安徽省合肥市某中学2024-2025学年高一年级上册期末考试数学试卷（解析版）

2024级高一上学期数学期末考试试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A=W3M2},8={1,。+2},若AB=A）则实数a的值为（）.

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得则a+2=3或。+2=/，求出。的值，再检验即可.

【详解】因为人=卜,3,4},3={l,a+2}且AB=A,

所以BRA,则a+2=3或a+2=〃，

解得。=1或a=2或。=―1,

当4=1或〃=-1时4=1，此时集合A不满足集合元素的互异性，故舍去；

当。=2时人={1,3,4},8={1,4},满足AB=A,符合题意.

故选：A

2.已知a/,c是实数，

（1）。＞6是。2〉/?2的充分条件；（2）＜7＞6是。2〉力2的必要条件；

（3）是a/＞/?/的充分条件；（4）是ac?＞匕。2的必要条件.

上述四个命题中真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值判断（1）（2）（3）的正确性，根据不等式的性质可判断（4）的正确性.

【详解】对（1）：取。=一1,b=-2,则。＞6,但。2＞力2不成立，所以。＞6不是〉少2的充分条件，

故（1）错误；

对（2）：取a=-2,b-1,则但a＞6不成立，故不是/＞力2的必要条件，故⑵错

误;

对（3）：当c=0时，a＞〃不能推出＞秘2,所以］＞人不是＞庆2的充分条件，故（3）错误;

对（4）：由可得，＞（）,所以a＞b,所以是的必要条件，故（4）正确.

故选：B

3.已知函数y=/（x）的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

Xi2345

y136,13615.552-3.9210.88-52.488

则不一定包含“X）的零点的区间是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D,（4,5）

【答案】A

【解析】

【分析】根据零点存在定理可确定结果.

【详解】因为〃2）・〃3）＜0，/（3）-/（4）＜0,/（4）-/（5）＜0,且函数的图象是连续的，

所以函数在区间（2,3）,（3,4）,（4,5）上均有零点.

而/⑴•/⑵〉0,所以函数在（1,2）上未必有零点.

故选：A

4.生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代6粒种

子，则种子数量首次超过100万粒的是（）（参考数据：1g2Ho.3,lg3ao.48）

A.第7代种子B.第8代种子C.第9代种子D.第10代种子

【答案】C

【解析】

【分析】设第*代种子的数量为6'T，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.

【详解】设第*代种子的数量为S'—，

由题意得6‘T＞106，得（x-l）lg6＞6,

6

即X〉----F1.

1g6

66

因为+1=+1^8.7,

lg6Ig3+lg2

故种子数量首次超过10。万粒的是第9代种子.

故选：C.

5.下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是()

A./(x)=eA+e-xB./(x)=tanx

C./(x)=ln(2+x)-ln(2-x)D./(x)=x-

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数定义域的特点先判处BD,再根据函数的奇偶性排除A.

Ijrjr)

【详解】因为函数〃%)=tanx的定义域为碗-5碗+己，keZ,所以函数在其定义域不具有单调

性，故B不合题意;

因为函数/'(x)=x-工的定义域为(-8,0)(0,+8),函数在其定义域不具有单调性，故C不合题意;

对A：/(-x)=e-x+=ex+e-x=/(x),所以〃尤)=e'+e~为偶函数，故A不合题意；

对C：对函数/(x)=ln(2+x)—ln(2—X),由｛,得函数的定义域为(—2,2),

/(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-［ln(2+x)-ln(2-%)］=-/(%),所以函数为奇函数，

因为如(2+%)在(-2,2)上单调递增，In(2-尤)在(-2,2)上单调递减，所以

/(%)=In(2+%)—In(2—%)在(-2,2)上单调递增，故D符合题意.

