北京市怀柔区2024-2025学年高二年级上册期末质量检测数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

怀柔区2024〜2025学年度第一学期高二质量检测

数学

注意事项：

1.考生要认真填写姓名和考号.

2.本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分.考试时间120分钟.

3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效.第一部分必须用

2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.

4.考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回.

第一部分选择题（共40分）

一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项.）

1.已知直线的倾斜角为60°,且过点尸（°」）,

则直线的方程为（）

V3口6、

AA.y=——X-l1B.y=——X+1C.y=V3x—1D.y=V3x+1

33

2.抛物线一二4天的焦点到准线的距离为（)

A.1B.2C.4D.8

3.已知等比数列{4},%=1,%=-8,则公比q等于（）

11

A----B.—C.-2D.2

■22

4.若直线x+.v-a=0是圆/+^2一2%+6了+1=0的一条对称轴，则。值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

5.若直线4x+2y—1=0与直线4x+机y=0平行，则两平行线间的距离（）

26B3加

~5~'To-

6.已知直线4的一个方向向量为3=（-2,1,3）,直线的一个方向向量为碗=（2,-1,7）,若4〃，2,贝1

值为（）

c53

A.-3B.1C.-D.-

35

7.双曲线C：工-二=1的右焦点厂到其渐近线的距离为（）

169

「4Sn35

-------------L/.------------

55

8.“0<%<2”是“方程工+T—=1表示焦点在x轴上的双曲线”的（）

mm-4

A,充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.金刚石是天然存在的最硬的物质，这是因为金刚石的碳原子在空间中的排列方式决定的.如图1,组成金

刚石的每一个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为

4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原

子距离都相等的位置，如图2所示.即图2中ZE==CE=,则NBEC的余弦值为（)

10.已知数列｛%｝的通项公式%="—2劭，则根据下列说法选出正确答案是（）

①若。=一』，贝।数歹u工]的前〃项和凡=i--—；

2[%J72+1

②若。=；,数列｛4｝的前〃项和为4,则7；是递增数列;

③若数列｛%｝是递增数列，则

A.①②B.②③C,①③D.①②③

第二部分非选择题（共110分）

二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分.）

11.以点/（2,1）为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为.

12.已知等差数列｛%｝的前〃项和为,，若4=—3,%+%=-3,则。“=；S”的最小值为

13.若双曲线的离心率为近，写出一个满足条件的双曲线方程.

2

14.已知椭圆E：(+/=1的左右焦点分别是乙，库点尸在椭圆上，贝“尸国+|尸周=；若

两•再40,则点尸的横坐标的取值范围是.

15.边长为1的正方体4BCD—4名G2中，E,F,G分别为CQ,4G的中点，〃为正方体

内的一个动点(包含边界)，且满足5H=1,则下列选项中所有正确结论的序号是.

①线段BH与GF无交点;

②平面EEG截正方体所得到的截面图形面积为土；

4

71

③直线BH与平面EFG所成角为一；

3

④在平面EFG上存在点H,使得BH_L平面EFG.

三、解答题(共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)

16.已知圆C：X2+(J-2)2=4,直线/：x+y—1=0.

(1)求过圆心且与直线/垂直的直线方程；

(2)直线/与圆C交于A,3两点，求V48C的面积.

17.如图，已知正方体48c。一边长为2.

(1)证明：BDI4C；

(2)求二面角4一8。—C的余弦值.

18.己知等差数列｛%｝的前〃项和为耳，且％+%=12,£=25.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)数列但｝的前"项和为?；，且满足4=2%,从下列三个条件中任选一个作为己知，求数列｛a｝的

通项公式及数列｛%+〃｝的前〃项和K”.

条件①“+1=3”；

条件②｛4｝的前"项和为Tn=3--1;

条件③log3g=4

19.己知抛物线C：/=2夕%(夕>0)的焦点为尸，且经过点M。,—2).

(1)求抛物线C的标准方程、焦点/坐标及准线方程；

(2)抛物线C上一点N,若|NF|=6,求N点的坐标；

(3)直线/：》=叼+1与抛物线C交于A、3两点，若4力台。(。为坐标原点)的面积为4,求加值.

