2025中考数学一轮复习：圆（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第24讲圆

一.选择题（共10小题）

1.如图，已知点。是△/2C的外心，连接。4,OB,OC,若/1=40°,则NR4c的度数为（

C.40°D.50°

2.如图，四边形N2CD内接于。。，如果N50。的度数为122°,则NDCE的度数为（

C.62°D.60°

3.如图，正五边形/2CDE边长为6,以/为圆心，48为半径画圆，图中阴影部分的面积为（

54

C.T71D.12TT

4.如图，CU为半径，。/垂直于弦8C,垂足为D,连接。8,AC,若N3=20°,则乙4的度数为（)

C.60°D.55°

5.如图，是。。的直径，CD是。。的弦，若//。。=50°,则/8OC的度数为（）

6.如图，在菱形48。中，Z£>=60°,4B=4,以8为圆心、8c长为半径画弧NC,点P为菱形内一点,

连接E4,PB,PC.当△APC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）

7.如图，48为。。的直径，C,。是。。上两点，5.OD//BC,若/B4C=a,则NA4D的度数可以表示

为（）

Cf/y

A.2aB.90°-aC.45°-JD.45。+旨

8.如图，在半径为6的。。中，弦4gJ_CZ）于点£,若N4=30°,则弧前的长为（）

A.8nB.5nC.4TTD.6n

9.如图，在等腰三角形48c中，AB=AC,经过/,2两点的。。与边NC切于点/,与边2C交于点。,

/£为O。直径，连结DE,若/C=35°,则/出法的度数为（）

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

10.如图，45是。。的直径，CD为弦,CD，4g于点E,连接ZC,AD,则下列结论正确的是（）

A

B

A.AC=BCB.BC=BDC.OE=BED.ZCAD^ZCDA

二.填空题（共5小题）

11.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为8。，点/,B,C在同一直线上，点。2分别为两个

正六边形的中心.则tanNOMC的值为

12.如图，过。。外一点尸作圆的切线尸3,点2为切点，48为O。直径，连结/尸交。。于点C,若/C

分别以/、。为圆心，的长为半

径画弧，两条圆弧恰好都经过点O,则图中阴影部分的面积为

AD

14.如图，PA,依分别与O。相切于/,3两点，。是优弧48上的一个动点，若/尸=50°,则//CB

ZCDA=25°,则//。2=

16.如图，在△48。中,AB=AC,于点C,交△NBC的外接圆于点。.连接班)，于点

E,交8C的延长线于点?

(1)求证：NBAF=NABF；

(2)当/£=1,8£=2时，求线段£厂的长及△/3C的外接圆的半径长.

17.如图，AB、CD是。。的两条弦，NC与此相交于点E,AB=CD.

(1)求证：AC—BD；

(2)连接3C,作直线£。，求证：EOLBC.

18.如图，点C是以48为直径的。。上一点，过/C中点。作。于点E,延长DE交OO于点H

连结CF交AB点G,连结AF,BF.

［认识图形］

求证：△AFDsMCF.

［探索关系］

①求CF与DF的数量关系.

②设2=*，器=y，求y关于x的函数关系.

FGEF

［解决问题］

若CG=2&,FG=3V2,求/£的长.

19.如图，48是。。的直径，点。在。。上，。为市1的中点，CE1ABE,8。与/C交于点G,与CE

交于点F.

(1)求证：CG=CF；

(2)若cos//BC=m/C=16,求即的长.

20.如图，RtZk/CB中，NC=90°,/C=BC,点。在边上，以点。为圆心，0/的长为半径的圆与

3c相切于点。，分别交/C和48边于点尸和£,连接AD,FD,ED.

(1)求证：4D平分/C4B；

(2)求证：Cs△/£)£；

(3)若C£>=1,求图中阴影部分的面积.

2025年中考数学一轮复习

第24讲圆

一.选择题（共10小题）

1.如图，已知点。是△/2C的外心，连接。4,OB,OC,若/1=40°,则NR4c的度数为（

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结果.