故选：C

6.已知奇函数y=/(x)的图象关于点［一］,o］对称，当xe°，|J时，f(x)=l-sin^x+^,当

XGI-,3K时，/(%)的解析式为()

A./(%)=-l-sinxB./(x)=-l-cosx

C./（%）=l-simD./（x）=1-COSJV

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用奇函数的性质以及函数图象的对称性，找出不同区间上函数值的关系，然后通过对已知区

间函数不等式的变形，推导出所求区间的函数解析式.

【详解】因为函数y=70）的图象关于点对称，所以/（"=—/（—兀―力，

又函数y=f（＞）为奇函数，所以/（一兀一力=一/（兀+X）,

所以/（%）=/（兀+*），即函数y=/0）是以兀为周期的周期函数.

设37t,则,且/（%）=/（%-3兀），

因为—',0,所以3兀一%€°'、）'且/（*一3兀）=一/（3兀一%）.

所以/（兀）=_/（3兀_%）,371-xe0,-J.

又当xe0,|-时，/（X）=l-sin\+|J,

所以/（x）=_/（3兀_%）=—1—sin13兀—=-1—sin(x—鼻=-(l+cos;

即/（x）=-l-cosx

故选：B

贝ijsin"为+4]=()

7.若。=。0时，〃e）=sin2。—cos?。取得最大值,

「逐C2yl

A回R3A/10

101055

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简,再代入求值.

2

【详解】因为/'（9）=sin20-cos0=sin20-1+。\=sin20_1cos2e—；=岑sin（20—e）—g

（其中COS0=^T=2^5,sin（P=）

所以—g.

当sin（2O_0）=l时取.

此时sin20=sin[（20—°）+°]=sin（2。一Q）COScp+cos（20-°）sin0=1x+0x；

cos20=cos[（20-e）+°]=cos（2O-0）cos0—sin（20—0）sin0=ox-lx,

所以sin（2瓦+色]=sin200cos乌+cos2仇sin—=—--x—=

I4j04°4525210

故选：A

8.记函数的定义域为D,若存在非负实数左，对任意的xe。，总有/（%）—归左，则称函

数“同具有性质尸。）

①所有偶函数都具有性质P（0）；

②/（%）=”•具有性质尸（1）；

L十JC

③若/（%）=_?+X+1,则一定存在正实数h使得“X）具有性质尸（左）;

④已知a>0,若函数/⑺二号^具有性质P伏），则。«0用.

其中错误结论的序号是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【解析】

【分析】利用性质P（左）可判断①；利用基本不等式结合性质P（左）可判断②；根据函数/⑺-〃-力|

..a（l-2x]

的值域可判断③；根据已知条件可得出|/（%）—/（—到。可得出；2,，W左,结合不等式恒成立可

得出。的取值范围，可判断④.

【详解】对于①，设函数/(九)是定义在。上的偶函数,

对任意的xe。，，(％)—〃f)|=0,所以，所有偶函数都具有性质F⑼，①对;

(r)2X

对于②，对任意的xeR,卜方三II

2

X十1(H+1x+l'

心)…=券

当％w0时,

当且仅当卜|=百时，即当九=±1时，等号成立,

又因为7(0)—/(0)|=0<1,故对任意的xeR,|/(力—/(—X)归1,

所以，具有性质尸⑴，故②对；

1+X

对于③，因为|/(%)_/(_%)|=|(%2+%+1)_(%2_%+1)|=2国，

又函数y=2|x|的值域为［0,+8),所以，不存在实数攵，使得|/(x)—/(—X)归左，故③错;

x

aaaa-2xa(l-2)

对于④,x)|=<k,

1+2*l+2-x1+2，2X(1+2X1+2X

2

因为a>0,易知左>。，因为2工>0，则2*+1>1，则0<1——<2,

2+1

所以，—1<一一-K1,即一i<2-(i+2，)q1-2X

<1，所以，OK<1,

X

2X+11+2X1+2X1+2

a(l-2v)

要使得=K左恒成立，则左之a,

1+2X

又因为a>0,则0<aWA,

所以，若函数/(£)=占具有性质P依)，则“e(0,可，故④对,

故选：C.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解:

(1)Vxe£>,m<f(x)^；

(2)VxeZ),m>/(x)<^>m>/(x)max；

(3)3XGD,m<f(x)^m<f[x)^-

(4)3xe£>,m>

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.