20.如图，在四棱锥P—48”中，平面尸DC,平面48CQ,BC1DC,AB//DC,E为P4中点，

PD=DC=BC-1,PC=V2>AB=2.

p

C

B

（1）求证：。£//平面PBC；

（2）求直线Z）E与平面尸48所成角的正弦值；

（3）在线段DP上是否存在点。，使得P5//平面NC。，若存在，求出器的值；若不存在，请说明理

由.

22

21.已知椭圆E：三+2=1（4〉6〉0），左右焦点为片，F],上顶点为A,△/大巴为正三角形，点

在椭圆上，过片（与x轴不重合）的直线与椭圆£交于M,N两点.

（1）求椭圆E的方程及离心率;

（2）在无轴上是否存在定点尸（与大不重合），使得点大到直线尸N的距离总相等，若存在，求

出点P坐标；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项.）

1.已知直线的倾斜角为60°,且过点尸（°」），则直线的方程为（）

A.y=--x-1B.y—+1c.y=V3x—1D.y=V3x+1

【答案】D

【解析】

【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.

【详解】因为直线的倾斜角为60°,所以直线的斜率左=tan60。=0,

又直线过点尸（0,1）,所以直线的方程为y=A+l.

故选：D

2.抛物线炉=4y的焦点到准线的距离为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线方程得到。值，则得到焦点到准线的距离.

【详解】2/?=4,p=2,所以焦点到准线的距离为2.

故选：B.

3.已知等比数列{。“},%=1,%=-8,则公比4等于（）

11

A.——B.-C.-2D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式计算可得.

【详解】因为q=1,%=-8,所以［'幺二一8,解得q=-2.

%

故选：C

4.若直线x+y-a=O是圆V+y?—2x+6y+l=0的一条对称轴，则。值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【解析】

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，根据圆心在直线上求出参数的值.

【详解】圆f+j?—2x+6y+l=0,即（x—l『+（y+3）2=9,

所以圆心坐标为（L-3）,依题意直线x+y-a=0过点（1,-3）,

所以1—3—a=0,解得a=—2.

故选：A

5.若直线4x+2y—1=0与直线4%+叩=0平行，则两平行线间的距离（）

,2V5口36「石

510510

【答案】D

【解析】

【分析】由直线平行关系求加，根据平行直线距离公式求结论.

［详解】因为直线4x+2y—1=0与直线4x+机了=0平行，

所以4x加=2x4,

所以加=2,

此时两直线方程为4x+2y—l=0,4x+2j=0,两直线平行，

直线4x+2y—1=0与直线4x+2y=0的距离为上上1=立.

V?TFio

故选：D.

6.已知直线4的一个方向向量为3=（—2,1,3）,直线4的一个方向向量为蔡=（2,-11）,若Mk，则/

值为（）

c53

A.-3B.1C.-D.-

35

【答案】A

【解析】

【分析】由己知可得比//万，设施=4方，列方程求才.

【详解】因为直线4的一个方向向量为为=（一2,1,3）,直线4的一个方向向量为比=（2,-1,。，乙〃/2,

所以成//万，设应=4为，

则2=—24,—]=X"=3X,

所以2=—1,t=—3.

故选：A.

22

7.双曲线C：土—2=1的右焦点厂到其渐近线的距离为（

169

C4g

A.4B.3

55

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出右焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算可得.

【详解】双曲线C：]—。=1的右焦点厂（5,0）,

3

渐近线方程为y=±WX，即3x±4y=0,

|3x5l

所以右焦点F到其渐近线的距离d=~^==3.

故选：B

22

8.“0<〃?<2”是“方程上+T—=1表示焦点在无轴上的双曲线”的（）

……2A

A,充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

22

【分析】求“方程土+口^=1表示焦点在X轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结

……2A

论.

22{m>0

【详解】“方程x土+^v^=1表示焦点在X轴上的双曲线”等价于2,c，

mm2-4

即0<加<2,

22

所以“0〈加<2”是“方程上+1^=1表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件.

