2025年中考数学一轮复习：图形的初步认识（2大模块知识梳理+10个基础考点+3个重难点+5个易错点）（原卷版）

专题07图形的初步认识

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）

知识模块一：几何图形基础

知识模块二：相交线

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）

考点一；由几何体展开图计算表面积、体积

考点二：正方体的展开图（高频）

考点三：指出现实问题后的数学依据（高频）

考点四：线段的和与差

考点五：与角平分线有关的计算

考点六：与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算

考点七：利用平行线的判定进行证明

考点八：根据平行线的性质求解

考点九：根据平行线性质与判定求解

考点十：平行线的形状在生活中的应用（高频）

04破.重点难点：突破重难点，冲刺高分。（3大重难点）

重难点一：平行线常见辅助线作法一与“拐点”作平行线

重难点二：等积模型

重难点三：三角板拼接模型

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点）

易错点1：不能把握直线、射线、线段的特征而致错

易错点2：计算线段的长度或角的度数时未分类讨论，导致漏解

易错点3：不注意角的单位未统一而致错

易错点4：三线八角的识别

易错点5：忽略同位角（或内错角）相等、同旁内角互补的前提

思维3励'

两命间，

维二等分中点

〈三等分

注意分两种情况讨论

易错射线B&fn射线AB是不同的射线

直线公理两点确定一条直线

炳卜角

斜交

对顶角

知识梳理两条直线相交

垂线段最短

垂直

点到直线的线段

公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

例/------

----4脚仑alib,bilealie

同位角相等

平行线。判定内错角相等两直线平行

同旁内角互补

同位角相等

几何图形初步

两直线平行内错角相等

同旁内角互补

度，分，秒的运算

钟表问题

对顶角一定相等

对顶角相等

相等的角不一定是对顶角

知识梳理

相交线

同角（等角）的余角相等

同角（等角）的补角相等

直线、射线、线段概念分不清

学习误区/----------------------------

--------＜三线/唬中的三类角不能区分

基瑞如常、

知识模块一：几何图形基础

知识点一：平面图形与立体图形

1.立体图形

立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.

立体图形的分类:

,圆柱

三棱柱

柱体＜四棱柱

棱柱，

五棱柱

K

常见立体图形球体

「圆锥

三棱锥

锥体四棱锥

棱锥

五棱锥

K

2.平面图形

平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.

几何图形的概念：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形.

【补充】几何图形不研究物体的颜色、质量、质地等性质，只关注物体的形状、大小和位置.

【常见的平面图形的种类】线段、角、三角形、长方形、圆等.

知识点二：直线、射线、线段

1.线段、射线、直线的区别与联系

直线射线线段

定义直线是几何图形基础，是一个直线上一点和它一旁的部分叫做射直线上两点和它们之间的部分

不做定义的原始概念.线.叫做线段.

图形

-------mN

ABbA------------------

表示方法直线AB或直线BA射线OA线段AB、线段BA

直线m射线n线段1

端点个数无1个2个

度量情况不可度量不可度量可以度量

延伸情况可向两方无限延伸只能以一方无限延伸不能延伸

作法叙述作直线AB作射线OA作线段AB作线段m

作直线m连接AB

延伸叙述反向延伸射线0A延长线段AB

反向延伸线段BA

射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射

联系

线向反方向无限延伸就成为直线.

2、有关直线的基本事实

经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.

3、线段的性质

两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是数量（非负）.

线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短.简记为：两点之间，线段最短.

知识点三：角

1、角的定义

角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线

是角的两条边.

角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是

角的内部.

2、角的度量单位和换算

角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位，

1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°；

2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1〃；

3）把1’的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1’.

角的换算：1周角=360°,1平角=180°,1°=6（T,J=60",

1周角=2平角=4直角=360°,1平角=2直角=180°

角的换算方法：

1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°=60',J=60"；

2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：r=|—

160Jl6oj

3、角平分线

角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.

4、方向角

方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90。的角叫做方向角.

方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角，取值范围为0°到360。，比如正东方

向就是方位角为90°，正西方向就是方位角为270°.

