2025中考数学复习：动点在二次函数图象中的分类讨论（基础训练）含解析

动点在二次函数图象中的分类讨论

【专题说明】

关于二次函数动点问题的解答方法

⑴求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，

要数形结合；

(4)二次函数的图象关于

对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性

求出另一个交点坐标.

(5)与二次函数有关的还有二次三■项式，二次三项式ax2+bx+c(a/))本身就是所含字母x的二次函数；

【精典例题】

13

1、如图1,已知抛物线>=.2一那一破”〉。)与》轴交于A,B两点(A点在2点的左边)，与〉轴交于点C.

(1)若AABC为直角三角形，求n的值；

(2)在(1)的条件下，.点尸在抛物线上，点。在抛物线的对称轴上，若以为边，以点3,C,尸，。为

顶点的四边形是平行四边形，求尸点的坐标；

(3)如图2,过点4作直线BC的平行线交抛物线于另一点。，交y轴于点E,若AE：EO=1：4.求〃的

Bx

图1图2

2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=(x—a)(x—3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的

左侧)，与〉轴交于点。，过其顶点C作直线轴，垂足为点尸，连结AD,BC.

(1)求点A,B,C的坐标；

⑵若AAOD与ABPC相似，求a的值；

(3)点D,O,C,2能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由.

3、在平面直角坐标系中，二次函数尸以2+|x+c的图象经过点C(O,2)和点。(4,—2),

点E是直线y=

—最+2与二次函数图象在第一象限内的交点.

(1)求二次函数的表达式及点E的坐标；

(2)如图1,若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连结MC,OE,ME,求四边形COEM

面积的最大值及此时点M的坐标；

(3)如图2,经过A,B,C三点的圆交y轴于点F求点尸的坐标.

4、如图1,在平面直角坐标系中，直线丁=无一1与抛物线;y=—N+bx+c交于A,B两点，其中A(〃z,0),

3(4,〃)，该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D

(1)求的〃的值及该抛物线的表达式；

(2)如图2,若点尸为线段上的一动点(不与A,。重合).分别以AP,。尸为斜边，在直线的同

侧作等腰直角三角形APM和等腰直角三角形。PM连结MN,试确定AMPN面积最大时P点的坐标；

(3)如图3,连结BO,CD,在线段CO上是否存在点Q,使得以A,D,。为顶点的三角形与△AB。相

似？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

一一22

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线三―4与x轴交于A,B两点(点A在点3左侧)，与y轴交

(1)求点A,B,。的坐标；

⑵点尸从A点出发，在线段A5上以每秒2个单位长度的速度向3点运动，同时，点Q从B点出发,

在线段2c上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也停止运动.设

运动时间为fs,求运动时间/为多少秒时，APB。的面积S最大，并求出其最大面积；

(3)在(2)的条件下，当△尸8。的面积最大时，在下方的抛物线上是否存在点使的面积是

△PB。的面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

6、抛物线L：y=—N+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点8.

(1)直接写出抛物线L的表达式；

(2)如图1,过定点的直线%+4(左＜0)与抛物线L交于点M,N.若4BMN的面积等于1,求上的值；

(3)如图2,将抛物线L向上平移皿加＞0)个单位长度得到抛物线Li，抛物线心与y轴交于点C,过点C

作y轴的垂线交抛物线Li于另一点D,F为抛物线心的对称轴与无轴的交点，尸为线段0C上一点.若APCD

与APOP相似，并且符合条件的点尸恰有2个，求相的值及相应点尸的坐标.

1.解：(1)若AABC为直角三角形，则由RSAOCSRQCOB可得

13

由抛物线＞=那2一那一＞o),可得OC=〃，OAOB=2n,

2=2九，解得〃1=2,九2=0(舍去).n—2；

(2)由⑴可知抛物线的对称轴为3抛物1线表达式为产吴一永3一2,

令y=0,得％i=—1,%2—4,.*.A(—1,0),3(4,0),

设点2(根，^m2—1m—2^.

①如答图①，当直线尸。〃3C时，

当点尸在点。的左侧，

△30。平移到AQV尸的位置时，四边形尸Q3C为平行四边形,

35

此时NQ=03,即1一根=4,m=一亍

1339

产2一产一2=/，此时点P坐标为

当点尸在点。的右侧时，

311

同理可得加一］=4,解得加=了.

②当直线PQ与直线3c相交时，如答图②，

此时点P到y轴的距离等于点B到对称轴的距离，

即根=4一］=|，品2—-加一2=一看此时点尸的坐标为住一£）•

综上所述，满足条件的点P的坐标为（一|,引，作，引，（|,—■

答图③

(3)如答图③，过点。作。F，x轴，垂足为E

则A0:OF=AE:ED=l：4,

设4(a,0),B(,b,0),则AO=—a,OF=~4a,

'：AD//BC,

：.ZDAO=ZOBC,

,：ZAFD=/BOC=90°,△BOCs^AFD,

.OCBO_n______b

••而=病即而=_4LM

rjn

由题意得ab=—2n,・••工=-3,

b2

DF=~5a^=一5〃.(一今=52,

・・•点A,0在抛物线上，

ri3八

呼—9呼一九=0,

・11“23，/、52

I2X16«2—2X(-4〃)一孔=呼2,

P=427

解得J27・,・几的值为年.

[〃=至，

2.解：3),当y=0时，xi=a,%2=3,

・・・A(m0),3(3,0).