……2A

故选：C.

9.金刚石是天然存在的最硬的物质，这是因为金刚石的碳原子在空间中的排列方式决定的.如图1,组成金

刚石的每一个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为

4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原

子距离都相等的位置，如图2所示.即图2中Z£=8£=C£=D£,则的余弦值为（）

A

图1

1321

A.——B.——C.——D.—

161693

【答案】D

【解析】

【分析】将正三棱锥放入正方体中,利用余弦定理计算即可.

【详解】将正三棱锥N-BCD放入正方体中,由题意E为正方体中心,如图,

设正方体棱长为。，则£8=EC=Ja，BC=6a，

2

3222

EB2+EC?-BC?_丁+-a-2a1

在中，由余弦定理可得cos/5EC=4

2EB-EC2屋与3

22

故选：D

10.已知数列｛%｝的通项公式4=/—2a〃，则根据下列说法选出正确答案是()

①若a=—L则数列用的前"项和与=1--—；

2Van)〃+1

②若a=万，数列｛。,｝的前〃项和为北，则北是递增数列；

③若数列｛%｝是递增数列，则ae(-co,1].

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】利用裂项相消法求和判断①；根据〃+1—%=an+1=n(n+1)>0判断②；根据an+l>an,即可

得到。<〃+；,从而求出。的取值范围，即可判断③.

_1,1111

【详解】对于①：当。二一一时，％=〃+〃，则J—=1—n=-------

2a”+n〃+1

所以-+—-—H----F-------=1，故①正确；

1223n〃+1〃+1

对于②：当Q=g时，%="一〃—1),

则G九+Q九=(71+1)2—(71+1)—彦+九=2?1>0,所以｛。八｝单调递增，

又7\+1-&=册+1=九(几+1)>0,所以北是递增数列，故②正确；

对于③：若数列｛%｝是单调递增数列，则4+i>%,即(〃+1)2—2。(〃+1)〉/—2。〃，

所以2〃+1>2。，所以。—，

2

一一13(3、

因为〃wN*,所以Q<1+5=5,即故③错误.

故选：A

【点睛】关键点点睛：若数列｛4｝是单调递增数列，则6+1>《，再参变分离，求出参数。的取值范围，

反之，若判断北的单调性，只需作差得到J+1-7；>0即可.

第二部分非选择题(共110分)

二、填空题(共5道小题，每小题5分，共25分.)

11.以点2(2,1)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为.

【答案】(x-2)2+(y-1)2=1

【解析】

【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.

【详解】以点4(2,1)为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1,

故圆的标准方程是(x-2)2+(y-l)2=1.

故答案为：(x-2)2+3-1)2=1

12.已知等差数列｛%｝的前〃项和为，若。2=-3,%+。4=-3,则4；s”的最小值为

【答案】①.n-5##-5+n②.-10

【解析】

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,根据所给条件得到％、d的方程组，解得即可求出通项公式，再根

据求和公式及二次函数的性质计算可得.

2=a1+d=—3%——4

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,贝卜G一力解得《

%+%=2。1+5u——3d=1

所以4=〃-5,所以S"=（4+；_=—9〃）=g

1-7

2

所以当"=4或〃=5时S,取得最小值,且Sn的最小值为54=1（4-9x4）=-10；

故答案为：n—5；—10

13.若双曲线的离心率为近，写出一个满足条件的双曲线方程

【答案】x2-y2=\（答案不唯一，等轴双曲线均符合题意）

【解析】

【分析】本题属于开放性问题，所有等轴双曲线均符合题意.

【详解】因为双曲线的离心率为啦，即e=£1+—y=A/2>所以

aa

故所有等轴双曲线均符合题意，不妨取1一/=1.

故答案为：X2-/=1（答案不唯一，等轴双曲线均符合题意）

2

14.已知椭圆£：/+/=1的左右焦点分别是片，埠点尸在椭圆上，则归国+|”|=：若

PRPFQO,则点尸的横坐标的取值范围是.