【解答】解：：点。为A4BC的外心，

：.OB=OC,

.•./OCB=N1=40°,

AZ50C=180°-40°-40°=100°,

:./BAC=YBOC=50。,

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键.

2.如图，四边形/BCD内接于如果的度数为122°,则NDCE的度数为（）

A.64°B.61°C.62°D.60°

【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根据圆周角定理求出根据圆内接四边形的性质得到NBCD,根据邻补角的概念求出

即可.

【解答】解：：/台。。的度数为122°,

1

AZA^^BOD=61°,

:四边形48co内接于。。，

Z5Cr>=180°-ZA=119°,

：.Zr>C£=180°-/BCD=6l°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

3.如图，正五边形48CDE边长为6,以/为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为（）

1854

A.-7TB.4TTC.-7TD.12TT

【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算.

【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可.

【解答】解：；正五边形的外角和为360。，

...每一个外角的度数为360。+5=72°,

...正五边形的每个内角为180°-72°=108°,

•••正五边形的边长为6,

._108-7TX62_54

,阴影=-360-=可历

故选：C.

【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢

记扇形的面积计算公式，难度不大.

4.如图，CM为半径，04垂直于弦8C,垂足为D,连接AC,若48=20°,则//的度数为（）

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力.

【答案】D

【分析】根据垂直定义可得/。。8=//。。=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得乙8。。=

70°,从而利用圆周角定理可得/。=35°,最后再利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答.

【解答】M：-JOALBC,

：.ZODB=ZADC=90a,

VZB=20°,

：.ZBOD=9Qa-/B=70°,

1

2/300=35°,

：.ZA=90°-ZC=55°,

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

5.如图，是。。的直径，CD是。。的弦，若//。。=50°,则/ADC的度数为（）

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】D

1

【分析】由平角定义求出/3。。=180°-50°=130°,由圆周角定理得到NBDC=*BOC=65°.

【解答】解：：N/OC=50°,

AZSOC=180°-50°=130°,

1

AZBDC=^ZBOC=65°.

故选：D.

【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到

6.如图，在菱形4BCD中，ZD=60°,AB=4,以2为圆心、2c长为半径画弧/C,点尸为菱形内一点,

连接PB,PC.当△APC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）

A.~71-2*^3^+2B.§兀一一2C.8TtD.87T-6V3—6

【考点】扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；与圆有关的计算；推理能力.

【答案】B

【分析】连接NC,延长/P,交3c于£,根据菱形的性质得出是等边三角形，进而通过三角形全

等证得4E_L5C,从而求得/£1、PE,利用S阴影=S扇形-S△氏5-即可求得.

【解答】解：连接/C,延长/P,交BC于E,

在菱形45C。中，ZD=60°,45=4,

ZABC=ZD=60°,AB=BC=4,

：.AABC是等边三角形，

；.AB=AC,

在尸5和尸。中，

AB=AC

AP=AP

BP=CP

「△APBqAAPCCSSS),

：.ZPAB=ZPACf

C.AELBC,BE=CE=2,

■:ABPC为等腰直角三角形，

1

:.PE=那=2,

[Q

在RtZ\455中，AE=^-AB=2yf3,

：.AP=243-2,

・・・阴影扇形4BC-—S〉PBC=642

S=S鹭_X(2A/3-2)X2-1x4X2=1n-2V3-2,

故选：B.

【点评】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得为、尸£是解题的关键.

7.如图，48为。。的直径，C,。是。。上两点，5.OD//BC,若NA4C=a,则NA4。的度数可以表示

为()

(YCK

A.2aB.90°-aC.45。一占D.45。+母

【考点】圆周角定理；平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】C

【分析】由圆周角定理得到//CB=90°,求出乙8=90°-a,由平行线的性质推出N8=90°

-a,由等腰三角形的性质推出NCMB=NOD4,由三角形外角的性质求出NA4Q=45°

【解答】解：•・•45为。。的直径，

AZACB=90°,

/B4C=a,

ZB=90°-a,

U：OD//CB,

：.ZBOD=ZB=90°-a,

;OD=OA,

：.ZOAB=ZODA,

,/ZBOD=ZOAD+ZODA=2/BAD,

i1

/.ZBAD=Jx(90°-a)=45°—*a.