5、余角和补角的性质

余角的性质：同角（等角）的余角相等；

补角的性质：同角（等角）的补角相等；

知识模块二：相交线

知识点一：相交线

直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.

垂线的定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直

线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,P0J_m,垂足为0,称P0为点P到直线m的垂线段.

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P

与直线m上的各点连线中，线段P0最短.

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

【注意】

1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误；

2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.

知识点二：相交线中的角

1.对顶角与邻补角

种类图形顶点边的关系大小关系

对顶角有公共一个角的两边分别是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

顶点两边的反向延长线

邻补角一有公共两个角有一条公共边，且它们Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

顶点

的另一边互为反向延长线.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

2.同位角、内错角、同旁内角

角的名称位置特征基本图形图形结构特征

同位角在截线的同侧，在被截两形如字母“F”

条直线同侧

内错角在截线的两侧，且夹在两形如字母“Z”

条被截直线之间

同旁内角在截线的同侧，在被截两形如字母“U”

条直线之间4

【补充】

1）如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角,

2对内错角，2对同旁内角.

2）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不确

定的.

3）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图形.

4）同位角、内错角、同旁内角这三类角都没有公共顶点.

知识点三：平行线

平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“〃”表示.如图，直线AB与

CD平行，记作;AB〃CD,读作：AB平行于CD.

A«-----------------------------・B

C®-----------------------------»D

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.

【拓展】

1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行.

2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a，b,b±c,则2〃仁

平行线的判定与性质的区别

条件结论作用

同位角相等两直线平行

判定内错角相等两直线平行由角的数量关系确定直线的位置关系

同旁内角互补两直线平行

两直线平行同位角相等

性质两直线平行内错角相等由直线位置关系得到角的数量关系

两直线平行同旁内角互补

【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性

质.

【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的

性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这

些是不成立的.

平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距

离.

性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等;

2）平行线间的距离处处相等.

考点一：由几何体展开图计算表面积、体积

1.（2023•江苏无锡・中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该

直三棱柱的表面积为.

2.（2024•河北邯郸•模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒.先在纸板上画出其

表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A,B,C均为正方形：

下列说法正确的是（）

A.方案1中的a=4

B.方案2中的b=6

C.方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案2所得的长方体纸盒的容积

D.方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同

3.（2024•河北邯郸•一模）一透明的敞口正方体容器2BCD-ABO内装有一些有色液体，棱A8始终在

水平桌面上，容器底部的倾斜角为a.（注：图①中NC8E=a,图②中8Q=3dm）

探究：如图①，液面刚好过棱CO,并与棱BB，交于点Q,此时液体的三视图及尺寸如图②所示，那么图①

中，液体形状为（填几何体的名称）；

利用图②中数据，计算出图①中液体的体积为多少？（提示：V=底面积x高）

拓展：在图①的基础上，以棱4B为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出.若从正面看，液面与棱

CC'或C8交于点P,点。始终在棱上，设PC=;cdm,贝UBQ的长度为（用含尤的代数式表示）.

c

考点二：正方体的展开图

1.（2024•江西・中考真题）如图是4x3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展

B.2种C.3种D.4种

2.（2024•江苏宿迁•中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期

全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强.将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表

面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（）

3.（2023•山东青岛・中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,其展开

图如图①所示.在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体

A.31B.32C.33D.34

4.（2022•江苏徐州•中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7,下列图形为该骰子表面展开图的

考点三：指出现实问题后的数学依据

1.（2024•江苏常州•中考真题）如图，推动水桶，以点。为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推

力&、F2,则FI的力臂OA大于F2的力臂。乩这一判断过程体现的数学依据是（）

A.垂线段最短

B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.两点确定一条直线

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

2.（2024•吉林・中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴

含的数学道理是.

3.（2022・河北.二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（）

B

A,两钉子固定木条B.木板上弹墨线测量跳远成绩弯曲河道改直

考点四：线段的和与差

1.（2023•宁夏・中考真题）如图，点4,B,C在数轴上，点力表示的数是-1,点B是4C的中点，线段4B=&,

则点C表示的数是.

