8.4.2 空间点、直线、平面的位置关系

8.4.2空间点、直线、平面的位置关系第八章立体几何初步2025/4/128.4空间点、直线、平面之间的位置关系引

入前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等.C

α

点

A

在平面

内点

C

在平面

外A

，C

A

α β

l 平面

与平面

相交

∩

l图形语言文字语言符号语言B直线

AB

在平面

内直线AB

；l

A探究新知问题1

点与直线的位置关系是什么？用数学符号怎样表示？

点与平面的位置关系是什么？用数学符号怎样表示？点A在直线l上．点B在直线l外．点A在平面内，记作

．记作

．点B在平面外，●A●Blα●A●B探究新知问题2同一平面内的两条直线有哪些位置关系？相交（有一个公共点）平行（无公共点）abOab既非平行又非相交空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗?探究新知问题3观察下图的长方体，各棱所在直线与直线AB有哪些不同的位置关系？棱与平行．棱与相交．共面棱与异面．1.空间中直线与直线的位置关系有且只有三种共面直线相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点.平行直线：异面直线：探究新知

如果直线a,b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如下图所示.2.异面直线不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.①定义:②画法:探究新知相交直线平行直线异面直线abM答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行.abab问题4分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？EC和BH是

直线课堂练习平行相交异面BD和FH是

直线BH和DC是

直线BACDEFHG说出以下各对直线的位置关系?1.下图长方体中，探究新知3.空间中直线与平面的位置关系问题5下图中，直线AB与平面ABCD有多少个公共点？直线AA'与平面ABCD呢？直线A'B'与平面ABCD呢？①直线在平面内—有无数个公共点；②直线与平面相交—有且只有一个公共点；③直线与平面平行—没有公共点.BDCA'B'C'D'A直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行A•αa探究新知3.空间中直线与平面的位置关系(1)直线在平面内(2)直线与平面相交(3)直线与平面平行直线在平面外直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.判断直线与平面的位置关系关键在于判断直线与平面的公共点个数.a∥α探究新知4.空间中平面与平面的位置关系①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线.αβα//βαβlα∩β=l注意：画两个平面平行时，通常画两个对应边互相平行的平行四边形.问题6下图中，平面ABCD与平面A'B'C'D'有多少个公共点？平面ABCD与平面BCC'B'呢？αlBDCA'B'C'D'A例题讲解例1

如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.(1)αβalA•B•(2)αβalP•b解：例题讲解

例2

如图，AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a.

直线AB与a具有怎样的位置关系?

为什么?直线AB与a是异面直线.理由如下：若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行.B•αaA•解：设它们确定的平面为β，则B∈β，a⊂β.

由推论1可知经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合.从而AB⊂α，进而A∈α，这与A∉α矛盾.所以直线AB与a是异面直线.判断两直线是异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.课堂练习1.

选择题：(1)如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b().A.共面B.平行C.是异面直线

D.可能平行，也可能是异面直线(2)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在直线,则a与b()A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线DBDCA'B'C'D'AD2.

如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，判定直线AB与AC，直线AC与A'C'，直线A'B与AC，直线A'B与C'D的位置关系.解：直线AB与AC相交，直线AC与A′C′平行，直线A′B与AC是异面直线，直线A′B与C′D是异面直线.教材131页课堂练习3.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是

；②直线A1B与直线B1C的位置关系是

；③直线D1D与直线D1C的位置关系是

；④直线AB与直线B1C的位置关系是

．平行异面异面相交深入思考1.如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.答:有可能1条，也有可能3条交线.（1）（3）2.3个平面把空间分成几部分？（2）深入思考2.3个平面把空间分成几部分？（2）（1）（3）（4）（5）46678课堂练习DCDD课堂小结共面直线异面直线：平行直线：相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点.1.空间中直线与直线的位置关系①直线在平面内—