V6V6

【答案】①.2。②.HF

【解析】

【分析】由椭圆方程求“c,结合椭圆的定义求I尸团+|尸6I，求点片，鸟的坐标，设尸国,外）,由条

件列方程和不等式，化简求解即可.

【详解】设椭圆,+/=1的长半轴长为。，短半轴长为b,半焦距为C,

则a=V3，b=1,c=V2，

所以片卜血,0）,鸟（、历,0）,

由椭圆的定义可得|尸国+|尸闻=2。=26，

设尸（为,%），则段+y：=i,PFX=（-42-x0,-y^,PF2=（V2-XO,-JO）,

___23

因为所•丽40,所以x；—2+.诏<0,即x：—2+1—&<0，

32

解得一逅Wx〈逅，所以点P的横坐标的取值范围是V6V6

202

故答案为：26；V6y/6

15.边长为1的正方体ABCD-4与。12中，E,F,G分别为AA,,CCi,BtQ的中点，H为正方体

内的一个动点（包含边界），且满足5〃=1,则下列选项中所有正确结论的序号是.

①线段与G尸无交点；

②平面EPG截正方体所得到的截面图形面积为逆；

4

7T

③直线BH与平面EFG所成角为一；

3

④在平面EEG上存在点〃，使得平面EEG.

【答案】①②

【解析】

【分析】求点B到直线GE的距离，结合BH=1,判断命题①，设分别为的中

点，证明E,M,N,乙G,〃'共面，再求六边形瓦团VFG8'面积判断命题②，建立空间直角坐标系，证明

西为平面EEG的法向量，利用向量方法求直线区以与平面EPG所成角，取特殊点判断命题③错误，

假设存在8点满足条件，结合条件推出矛盾，判断命题④，由此可得结论.

【详解】由已知BBi=BC=BlCl=CiC=l,NBCF=ABBfi=90°,

因为尸，G分别为CG，AG的中点，

连接8T，T为GR的中点，则8TLGE,BT=

所以点B到直线GR的距离为逆，又BH=1,

4

所以线段58与G尸无交点，①正确,

连接G8',H'E,EM,MN,NF,",/,N分别为4综2。,。。的中点,

因为/TG//4G，A^J/EF,

所以H'G//EF,所以〃',G,E,厂四点共面，

所以点//'e平面EFG,

因为FNIIC[D,CQIIB、A,B、AI/H'E,

斫以FNIIH'E,尸€平面£/6,H'Eu平面EFG,

所以Ne平面EEG,

同理可证Me平面ENG,

所以E,MN,F,G,〃'共面,

V2

又EM=MN=NF=FG=GH'=H'E

2

6

所以平面MG截正方体所得到的截面图形为正六边形EMM4汨'，且边长为注，

2

所以面EFG截正方体所得到的截面图形面积为6x-x—X—,②正确,

2244

以点B为原点，BA,BC,BBX为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则B(o,o,o),R(1」」)，£「，0,£|，

所以西=(1,1,1),=(-1,1,0),不=1°，)，一£|，

—■—­—■—.11

所以8。］•££=—1+1+0=0,5£>1-GF=0+---=0,

所以西=(1,1,1)为平面EEG的一个法向量，

设X的坐标为(。,仇。)，则5H=(a,"c),

0<a<l,0<Z><l,0<c<l,

因为8H=1,故J/+4+c2=1，

设直线与平面MG所成角为凡则

I——►----d|a+b+c|a+b+c

sin。=bosBH,BDA=」।==「/=

11^a2+b2+c2^a2+b2+c2

5/3V3V3I.AV3

取〃二—,b--,c=—，贝mIsm。=—j=—=1,

333V3xl

JTjr

又0,-,所以6=乙，

L2j2

7T

此时直线58与平面EFG所成角为一，③错误，

2

设平面EFG上存在点H,使得BH±平面EFG,

因为母平面EPG,所以丽//西，

所以（a,4又而涯77=1，

所以a=叵,b=gc

333

所以“浮，

,EH=--—1,

3J3332J

因为平面EEG,

所以可设EH=xEF+yGF

1

所以-X=-l,x+y二9一v

3232-32

J3

所以—组,V|j__j_V3

X=1X+-5V-

3IV2-23

由第一个方程与第三个方程相加可得0引号汉1,与第二个方程矛盾,

3

所以满足条件的点〃不存在，④错误;

故答案为：①②.