故选：C.

【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由圆周角

定理得到N4C5=90°,由平行线的性质推出N5OD=N5=90°-a,由三角形外角的性质即可求出N

BAD的度数.

8.如图，在半径为6的。。中，弦45J_C。于点£,若N4=30°,则弧衣的长为（）

A.8KB.5nC.4KD.6n

【考点】弧长的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；推理能力.

【答案】c

【分析】连接。/、OC,根据直角三角形的性质求出//DC,根据圆周角定理求出//OC,再根据弧长公

式计算吗，得到答案.

【解答】解：连接04、OC,

"JABLCD,//=30°,

AZADC=9Q°-ZA=60°,

由圆周角定理得：ZAOC=2ZADC=nO0,

故选：C.

【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键.

9.如图，在等腰三角形48c中，AB=AC,经过/,8两点的。。与边/C切于点与边8C交于点，

/£为。。直径，连结若NC=35°,则的度数为（）

一

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】由得N5=NC=35°,则NA4C=180°-ZB-ZC=110°,由切线的性质得4C_L

AE,则NC4E=90°,所以NBDE=NB4E=/B4C-/C4E=20°,于是得到问的答案.

【解答】-AB=AC,ZC=35°,

ZB=ZC=35°,

ZBAC=\S00-ZB-ZC=180°-35°-35°=110°,

・・ZE是。。的直径，且。。与4C相切于点4

：.AC±AE,

：.ZCAE=90°,

：.ZBDE=ZBAE=ZBAC-ZCAE=U0°-90°=20°,

故选：C.

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质定理、圆周角定理等知识，正

确地求出N3/C的度数并且证明是解题的关键.

10.如图，是。。的直径，CD为弦，于点E,连接NC,AD,则下列结论正确的是（）

A.AC=BCB.BC=BDC.OE=BED.NC4D=NCDA

【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】与圆有关的计算；推理能力.

【答案】B

【分析】根据圆周角定理，垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可.

【解答】解：是。。的直径，CD为弦，CDLAB于点,E,

：.AC=AD,BC=BD,

-'.A错误，B正确；

,/无法证明点E是半径03的中点，

与的长无法判断，

错误；

与CD不一定相等，

...无法判断NC4D与NCD4的关系，

错误.

故选：B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知垂直于弦的直径平分这条弦,

并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为8。，点/,B,C在同一直线上，点5,02分别为两个

、工,…四

正K边形的中心.则tan/OMC的值为—.

【考点】正多边形和圆；解直角三角形.

【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可.

【解答】解：如图，连接。2C,过。2点作O2EL3C,垂足为£,设正六边形的边长为。，则。1/=。12=

02c=a,

在RtZXOzCE中，02c=a,ZC<92£=30°,

；.EC=X)2C=*=BE,。2£=孚。2。=字a,

.15

・・4E=2a+2。=2"，

tanZ02^4C=Ar,□

【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义

是正确解答的关键.

12.如图，过。。外一点尸作圆的切线尸3,点2为切点，48为。。直径，连结/尸交。。于点C,若/C

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力.

【答案】书二.

【分析】连接8C,根据圆周角定理得到BCU/P求得N/+//8C=90°,根据切线的性质得到//8尸=

90°,求得N4BC+NP2C=90°,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：连接8C,

为OO直径，

：.BCLAP,

：.ZACB=ZPCB=90°,

：.ZA+ZABC=90°,

・・,可是的切线，

AZABP=90°,

；・NABC+NPBC=90°,

JNA=/PBC,

：.AABP^ABCP,

.PBPC

•.—，

APPB

:・PB2=AP・PC,

■:AC=PB,

：.AC2=QAC+PC)PC,

J5-1

：.PC=^^AC,

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关

键.