9.已知角。的始边为x轴的非负半轴，角a的终边与单位圆的交点为尸三,-三，则()

133J

A.tana=A/2B.sin(-a)=

C.cos(兀-a)=----:

')3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据三角函数的定义可得sina=-逅,cosa=Y3,tana=-0，即可结合诱导公式逐一求解.

33

【详解】由题意可知：sine=—^^,costz=，tana=—，

33

4fcsin(-«)=-sintz=~^~'cos(兀-e)=-cost/=,cos^a-^=sincif=~~~,故BCD正

确，A错误，

故选：BCD

10.已知函数/(x)=lg(x2—2x+r),则下列结论正确的是()

A.当/=2时，/(%)的值域为［0,+s)

B.当/=—3时，“X)的单调递减区间为(一8,1)

C.f取任意实数时，均有/(%)的图象关于直线x=l对称

D.若/(X)的定义域为全体实数，则实数/的取值范围是。,收)

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,利用配方法整理内函数，根据对数函数的单调性，可得答案；

对于B,令内函数大于零，根据一元二次不等式解得函数的定义域，利用二次函数与指数函数的单调性，结

合复合函数的单调性，可得答案；

对于C,判断“1-x)与/(1+x)的等量关系，结合对数运算，可得答案；

对于D,将问题等价于一元二次不等式恒成立，利用分离参数与配方法，可得答案.

【详解】对于A,当.=2时，函数/'(x)=lg(x2—2x+2)=lg[(x—丁+1],由(x—则

〃力之0,故A正确；

对于B,当/=—3时，函数/(x)=lg(%2_2x—3),令/_2%_3>0,贝U(x—3)(x+l)>0,解得

%<-1或1>3,

所以函数“X)的定义域为(t,—l)D(3,+8),

由函数y=x2-2x-3的对称轴为直线x=l,则该函数在-1)上单调递减，

由函数y=lgx在(0,+。)上单调递增，则函数/(%)的单调递减区间为1),故B错误；

对于C,由/(I—x)=lg(1-x)2-2(1-^)+?=lg(x2+?-1),

/(l+x)=lg(1+x)2_2(1+x)+=lg(x?+f_1),

»/(l-^)-/(l+%)=lg4±£4=lgl=0-即〃i)=〃l+x),

X+%—1

所以函数/(力的图象关于直线x=l成轴对称，故C正确；

对于D,由/(X)的定义域为全体实数，则必一2%+/>0在R上恒成立，

可得/>—必+2%=—(%—I)?+1,所以，>1,故D正确

故选：ACD.

11.函数“X)满足/(%)+/(-%)=2犬J(l+x)—/(l—x)=8x,xeR,则()

A."2)=4B./(3)+/(1)=18

C.y=/(x)—Y为偶函数D./(x+2)+/(x)>0

【答案】BD

【解析】

【分析】利用赋值法可判断AB选项；令g(x)=/(x)-利用函数奇偶性的定义可判断C选项；根据

已知条件推导出/(2+x)—/(—x)=8+8x,再结合/(x)+/(—x)=2Y以及等式的可加性可判断D选

项.