三、解答题（共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

16.已知圆C：X2+（J-2）2=4,直线/：x+y-l=O.

（1）求过圆心且与直线/垂直的直线方程；

（2）直线/与圆。交于A,5两点，求V48C的面积.

【答案】（1）x-y+2=Q

(2)T

【解析】

【分析】（1）由圆的方程求圆心坐标，根据直线垂直关系求所求直线的斜率，利用点斜式求直线方程;

（2）求出弦长后利用公式可求面积.

【小问1详解】

圆必+⑪―2『=4的圆心坐标为（0,2）,半径外=2,

直线x+y-l=0的斜率为—1,

与直线/垂直的直线的斜率为1,

所以过圆心且与直线I垂直的直线方程为x-歹+2=0,

【小问2详解】

|0+2-1|_|1|

圆心（0,2）到直线/距离d=

Vi2+i2

所以|48|=21户—屋

1后

所以的面积S=L\AB\d=^.

入ABC2II2

17.如图，己知正方体4BC。—48]G2,边长为2.

（1）证明：BD1AXC；

（2）求二面角4—8。—C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵一走

3

【解析】

【分析】方法「（1）证明NCIAD,AAX±BD,由线面垂直判定定理证明5。工平面，由此证

明结论；

（2）证明N4。。为二面角4-AD-C的平面角，解三角形求其余弦值；

方法二：（1）建立空间直角坐标系，求直线8。,4c的方向向量，利用向量方法证明两直线垂直；

（2）求平面BCD,48。的法向量，求两向量的夹角余弦，结合图形确定二面角4-AD-C的余弦值.

【小问1详解】

方法一：连接NC,设NCn8Q=。，在正方形4BCD中，AC1BD,

在正方体ABCD-481GA中，平面ABCD,且RDu平面ABCD

AA1±BD,

♦.•幺4（=平面2/。，ZCu平面N/C,且幺40幺。=幺，

.•.80人平面4幺。，又&Cu平面Z/C

BD14c

方法二：在正方体45CQ—481GA中，DD11AD,DDl1DC,ADVDC.

以点。为原点，方Z反,西为x,y,2轴正方向建立空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,4（2,0,0）,4（2,0,2）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,

.•.丽=（2,2,0）,布=（—2,2,—2）,

vD5-4C=（2,2,0）-（-2,2,-2）=-4+4+0=0,

【小问2详解】

方法一：连接4。,

•.•△5。中，BC=DC,。为AD的中点,

COA.BD,

在正方体ABCD—4AGA,4。=&B,

在小A、BD中4。±BD,

所以ZA.OC即为二面角的平面角,

•.•在△ZQC中，OC=a，AQ=5AXC=273

222

Afl+OC-AxC_V3

由余弦定理可cosZA^C=

2400c—T

二面角A.-BD-C的余弦值一巨

3

方法二：平面BCDLz轴，所以点=（0,0,1）为平面8c。的一个法向量,

设平面4台。的法向量〃2=（x/，2）

因为丽=（2,0,2）,丽=（2,2,0）

-n2=2x+2z=0

n2=2x+2y=0

令ex=l,则y=-l,z=-l,

所以%=（1,—1,-1）为平面48。的一个法向量，

观察图形可得二面角A1-BD-C的平面角为钝角，

所以二面角A「BD—C的余弦值一立.

3

18.已知等差数列｛%｝的前〃项和为耳，且%+%=12,艮=25.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）数列也｝的前"项和为北，且满足4=2%,从下列三个条件中任选一个作为己知，求数列｛4｝的

通项公式及数列｛4+bn｝的前"项和K".