13.如图，在矩形48cD中，AB=遍,对角线/C,8。的交点为。，分别以/、。为圆心，48的长为半

径画弧，两条圆弧恰好都经过点。则图中阴影部分的面积为—竽-兀

4

14.如图，PA,必分别与。。相切于4,3两点，C是优弧上的一个动点，若/尸=50°,贝叱4cB

圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】65.

【分析】连接04、根据切线的性质得到05J_P2,根据四边形的内角和定理求出

再根据圆周角定理计算，得到答案.

【解答】解：连接。4、0B,

'：PA,P8分别与相切于5两点,

：.OA±PA,OB±PB,

VZP=5Q°,

AZAOB=360°-90°-90°-50°=130°,

11

AZACB=^ZAOB=X13O°=65°,

故答案为：65.

c

P

B

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

15.如图，点/、B、C、。都在。。上，ZCDA=25°,则乙4。8=50°.

【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】50.

【分析】先根据垂径定理得到衣=而，再根据圆周角定理得到//。2=50°.

【解答】解：

：.AC=AB,

：.ZAOB=2ZCDA=2X25°=50°.

故答案为：50.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了垂径定理.

三.解答题(共5小题)

16.如图，在△N3C中，AB=AC,CDLBC于点C,交的外接圆于点D.连接AD,AELBD于点

E,交3C的延长线于点尺

(1)求证：/BAF=/ABF；

(2)当/£=1,3£=2时，求线段昉的长及△/BC的外接圆的半径长.

A

【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；推理能力.

【答案】(1)证明见解析；

35

(2)所的长为不△A8C的外接圆的半径长为力

【分析】(1)先证得NA4E+N45E=90°,ZBCA+ZACD=90°,由圆周角定理的推论得出N45E=N

ACD,于是推出根据等边对等角得出N5C4=N/5C,问题得证；

(2)过点4作4G_L5C于G,设即=x,在中根据勾股定理即可求出斯的长；设BG=m,分

别在RtZ\45G和RtA4FG中根据勾股定理表示出NG?,即可求出冽的值，再证△5CD会△成产，即可求

出5。的长，根据圆周角定理的推论得出她为直径，从而得出半径长.

【解答】(1)证明：・・・4/_15。，

；・/AEB=90°,

AZBAE+ZABE=90°,

U：CDLBC,

：.ZBCD=90°,

/.ZBCA+ZACD=90°,

•・•ZABE=ZACDf

：.ZBAE=ZBCA,

U：AB=AC,

：.ZBCA=ZABC,

：./BAE=/ABC,

即/BAF=ZABF；

(2)解：如图，过点4作/G_L5C于G,

A

：.AF=BF,

设EF=x,

*：AE=\,

：.AF^AE+EF=x+\,

*.BF=x+\,

9

：AE.LBDf

・•・由勾股定理得BF2=BE2+EF2,

(x+1)2=22+X2,

._3

••x-2",

即EF=J,

：.AF=BF=I，

；4B=4C,AGLBC,

1

:・BG=CG=^BC,

设BG=m,

*'•FG=2—TYlf

在RAABE中，由勾股定理得AB=y/AE2+BE2=Vl2+22=V5,

在RtZ^4BG中，由勾股定理得ZG2=Z52-5G2,

在Rt△4bG中，由勾股定理得4G2=//-/G2,

：.AB2-BG2=AF2-FG2,

(V5)2-m2=(|)2-(|-m)2,

解得m=l,

:・BG=CG=1,

:・BC=2,

:,BE=BC,

•：NCBD=/EBF,ZBCD=ZBEF=90°,

AABCD^ABEF(4SL4),

：.BD=BF=I，

VZBCD=90°,

・・・AD为。。的直径，

：.AABC的外接圆的半径长为多。=搭.

24

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质,

正确作出辅助线是解题的关键.

17.如图，AB,CD是。。的两条弦，NC与3。相交于点£,AB=CD.

