安徽省安庆市2024-2025学年 下学期九年级正月联考综合素质调研数学试题（含详解）

2024-2025学年度九年级正月联考综合素质调研数学试题

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.tan30°的值为（）

rzV2

A.J3B.—C.1

2

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.如图，在大小为4X4的正方形网格中，是相似三角形的是（

A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④

4.将抛物线y=5（x-1）2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式

为（）

A.y=5（x-1）2+1B.y=5（%-4）2+3

C.y=5（x-4）2-1D.y=5（尤-3）2+4

5.如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点。旋转到Ab的位置.已知AO=4米，若栏杆的旋转

角NAOA=47°,则栏杆端点A上升的垂直距离AH为（)

4

A.4sm47。米B.4COS47»米C.4tan47»米D.嬴方米

6.已知线段b,c,其中c是〃和的比例中项，a=4,Z?=16,则c等于（）

A.±10B.±8C.8D.10

4

7.如图，。为RtZkABC的AC边上一点，ZC=90°,ZDBC=ZA,AC=4,cosA=贝!ICD=()

8.如图，已知O。中，半径0c垂直于弦A3,垂足为。，若。。=3,。4=5,则AB的长为（）

A.2B.4C.6D.8

9.如图，矩形ABC。中，AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P不与点8、C重合），现将△

PCC沿直线折叠，使点C落到点C'处；作/BPC'的角平分线交于点E.设8尸=尤，BE=y,

则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

10.如图，矩形0A3C的顶点3、C在反比例函数G>0）的图象上，点A的坐标为（6,-3）,则

A.-18B.18C.9D.8

二.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

11.符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中，AD=BC,且C、

。两点都是AB的黄金分割点，若CD=1,则A8的长是.

12.如图，四边形内接于O。，若四边形48co是平行四边形，则NAOC=

13.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30机，C。长为20西相，斜坡A2的坡比为1：3,斜

坡CD的坡比为1：2,则坝底的宽AD为m.

14.对于平面直角坐标系中的任意一点A(x,y),我们把点B(x-y,x+y)称为点A的“和差点”.若点

A在反比例函数y=&x>0)的图象上，点8为点A的“和差点”,则二的值为______________________,

%OD

若射线。4与OB关于y轴对称，则△A08的面积为.

三.解答题(每小题8分，满分16分)

15.计算：(ir-3020)°-2cos45°-V16+|l-V2|.

16.如图，AB.C£>是O。的两条弦，ABLCD,垂足为点M,AM=4,BM=6,CM=3,Z)M=8,求O。

四.解答题(每小题8分，满分16分)

17.已知，/XABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是A(0,3)、B(3,4)、C(2,2),正方形

网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度.

(1)画出△ABC向左平移4个单位长度得到的△481Ci；(画出图形)

(2)以点8为位似中心，在网格内画出282c2,使222c2与△ABC位似，且位似比为2：1,点

18.在矩形ABC。中，E为上的一点，过B作CE的垂线，垂足为点G,交CD于点F.

(1)求证：△CDEsABGC；

(2)若AB=4,BC=3,DE=2,求四边形A8GE的面积.

五.解答题(每小题10分，满分20分)

19.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示

意图.量得托板长A8=130"wi,支撑板长C£)=80»wz,底座长。E=90nwz.托板AB固定在支撑板顶

端点C处，且CB=40加加，托板可绕点C转动，支撑板可绕点O转动.当NQC8=80°,Z

CZ)E=60°,求点A到直线。E的距离.(结果保留小数点后一位，参考数据：sin40°^0.643,cos40°

-0.766,tan40°-0.839,V3«1.732).

DE

图1图2

20.已知：如图，抛物线与无轴交于点A(-1,0),B(3,0).

(1)试确定该抛物线的函数表达式；

(2)若点P是线段8C上的一动点，求OP的最小值.

六.解答题(每小题12分，满分24分)

21.已知：如图，在。。中，直径CD交弦A8于点E,且CZ)平分弦AB,连接。4,BD.

(1)若AE=6,DE=1,求。4的长.

(2)若OA//BD,贝!|tan/OAE的值为多少？

D

22.根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利

润刀（千元）与进货量x（吨）之间的函数”=履的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润”（千元）

与进货量X（吨）之间的函数、2=办2+灰的图象如图②所示.

（1）分别求出了1,”与X之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为r吨.

①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与f（吨）之间的函数关系式.并求当这两种蔬菜

各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？

②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

图①

七.解答题(本题满分14分)

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边A8=4,BC=6.若不改变矩形A8C£)的形状和大

小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点。始终在y轴的正半轴上随之上

下移动.