条件①4+1=34；

条件②｛4｝的前〃项和为（=3--1；

条件③log3-^=a„-n.

【答案】(1)an=2n-l

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)设数列｛4｝的公差为d,结合等差数列的通项公式和求和公式将条件转化为的方程，解

方程求再求结论，

(2)选①，根据等比数列定义证明｛4｝为等比数列，结合等比数列通项公式求”,利用分组求和法结合等

比数列求和公式等差数列求和公式求结论；

选②，由北与”的关系，求乙，利用分组求和法结合等比数列求和公式等差数列求和公式求结论；

选③，由(1)结合关系log3，=。，-"求数列｛4｝的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式

等差数列求和公式求结论；

【小问1详解】

设数列｛%｝的公差为d，

因为%+。4=12,85=25,

E+%=2%+5(7=12

所以1软，

—5%+1Oci—25

=1,d=2,

an=2«-1；

【小问2详解】

由(1),4=24=2,

选条件①，；4+1=3b”,4=2,

所以2包=3,

所以数列也“｝是以2为首项，3为公比的等比数歹

.•也=2x3'i,

n

数列｛%+4｝的前项和Kn=%+4+%+旬+/+63T--卜勺+“

—(%+出+“3'------卜4)+('1+，2+'3'--------卜)

_(l+2I)〃2(1-3W)

=-2-

=r+3"—i,

选条件②，｛"｝的前"项和为1=3"-1,b、=T[=2,

当“22时，bn=T”-T­[=(3"_1)_(3"T_1)=2X3"T,

又”=1时，4=2x=2,

所以〃=2X3"T,

数列｛%+，｝的前”项和

Kn=%+by+。2++。3+&+-----%+"

=(〃]+。2+%--------Q〃)+(b[+b?+&H----

_(l+2n-l)n2(1-3")

=-2-+^3-

=M2+3n-l

选条件③，因为log3g^。0-〃二〃-1

所以与=3"T,故”=2x3i,

数列｛%+4｝的前”项和

Kn=%+by+出++。3+4--------%+"

二(%+。2+“3--------Q”)+伍1++“3----------卜b〃)

_(1+2«-1)«2(1-3")

=-2-+^3-

=n2+3"-l

19.已知抛物线C：/=2夕x(夕＞0)的焦点为尸，且经过点M。,—2).

(1)求抛物线C的标准方程、焦点F坐标及准线方程；

(2)抛物线C上一点N,若刊=6,求N点的坐标；

(3)直线/：》=叼+1与抛物线C交于A、8两点，若"BO(。为坐标原点)的面积为4,求加值.

【答案】⑴y2=4x,尸(LO),x=-l

(2)N(5,±26)

(3)加的值为指或-JL

【解析】

【分析】(1)将四。,-2)代入抛物线方程可求。，由此可求抛物线方程，再求其焦点坐标和准线方程；

(2)由条件结合抛物线的定义求点N的横坐标，再代入抛物线方程求其纵坐标，由此可得结论；

(3)联立方程组，结合设而不求法表示A4B。的面积，列方程求加.

【小问1详解】

V抛物线/=2px经过点

.,.4=2/7,故2=2,

...抛物线C的方程为/=4x,

•••抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-l,

【小问2详解】

由N向准线x=—1引垂线，垂足为N-

若|NF|=6,由抛物线定义可知：|A不|=|MVj=6,且准线方程：x=-l,

点N的横坐标为5，代入抛物线方程得到/=20.

y=+2^5,

所以点N的坐标为卜,±2后).

【小问3详解】

因为直线AB的方程为x^my+1,所以直线AB过点F(l,0),

y2=4x,

联立《，消x可得>2—4纱—4=0,

x=my+1

方程j2-Amy—4=0的判别式A=16m2+16>0.

设4（再,％）,8（%2，%），

由己知必,％为方程/-4mv-4=0的两根，

所以必+%=4机，％%=-4，

又以BO的面积S^AB0=S*AOF+S^B0F=1x|（9F|x|j1|+|x\OF\x|j2|=||j2-,

所以S.ABO=17（.^2+J71）2-4^1=2Vm2+l，

由己知，2,m2+1=4,解得m=+V3，

所以用的值为6或-G.