当x=0时，y=3〃，.*.£>(0,3a)；

(2)如答图①，连结AZ),BC,

,_口3—a3—a,3+〃

由OA.=cijOD=3a,BP=，OP=+a=~,

答图①

将无=皆代入二次函数，得＞=(3-〃)2

4

(3-。)2

4

①当△OQ4s△CPB时，

右0AOD尸a______3〃

有丽二定'即==(3—4)2,

24

解得〃=0（舍去）或一3（舍去）.

②当△OOAS^BPC时，

-OAOD____a_______3a7

PC=~BPf即(3—〃)2==，解得a=y

-2

7

综上，当△A。。与43尸。相似时，

答图②

（3）能.如答图②，连结3。，设BO的中点为M.

,：D,O,8三点共圆，且圆心为“，I’,

假设点C也在此圆上，则应有MC=M3,

解得〃1=小，〃2=一小（舍去），〃3=—3（舍去），〃4=3（舍去）,

・••当4的值为小时，D,O,C,B四点共圆.

3.解：（I；•二次函数产加十沁’的图象经过点C（0,2）和点。（4,—2）,

c=2,f2

a=~^

5解得'3

16〃+gx4+c=­2,

。=2,

25

二次函数表达式为y=-^x2+^x+2,

与y=—gx+2联立，解得％i=0（舍去），尤2=3,此时y=l,故风3,1）；

=

(2)3四边形coEM=SzkCO£：+SzkCME，S^COE2,CO-\^E\9VC(0,2),E(3,1),:・SACOE=3,S^CME=/CE,h(h

为点M到CE的距离），

•・・M在抛物线上运动，，当平行于CE的直线与抛物线相切于点M时，"最大，从而面积最大,

设的表达式为y=~^x+b,

25

与尸一科+gx+2联立,

1?5

得一§%+。=一y+下+2

7

/=36+8(6—3。)=0,解得

此时点M坐标为（|，3）,

如答图①，过/作/N〃y轴，交CE于点N,

133

在y=-1%+2中，令x=］，得y=］，

33、

292)9

19

MN

S^CME=2''\^C~XE\=~^,

(3)在y=-■|/+|'x+2中，令y=0,得％1=组］但，(2=§

-J73-55+^73

-OA=^—

1。“——

答图②

如答图②，连结B尸，AC,

'：ZACO=ZABF,ZAOC=/FOB,

：.△AOCs/OB,

5一5

.OAOC42,3

,-OF=OB,即RnOF=不标'斛n侍zn°尸=5'

4

4.解：(1)把点A(m,0),点3(4,几)代入％—>=1,得根=1,〃=3,

・・・A(1,0),3(4,3),

代入y=—d+bx+c,得

[~l+b+c=0,b=6,

1—16+40+c=3,解得

c=~5,

.•.y=-x2+6x-5；

(2)•・•AAPM和»DPN为等腰直角三角形，

：.ZAPM=/DPN=45。,

：.NMPN=90。,

•••△”PN为直角三角形.

令一元2+6%—5=0,解得％1=1,%2—5,

・・・。(5,0),AO=4.

、历\[2

设AP=根，则。尸=4一九，PM=Mm,PN=^(4—m),

/.S^MPN=*M/N=TX半加•半(4—m)

=—^m2+m=—^(m—2)2+1,

当初=2,即AP=2时，SAMPN最大，此时0P=3,；.尸(3,0)；

(3)存在，点。坐标为(2,—3)或6，—

由A(l,0),3(4,3),C(0,-5),0(5,0),得AB=3p,AD=4,直线CD的函数表达式为了=尤一5,

ZBAD=ZCDO^45°,分两种情况讨论：

ADDA

①当△A£)Qs/\£)A3时，—,

如答图，过。点作X轴的垂线，垂足为E,则。£=£。=坐。。=3,

VD(5,0),：.Q(2,-3)；

②当时，盥=翳，

:•华=东'解得早’

同上得Q坐标为-1).

综上，存在点。坐标为(2,—3)或q,—D，

5.解：(1)令y=0,得■|x—4=0,解得xi=-2,尤2=3；

令x=0,得丁=一4,

故A(—2,0),3(3,0),C(0,-4)；

答图①

(2)如答图①，过点。作QDLA2于点D,则AP=2f,BQ=t,B0=3,AB=5,O.C=4,BC=^/32+42

=5,PB=5~2t.

'：DQ//OC,

:.△BDQS^BOC,

.DQBQ即型=_L

''OC=~BC14—f

4

解得DQ=-^t.

11444rN5

2

*'•SApB2=5PB-£)2=5X-rx(5—2r)=-^t+2t=—^—7)十五，

当/=,时，S*BQ取最大值为t；

(3)存在，M的坐标为(1,—4)或(2,-1).

设，机，|m2—1m—4^,直线3c的表达式为丁=履一4,

4

则3^—4=0,解得k=y

4

・,・直线BC的表达式为产下一4,

如答图②，过M作交3。于点N,则巾，

4(22、2

/.脑V=p-4—(田彦一口一4l=—2m2+2m,

SAMBC=SACMN+SABMN=m^N,OB=一m之+3加,

VABMC的面积是△尸5Q的面积的1.6倍，

/.—m2+3m=1.6x^,整理得加2一3加+2=0,解得如=1,根2=2.

AM(1,—4)或(2,

6.解：⑴由题意知＜2x(-1)解得

U1,I

，抛物线L的表达式为y=-x2+2x+1；

(2)・.b=fcc—左+4=6％—1)+4,

当x=l时，y=4,

・,•该直线过定点G(l,4),如答图，

•；y=—/+2x+1=—(x-1)2+2,

・••点3(1,2),:・BG=2,

,•*SABMN=19即S^BNG—S△BMG='^G，GN—1)一~^BG\XM—1)=1,

•・XN