(1)当/。40=30°时，求0D的长度及点C的坐标；

(2)设的中点为

21

①连接。加、MC,当四边形0MC。的面积为三时，求的长；

②当点A移动到某一位置时，点C到点。的距离有最大值，请直接写出其最大值.

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.tan30°的值为（）

rrV2V3

A.V3B.—C.1D.

23

【解答】解：tan30。=学

故选：D.

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

【解答】解：A.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意;

B.该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；

C.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；

D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

3.如图，在大小为4X4的正方形网格中，是相似三角形的是（）

【解答】解：①和③相似，

;由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、或、V10；

由勾股定理求出③的各边长分别为2近、2、2V5,

2V2

••・猊=Z

VioV2

2遮—2，

2V2V10

即运，=乖’

.•.两三角形的三边对应成比例，

①③相似.

故选：c.

4.将抛物线y=5（尤-1）2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式

为（）

A.y=5（x-1）2+1B.y=5（x-4）2+3

C.y=5（x-4）2-1D.y=5（尤-3）2+4

【解答】解：将抛物线y=5（尤-1）2+1向上平移2个单位长度，得到平移后解析式为：y=5（x-1）

2+1+2,即y=5（x-1）2+3,

再向右平移3个单位长度所得的抛物线解析式为：y=5（尤-1-3）2+3,即y=5（x-4）2+3.

故选：B.

5.如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点。旋转到Ab的位置.已知4。=4米，若栏杆的旋转

角NAOA=47°,则栏杆端点A上升的垂直距离AH为（）

4

A.4sin47°米B.4cos47°米C.4tan47°米D.--------米

sin47°

【解答】解：在RtzXA'0H中，OA'=4米，NA'770=90°,NAOA=47°,

二•sinNAOA'=04''

・・・A'H=0A'•sinZAOA/=4sin47°（米）.

故选：A.

6.已知线段〃，b,c,其中c是〃和的比例中项，〃=4,。=16,则c等于（）

A.±10B.±8C.8D.10

【解答】解：・.•已知线段〃，b,c,其中。是〃和匕的比例中项，〃=4,6=16,

••<72=ab,

解得，c=8或c=-8（舍去）,

故选：C.

4

7.如图，。为RdABC的AC边上一点，ZC=9Q°,/DBC=/A,AC=4,cosA=贝!jCD=(

15

A.-B.—C.—D.4

454

4

【解答】解:VRtAABC,AC=4,cosA=

AC44

AB5—AB"

AB=5,

BC=y]AB2-AC2=V52-42=3,

ZDBC=ZA,/DCB=NBCA,

△DCBs4BCA,

CDBC

CB~AC

BC2=CZ)-AC,

3CD--吧AC-_24,

故选：A.

8.如图，已知OO中，半径。。垂直于弦AB,垂足为。，若0。=3,0A=5,则A8的长为（

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：根据勾股定理得AD=4

根据垂径定理得AB=2AD=8

故选：D.

9.如图，矩形ABC。中，AB=3,BC=5,点P是2C边上的一个动点（点尸不与点3、C重合），现将△

PCD沿直线PO折叠，使点C落到点C'处；作/8PC'的角平分线交48于点E.设BE=y,

则下列图象中，能表示y与尤的函数关系的图象大致是（）

【解答】解：如图，连接。E,，。是△尸CD沿折叠得到,

；./CPD=/C'PD,

；PE平分NBPC,

:./BPE=NC'PE,

ZEPC+ZDPC=*义180°=90°,

...△OPE是直角三角形，

；BP=x,BE=y,AB=3,BC=5,

：.AE^AB-BE=3-y,CP=BC-BP=5-尤，

在RtABEP中，PE2=BP2+BE2=x2+y2,

在Rt&WE中，D^=AE1+AD1=<3-y)2+52,

在RtZkPCD中，PD1=PC1+CD1=(5-尤)2+32,

在RtzXPDE中，DE1=PE1+PD1,

则(3-y)2+52=x2+y2+(5-x)2+32,

整理得，-6y=27-lOx,

所以y=—百广+(0<x<5),

纵观各选项，只有。选项符合.

解法二：可以证明△SPES^CDP,利用相似三角形的性质求解.

故选：D.

10.如图，矩形。43c的顶点8、C在反比例函数y=W(x>0)的图象上，点A的坐标为(6,-3),则

A.-18B.18C.9D.8

【解答】解：过点。作轴于点过点8作BOLCM于点。，过点A作轴于点E.