【详解】对于选项A,在等式/(1)+/(—%)=2d中，令尤=0,可得"0)=0,

在等式/(l+x)_/(l—x)=8x中，令1=1,可得〃2)_/(0)=8,则〃2)=/(。)+8=8,故A错

、口

陕；

对于选项B,在等式/(£)+/(—%)=2三中，令X=1,可得〃+=①

在等式/(l+x)_/(l—x)=8x中,令x=2,可得〃3)_/(—1)=16,②

①+②可得/(3)+/。)=18,故B正确；

对于选项C,令g(x)=/(x)-X2,其中xeR,贝ijg(x)+g(T)=/(x)+〃-x)-2尤2=。，

即g(-x)=-g(x),所以函数y=/(x)-X2为奇函数，故c错误；

对于选项D因为/(l+x)-/(l-x)=8x,则

/(2+x)-/[l-(l+x)]=/(2+x)-/(-x)=8(l+x)=8+8x,

又因为/(x)+/(f)=2/，

上述两个等式相加可得〃2+力+/(力=2尤2+81+8=2(%+2)&0,故D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若不等式依2+3x+b>0的解集为{%|-1<%<4},则。+上=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解集可构造方程组求得。力，由此可得结果.

a<0

u——1

【详解】•o?+3x+b>0的解集为{阿卜1<%<4},；-=-1+4,解得：<

a5二4'

b

­二—4

、a

:.a+b=3.

故答案：3.

13.函数丁=40«(。％+夕)14〉0,。〉0,0<9<1)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为

57r

12

12

-2

【答案】y=2cosl2%+-^

【解析】

【分析】根据所给的图象，可得到4=2,周期的值，进而得到包,根据函数的图象过点可求出0的值，得

到三角函数的解析式.

T5兀所以7=兀=空=＞刃=2.

【详解】由图象可知：A=2,-=—

2co

71TT7L

由2cos2+0=2,且0＜°＜一，可得0=一.

1226

所以y=2cos12x+E).

故答案为：y=2cosl2%+-^

3

14.若尤2+3y2+3盯=4,则%2一5,2的范围为

【答案】［4—46,4+4逝］

【解析】

【分析】利用三角换元，把问题转化成三角函数有关的值域问题求解.

3y之+=4n卜+g

【详解】由V+3xy=4.

3

x+—y=2cos0x=2cos0-2A/3sin0

2

可设《4

^-y=2sin0r^sine

I2,

所以x?~~y2=4^cos20-273sin0cos0+3sin20j--1x^sin20

=4-4月sin20G14-4石,4+4石］.

故答案为：14-46,4+46］

【点睛】关键点点睛：把f+3产+3孙=4化成+结合同角三角函数的关系,

x+—y=2cos0

2

设<,是解决问题的关键.

^-y=2sin0

I2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

x2+2%-3,(%<0)

15.已知函数/"(%)=<

-2+lux,(x>0)

(1)请画出函数/(%)的图象(需要标出函数的零点，最值与特殊值等);

(2)求使方程/(X)=左的实数解个数分别为1,2,3时，左的相应取值范围.

【答案】(1)作图见解析

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)根据基本初等函数的性质即可作出图象，

(2)利用函数图象的交点个数即可结合图象求解.

【小问1详解】

=

I-2+lnz,(x>0)

当xWO时，/(X)=X2+2X-3=(X+1)2+4,函数在(一”,—1)上单调递减，［—1,0］上单调递增,

/⑴1nL〃T)=T，/(O)=-3

当x>0时，/(x)=-2+lnx,函数在(0,+8)上单调递增.作出了(%)的图象如图,

X【小问2详解】

A)内

.邓

方程/(x)=k的实数解的个数等于直线y=左与y=/(X)图象的交点个数.

.••当实数解的个数为1时，k<-4；

当实数解的个数为2时，左>—3或左=-4；

当实数解的个数为3时，-A<k<-3.

16.求下列各式的值：

81

+(匹)5+

16

(log73+log3)；

log34+log12416

ix+a^3x

(3)已知瞪=3,求“a十”的值.

ciX+.a—x

【答案】(1)5

3

【解析】

【分析】(1)利用指数幕的运算法则求解即可.

(2)利用对数的运算法则结合换底公式求解即可.

(3)利用立方和公式化简目标式，再结合给定条件代入求和即可.

【小问1详解】

——D

原式=+(163)2+1-1

3-333

=-+162+1--=-+4+1--=5.

