学模型，确定变量与约束条件.【教学过程】知识梳理(自主学习）1．函数图象的画法函数的图象直观地反映了函数的性质．通常按如下步骤画出函数的图象：（1）求出函数的______；（2）求导数及函数的____；（3）用的零点将的定义域划分成若干个区间，列表或作图得出在各区间上的____，并得出的______与____；（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的________；（5）画出的大致图象．2.一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在区间上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________.问题引入【生活中的问题】饮料瓶大小对饮料公司利润的影响.（课本96页）（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些?

你想从数学上知道它的道理吗?（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大?典例分析例1.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8分，其中(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大?（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?例2.请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE=FB=(cm).某厂商要求包装盒的容积V()最大，试问应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.(合作探究，教师展评）设计意图：通过这两道与我们生活中密切相关的两道题，让学生知道如何解决优化问题，首先用函数表示数学问题，用导数解决数学问题，进而得到优化问题的答案.当堂检测(目标检测，结果反馈）1.某公司有50套公寓要出租,当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加50元,就会多一套租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元维修费,则租金定为元时可获得最大收入.2．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为千米/时()．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度应为多少？反思感悟：解决最优问题应从以下几个方面入手.（1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域．（2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.六、作业布置1、完成课本第98页7、8、9、10、11．2、阅读课本第101页《微积分的创立与发展》思政引领：选取最优解实际上就是利用最少的资源办最大的事情，希望同学们