・・,四边形。48。是矩形，

AZMOC+ZAOE=90°=ZOCM+ZBCD,BC=OA,

VZCOM+ZOCM=90°,ZOAE+ZAOE=90°,

：.ZOCM=ZAOEf/BCD=/OAE,

•；/CDB=NAEO,

：.ACDB^AAEO(AAS),

：・OE=BD,CD=AE,

•・•点A坐标为(6,-3),

OE=6,AE=3f

：.BD=6,0)=3,

•：/OCM=/AOE,ZCMO=ZOEA=9Q°,

J.ACOM^AOAE,

.OMAE_3_1

••CM-OE-6一2’

设。(〃，2a),贝!!5(〃+6,2a-3),

・・,顶点5、C在反比例函数(x>0)的图象上，

:・k=a*2a=(〃+6)(2。-3),

解得k=8,

故选：D.

二.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

11.符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中，AD=BC,且C、

。两点都是AB的黄金分割点，若CD=1,则A8的长是,+小_.

【解答】解：两点都是的黄金分割点，

：.AC=与U.

：.AC+BD=(V5-1)AB,

BPAB+CD^(V5-1)AB,

：.AB=V5+2,

故答案为：V5+2.

12.如图，四边形A8CD内接于O。，若四边形ABC。是平行四边形，则/ADC=60°

【解答】解：设/AOC的度数=a,/ABC的度数=0；

1/四边形ABCO是平行四边形，

ZABC=ZAOC；

1

VZADC=1P，ZAOC=a；

而a+B=180°,

a+S=180°

a=^/3'

解得・质=60°,

用牛付.Is=120°

ZADC=60°,

故答案为：60°.

13.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得长为30m，CD长为20遥m,斜坡A5的坡比为1：3,斜

坡。。的坡比为1：2,则坝底的宽AQ为130m.

CF1

•・•斜坡CD的坡比为1：2,即一=

DF2

：.DF=2CF,又CD=206加，

：.CF=20mfDF=40m,

由题意得，四边形BMC是矩形，

BE—CF=20m,EF=BC=3bm,

・・,斜坡AB的坡比为1：3,

BE1幡

—=一，即AE=3BE=60m,

AE3

：.AD=AE+EF+DF=130m,

故答案为：130切.

14.对于平面直角坐标系中的任意一点A(x,y),我们把点5(x-y,x+y)称为点A的“和差点”.若点

9nAA/?

A在反比例函数y=《(x>0)的图象上，点8为点A的“和差点”，则丁的值为—,若射线OA

与OB关于y轴对称，则AAOB的面积为21.

2

【解答】解：①设点A的坐标为(如-),

m

・・•点3为点A的“和差点”,

77

'•点B坐标为(m—记,m+—),

OA2=m2+-^2，OB2=(m-—)2+(m+—)2=2(m2+-^),

,041

'OB2_2

,0411V2

，0B—J—2；

••S/^AOD—1,

:射线OA与OB关于y轴对称，

.'.OA—OC,SACOD—SAAOD—1,

••5AAOC=2,

_0A11V2

•=I——,

OB\22

OB=y/2OA=V2OC,

:&AOB=V2SAAOC=2V2.

故答案为：弓，2V2.

三.解答题(共9小题)

15.计算：(Ti-3020)0-2cos45°-V16+|l-V2|.

【解答】解：原式=l-2x孝—4+V2—1

=1-^2—4+V2-1

-4.

16.如图，AB.C£>是O。的两条弦，ABLCD,垂足为点M,AM=4,BM=6,CM=3,Z)M=8,求O。

【解答】解：作OE，AB于E,。尸，C£)于凡连接08,如图所示:

则CF=DF=^CD,AE=BE=

：AM=4,BM=6,CM=3,DM=S

：.AB=10,CD=n,

；.CF=。尸=5.5,AE=BE=5,

尸=5.5-3=2.5,

'：OE±AB,OFLCD,ABLCD,

四边形/EOF是矩形，

：.OE=MF=2.5,

在RtABOE中,0B=VBE2+OE2=J52+2.52=|V5,

即。。的半径为|

17.已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是A(0,3)、B(3,4)、C(2,2),正方形

网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度.

(1)画出△ABC向左平移4个单位长度得到的△481C1；(画出图形)

(2)以点B为位似中心，在网格内画出AA282c2,使222c2与△ABC位似，且位似比为2：1,点

C2的坐标是—(1,0).(画出图形)

【解答】解：(1))如图，△481C1即为所求,

(2)如图所示，222c2即为所求，点C2的坐标是(1,0),

故答案为：(1,0).