(1)求证：4C=BD；

(2)连接3C,作直线EO,求证：EOLBC.

A/------

【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据利用弧、弦、圆心角的关系得出力B+CD=CD+AD,则

(2)因为A8=CD,所以，即结合03=0C,得出E、。都在3c的垂直平分线上，即

可作答.

【解答】证明：(1):4B=CD,

：.AB=CD,

：.AB+CD=CD+AD,

即BD=AC.

：.AC=BD.

(2)连接02、0C、BC.

:AB=CD,

：.AB=CD,

：.ZACB=ZDBC.

：.EB=EC,

,：0B=0C,

:.E、。都在BC的垂直平分线上.

：.E0±BC.

【点评】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容

是解题的关键.

18.如图，点。是以N5为直径的。。上一点，过/C中点。作DELN3于点£,延长。£交。。于点凡

连结CF交AB点、G,连结AF,BF.

［认识图形］

求证：AAFD^/\ACF.

［探索关系］

①求。尸与。尸的数量关系.

②设普=%，77=y,求y关于x的函数关系.

FGEF

［解决问题］

若CG=2VLFG=3V2,求/E的长.

【考点】圆的综合题.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【答案】(1)见解答；

(2)①CF=&DF；

【分析】(1)由圆的性质得出即可得证；

(2)①由相似三角形的性质即可解答；

②由AGE尸s△GHC,AADEs^AHC得出对应边成比例即可解答；

(3)由题意知CF=5/，DF=5,再求出x,y,设4D=a,则AF=V2a,由勾股定理求出°,即可求

出/。和NR再求出EF即可解答.

【解答】(1)证明：是直径,

AZAFB=90°,

'：DE±AB,

：.ZAFE+ZEFB=ZB+ZEFB=90°,

NAFD=NB=/C.

又；ZDAF=ZE4C,

：.^\AFD^AACF；

(2)解：①

ADAFDF

~AF~~AC~~FC

；4C=24D,

：.AF2=2AD2,即AF=V2AD,

：.CF=V2DF；

②过C作CHLAB于H,则EF//CH,

，△GEFs△GHC,AADESLAHC,

.DEAD1CGCH

"'CH一就一5'~FG~~EF!

.DE1CH1CG1

•-y=EF=2"EF=2'GF=2X'

(3)解：VCG=2V2,FG=3V2,

：.CF=5V2,DF=5.

•_2

,,x-3'

.,.y—i,即DE=JEF=孕.

设AD=a,贝UAF=V2a,

由一(/)2=2。2一(.)2,得a=|-V2,

：.AD=^42,AF=5,

：.AF2-EF2=AD2-(5-EF)2,

解得EF=学,

：.AE2=AF2-EF2=25-槃=黄，

lo16

“5"

-AE=--

【点评】本题考查与圆又关的概念和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解

题关键.

19.如图，N3是。。的直径，点。在上，。为市1的中点，CEL4B于E,8。与/C交于点G,与CE

交于点F.

(1)求证：CG=CF；

(2)若cos/48C=$/C=16,求即的长.

【考点】圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】与圆有关的计算；推理能力.

【答案】(1)证明见解析；

18

(2)—.

【分析】(1)根据等弧所对的圆周角相等得出根据直径所对的圆周角是直角得出//C2

=90°,根据直角三角形的性质得出NC3D+NCGF=90°,ZABD+ZBFE=90°,结合对顶角相等即可

ZCGF=ZCFG,从而问题得证；

(2)根据直角三角形面积公式计算即可求出CE的长，再证即可得出/G与CF的数量

关系，再根据/C的长即可求出。尸的长，从而求出斯的长.