20.如图，在四棱锥P—ZB”中，平面尸DC，平面Z5C。，BC1DC,AB//DC,E为P4中点,

PD=DC=BC=1,PC=6，4B=2.

(1)求证：£>£//平面P8C；

(2)求直线DE与平面尸48所成角的正弦值；

(3)在线段DP上是否存在点。，使得PB//平面NCQ,若存在，求出咨的值；若不存在，请说明理

由.

【答案】(1)证明见解析

⑵—;

3

⑶存在，跑」

DP3

【解析】

【分析】(1)取P8的中点尸，证明。£〃EC,根据线面平行判定定理证明结论；

(2)建立空间直角坐标系，求直线QE的方向向量与平面尸48法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹

角余弦，由此可得结论；

(3)假设线段QP上存在点。，使得PB//平面ZC0,求直线尸2的方向向量和平面NC。的法向量，由

假设可得两向量垂直，列方程求出。的坐标，由此可得结论.

【小问1详解】

取依的中点尸，连接£尸，FC,

因为E,尸分别为P4,网的中点，

所以△R48中，EF//AB,EF=-AB.

2

•••底面Z5CD中，AB=2,DC=1,ABHDC,AB=-DC,

2

EF//DC,EF=DC,

•••四边形EEC。为平行四边形，

■.DE//FC,

•••ECu平面DSC,平面P8C,

.••£)£//平面P8C；

【小问2详解】

取48的中点N,连接ON,

因为NBI/DC,NB=DC,

所以四边形NBCD为平行四边形，

所以。N//8C,又BCA.DC,

所以

因为平面尸。平面48C。，平面尸OCA平面48CO=Z)C,QNu平面48CD,

所以。N1平面P0C,尸£>,DCu平面

所以。N_LPZ),DNLDC,

因为尸Z)=DC=1,PC=g，

所以尸£>2+。。2=尸。2,所以尸0，。。，

所以£>N,DC,£)尸两两垂直，

以点。为原点，而，反，赤为x，，2轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),2(1,-1,0),5(1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,1),E

所以市=P2=(1,-1,-1),方=(0,2,0),

设平面尸48的法向量为万=(x,y,z),

取x=l,则V=0,z=l.

所以方=(1,0,1)为平面尸4g的一个法向量,

——►一—xl+x0H—x1I—

--►.n92_V6

所以cosCD£R〉=

DE-n；xJl+O+l3

设直线DE与平面PAB所成角为凡贝1Jsin8=—

3

所以直线。£与平面尸48所成角的正弦值为45；

3

【小问3详解】

设线段DP上是存在点。(0,0,c),使得「5//平面NCQ,0<c<l,

设平面/C0的法向量为应=(M，%,zJ,

又衣=(-1,2,0),CQ=(O,-l,c),

AC-m=0f-x+2y,=0

贝|J一，即八，

CQm=0L%+CZ]=°

取Z]=1,则必=C,Xx=2c,

所以沅=（2c,c,l）为平面ZC0的一个法向量,

因为P8//平面NCQ,

所以而,有，又而=（1,1,—1）,

所以PB-m=2c+c-l=0>

所以c=L

3

所以存在点。，使得尸5//平面NC0,此时也=」.

DP3

22

21.己知椭圆E：=+与=1（口〉6〉0），左右焦点为片，F2,上顶点为A,△4大耳为正三角形，点

ab

[1,-1]在椭圆上，过片（与X轴不重合）的直线与椭圆E交于N两点.

（1）求椭圆E的方程及离心率；

（2）在无轴上是否存在定点尸（与大不重合），使得点大到直线尸PN的距离总相等，若存在，求

出点P坐标；若不存在，说明理由.

V2y21

【答案】（1）土+匕=1,e=—

432

（2）存在，尸（—4,0）

【解析】

【分析】（1）依题意可得a=2c,即可求出离心率，再根据椭圆过点，即可得到方程组，求出