18.在矩形ABCD中，E为上的一点，过8作CE的垂线，垂足为点G,交CD于点F.

(1)求证：ACDEsABGC；

(2)若AB=4,BC=3,DE=2,求四边形ABGE的面积.

【解答】(1)证明：在矩形48CD中，ZD=90°.

:BGLCE,

：.ZCGB=90°.

:・/D=/CGB,

•：NECD+/BCG=90°,ZCBG+ZBCG=90°,

：・/ECD=/CBG,

••.△CDES^BGC；

(2)矩形ABC。中，C0=AB=4.

在RtZXOCE中，DE=2,根据勾股定理，得

CE=yJCD2+DE2=V42+22=2遍，

11,

••SACDE=axCD。DE=ax4X2=4,

•：dCDEs^BGC,

・S^CDE（CE?

S^BGCBC

.420

S^BGC9

._9

••oc/\BGC一5，

QQI

四边形ABGE的面积=S矩形ABCD-SACDE-S^BGC—4X3-4一耳=可.

19.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示

意图.量得托板长A8=130"wi,支撑板长C£）=80»wz,底座长DE=90/w加托板AB固定在支撑板顶

端点C处，且。2=40根加，托板AB可绕点C转动，支撑板C。可绕点。转动.当/。圆=80°,Z

CDE=60°,求点A到直线DE的距离.（参考数据：sin40°^0.643,cos40°^0.766,tan40°弋0.839,

V3«1.732,结果保留一位小数）.

图1图2

【解答】解：如图，过A作交即的延长线于点

过点C作CF_LAM,垂足为F,过点C作CNLDE,垂足为N,

四边形CFMN是矩形，CN=FM,

由题意可知，AC=AB-CB=130-40=90,

'：CD^80mm,NOC2=80°,ZCDE^6Q°

在RtACDAf中，CN=CD-sin/.CDE=80x等=40V3mm=FM,

:NDCN=90°-60°=30°,

又,；NDCB=80°,

:./BCN=80°-30°=50°,

'：AMIDE,CN±DE,

J.AM//CN,

：.ZA=ZBCN=5Q°.

：.ZACF=90°-50°=40°.

在RtzXAC尸中，ACsin40°=90X0.643心57.87(mm),

：.AM=AF+FM=57.87+40XV3«127.2(mm),

答：点A到直线DE的距离约为127.2〃加.

20.己知：如图，抛物线y=o?+x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).

(1)试确定该抛物线的函数表达式；

(2)若点P是线段8c上的一动点，求。尸的最小值.

【解答】解：(1):抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),

1

CL=-2

啮;;;二，解得Q，

c=y

...抛物线的解析式为k-袋+x+卷

(2)当0P是BC边上的高时，0P的值最小.

'：B(3,0),C(1,2),

:.BC=J(1—3尸+(2-0)2=2V2.

1

•；SAOBC=今BC・OP=3,

-OP-6-3夜

即OP的最小值是出.

2

21.已知：如图，在。。中，直径CQ交弦A8于点且CD平分弦A3,连接。4,BD.

(1)若AE=岳,DE=l,求OA的长.

(2)若OA//BD,则tanNOAE的值为多少？

【解答】解：(1)•・,直径C0交弦A3于点且CQ平分弦A8,

・•・ODLAB,

设AO=x,贝！JDO=x,

V£)E=1,

EO=x-1,

在RtA4OE中：AE^+ECP-^AO1,

(V5)2+(尤-1)2=/,

解得：x=3,

：.AO=3；

(2)'：OX//BD,

：・/OAB=/EBD,

•・•直径CD交弦AB于点E,且CD平分弦AB,

：・AE=BE,EO±AB,

^OAE=乙DBE

在△AOE和△BED中AE=BE

Z-OEA=Z-DEB

：.AAEO^ABED(ASA).

:・EO=ED,

9：AO=DO,

：.OE=^AO,

.•.ZOA£=30°,

；.tan/OAE=g.

22.根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利

润约（千元）与进货量无（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润”（千元）

与进货量x（吨）之间的函数”="2+法的图象如图②所示.

（1）分别求出yi,”与x之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为/吨.

①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与，（吨）之间的函数关系式.并求当这两种蔬菜

各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？

②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

图①

【解答】解：(1)由题意得:

解得人=0.6,