【解答】(1)证明：・・•。为彳&的中点，

：.AD=CD,

：./ABD=NCBD,

・・Z5是。。的直径，

AZACB=90°,

：.ZCBD+ZCGF=90°,

U：CE.LAB,

：・NCEB=90°,

：.ZABD+ZBFE=90°,

,//BFE=/CFG,

AZABD+ZCFG=90°,

：.ZCGF=ZCFGf

：.CG=CF；

(2)解：1,45是。。的直径，

AZACB=90°,

3

9：cosZABC=引

.BC3

・・布一M，

设5C=3x,则ZB=5x,

由勾股定理得4C=4x,

VAC=16,

4x—16,

解得x=4,

：.BC=\2,45=20,

**,LABC=2人。，BC—々AB,CE,

・・・16X12=20CE,

解得CE=普，

由（1）知NCGP=NCFG,

X•/ZCGF+ZAGB=1S0°,ZCFG+ZCFB=180°,

・•・NAGB=NCFB,

NABD=/CBD,

：.AAGBsACFB,

eAGAB205

"CF~BC~12~39

设ZG=5冽，贝!]CF=3冽，

:.CG=CF=3m,

：.AC=AG+CG=16,

/.5m+3m=16,

解得m=2,

：.CF=6,

：.EF=CE-CF=普-6=学.

【点评】本题考查了圆周角定理及推论，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判

定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

20.如图，Rt/X/CB中，ZC=90°,/C=8C,点。在边上，以点。为圆心，0/的长为半径的圆与

3c相切于点。，分别交NC和48边于点尸和E,连接4D,FD,ED.

（1）求证：4D平分/C4B；

（2）求证：△DFCS^ADE；

（3）若CD=1,求图中阴影部分的面积.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【答案】（1）见解答；

（2）见解答；

（3）1-J

【分析】（1）连接由切线的性质得出。。〃/。，结合圆的性质得出即可得证；

（2）根据圆的性质得出//O£=NC=90°和即可得证；

（3）先说明NB=NA4C=45°,得出NBOD=45°,设BD=x,。5=伍，3C=/C=x+1,根据勾股定

理求出x,图中阴影部分的面积为SAB。。-S扇形”E,代入数据即可解答.

与8C相切于点D,

：.ZODB=9Q0="

：.OD//AC

.,.ZODA^ZCAD.

'：OA=OD,

：.ZBAD=ZODA.

：.ZBAD=ZCAD.

平分/A4C；

(2)证明：是。。的直径，ZC=90°,

；./ADE=NC=90°,

..•四边形尸是。。的内接四边形，

ZAED=ZCFD.

：.ADFC^/\ADE；

(3)在RtZ\/BC中，NC=90°,AC=BC,

:./B=NBAC=45°.

由(1)可知ODHAC,

：.ZBOD=ZBAC=45°.

：.OD=BD.设^。=工，OB=岳,

；.3C=/C=x+1,

在RtZX/BC中，'：AC2+BC2^AB2,

2(x+l)2=(V2x+x)2,

：.x=V2,即8D=O£>=也

•••图中阴影部分的面积为SABOD—S浦形ODE=品&X应—竺啜空=1—1

【点评】本题考查圆的有关概念和性质，与圆有关的位置关系，勾股定理，扇形的面积，相似三角形的判

定，熟练掌握以上知识是解题关键.

考点卡片

1.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

2.三角形的外角性质

(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

(2)三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

(3)若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

(4)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.

3.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

4.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两

个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

5.等边三角形的判定与性质

(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性

质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性

质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

(2)等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的

直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.

(3)等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一

般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°

的角判定.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么。2+®2=C2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式。2+y=^2的变形有：a=y/c2—b2,b=7c?—a2及c=Va?+板.

(4)由于/+62=C2>后，所以c>°,同理c>6,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

7.等腰直角三角形

(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的

所有性质.即：两个锐角都是45。，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜

边上的高为外接圆的半径凡而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂

直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等)；

(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径及=a+1,所以r：R=l：V2+1.

8.菱形的性质

(1)菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

(2)菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=y6.(°、6是两条对角线的长度)

9.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

10.垂径定理

(1)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)垂径定理的推论

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

11.圆心角、弧、弦的关系

(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其

余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧

或劣弧.

(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