22

【小问2详解】

/1、

2

原式=(log322+log3T2)log223+log243,

7

=(21og32—logs2)(fog23+；log23]=log32x；1log23=11.

22

【小问3详解】

原式:(屋+aI"'-"=+_J+q_2x

ax+ax

因为/'=3,所以故l+a-2、=3—1+'=1

333

713，s】n>=-12兀3兀

17.(1)已知cosa——,aG，匹.求sin(a+/7)的

~~513

值;

(2)求tan200+tan400+也tan200tan40°的值;

1

(3)

sin10°cos10°

56「

【答案】（1）;(2)括；(3)4

65

【解析】

【分析】利用诱导公式及和角公式求（1）的值；利用两角和正切公式的变形形式求（2）的值；利用和角公

式和倍角公式求（3）的值.

713-।\兀713713兀71

【详解】（1）因为COSa彳，所以cosI又ae,所以

~~44*T2

4

所以sina

5

5兀7112,又匹鹏兀

ism=--<：sm^-=-'所以A+片

T4+/?+4139

所以cos(£+：71)=]

4

71巳卜71兀71

所以sin(a+尸)=sinCC—=sin(a—os(/?+；)+cos]a—；

4444

4531256

二——X-----1——X——二—

51351365

(2)tan20°+tan40°+也tan20°tan40°=tan600(l-tan200-tan40。)+Gtan200tan40°

=G(1-tan20°-tan40°)+tan20°tan40°=季).

2cos10°x--sin10°x

1石coslO。—代sinlO。2

sin10°cos10°sin10°cos10°

-sin20°

2

4(cosl00xsin300-sin10°xcos300)4sin(30°-10°)

一sin200―sin20°一

18.已知函数/(x)=acos一+6sinxcosx-2coszx+1的图象关于直线x=~^对称.

(1)求。的值；

(2)若xe0,1，求/(%)的最大值；

7T21

（3）是否存在实数加满足对任意％e0,-,存在/e（0,+8）,使/（七）＜2"诏土。成立？若存在，求

加的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】⑴a=-42

⑵2夜

（3）一了+0°1

【解析】

【分析】（1）根据函数对称性进行求解即可；

（2）根据两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、降基公式、辅助角公式化简函数解析式，利用整体

法，再结合正弦型函数的单调性即可求解最值，

2,11

（3）将问题转化为2吟+研522应，根据指数函数的单调性得"2二-一，利用二次函数的性质求解最

值即可得解.

【小问1详解】

因为函数/(%)的图象关于直线％=一37r对称,

8

3兀

所以有/(o)=/

即变。一1=一旦

—3,解得a——.

22

【小问2详解】

a=-^2时

cos2x+&n2;

/(x)=-V2cos2x~—+6sinxcosx-2cos2x+l=+3sin2x-(2cos2x-1)

I4j2

7

=2sin2x-2cos2x=2A/2sinI2x——\,

4

兀71713兀

当xe0,—时，则2%——G

244T

所以当2尸+｝即x=?时，

/(x)取得最大值，最大值为2忘.

【小问3详解】

71

由(2)知：当工£0,—时，/(%)最大值为2血.

712*

+巧+万

若存在m满足对任意玉£0,—,存在x2G(0,+oo)，使成立,

21013、11

则2，%+小532夜,BP^2+%2+->-,所以加之至一丁.

11Ai11111

因为节----=-------，所以当％2=2时，—取得最小值一二，

¥x2(犬22)4%2%24

所以〃则〃z的取值范围为-[,+e].

19.对于函数y=/(%),如果对于其定义域。内任意给定的实数x,都有-xwO,并且

/(%)­/(-%)=1,就称函数丫=y(x)为函数”.

2—Y

(1)已知g(x)=------，判断y=g(%)是不是Af函数，并说明理由；

乙।人

1

⑵若〃龙)是定义在R上的M函数，当尤<0时，/(x)=4,方程/(£)=2025是否有整数