ABC

_____1A-上>

T0

2.（2023•河北沧州・三模）如图，用圆规比较两条线段的长短，则正确的结果是（）

A.AB>ACB.AB=ACC.AB<ACD.不能确定

3.（2024.河北沧州.模拟预测）A,B,C,。四个车站的位置如图所示.求:

HCD

>—H.

・,

ya^2b

（1）4,。两站的距离；

（2）C,。两站的距离；

（3）若a=3,C为4。的中点，求6的值.

考点五：与角平分线有关的计算

1.（2024・四川・中考真题）如图，ABWCD,4D平分NB4C,41=30。，贝吐2=（）

2.（2023•辽宁鞍山•中考真题）如图，△ABC中，在C4,CB上分别截取CD,CE,使CD=CE,分别以D,

E为圆心，以大于［DE的长为半径作弧,两弧在乙4cB内交于点F,作射线CF,交4B于点M,过点M作MN1BC,

垂足为点N,若BN=CN,AM=4,BM=5,则AC的长为—.

3.（2023•湖北武汉•中考真题）如图，在四边形48CD中，AD||BC,A.B=ZD,点E在BA的延长线上，连接

CE.

⑴求证：乙E=AECD；

（2）若NE=60。,。5平分NBCD,直接写出ABCE的形状.

4.（2023郑州市模拟）【阅读理解】

射线。C是乙4OB内部的一条射线，若NCO/1.NBOC,贝峨们称射线OC是射线。4的伴随线.例如，如图1,

乙AOB=60°,ZXOC=/.COD=乙BOD=20°,则N20C=jzBOC,称射线0C是射线。2的伴随线；同时,

由于NBOD=|乙4。£）,称射线。。是射线0B的伴随线.

B

B

DD-

OAOABOABOA

图1图2图3备用图

（1）【知识运用】如图2,^AOB=120°,射线OM是射线04的伴随线，则乙4OM=°,若N20B的度

数是a,射线。N是射线的伴随线，射线。C是乙4OB的平分线，则A/VOC的度数是.（用含a的代

数式表示）

（2）如图3若乙4OB=180°,射线OC与射线02重合，并绕点。以每秒3。的速度逆时针转动，射线。。与射线。B

重合，并绕点。以每秒5。的速度顺时针转动，当射线。。与射线。4重合时，运动停止.

①是否存在某个时刻t（秒）使得NC。。的度数是20。？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

②当t的值为多少时，射线。C,OD,。4中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？

考点六：与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算

1.（2024•江苏宿迁・中考真题）如图，直线4B||CD,直线MN分别与直线28、CD交于点E、F,且41=40°,

则N2等于（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

2.（2024•山东日照•中考真题）如图,直线4B,CO相交于点O.若N1=40。,42=120°,贝此COM的度数为

()

A.70°B.80°C.90°D.100°

3.（2024.安徽六安•模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放.若直线aIIb,Z1=50。，则N2的度数

为（）

A.20°B.15°C.10°D.5°

4.（2021・山东烟台•一模）如图，已知NEOC是平角，OD平分4BOC,在平面上画射线。4,使乙4OC和NC。。

互余，若乙BOC=56°,贝吐40B的度数为（）

A.118°B.34°

C.90°或34°D.118。或6。

考点七：利用平行线的判定进行证明

1.（2023•山东临沂•中考真题）在同一平面内，过直线沙卜一点P作1的垂线小，再过P作小的垂线九，则直线/与

九的位置关系是（）

A.相交B.相交且垂直C.平行D.不能确定

2.（2022.湖南郴州•中考真题）如图，直线aII6,且直线a,。被直线c,d所截，则下列条件不能判定直

A.Z3=Z4B.Z1+Z5=180°C.Zl=Z2D.Zl=Z4

3.（2024•山东淄博•中考真题）如图，已知力B=CD,点E,F在线段BD上，且4F=CE.

请从①BF=£）E；②4BAF=4DCE；③4F=C尸中.选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABFmA

CDE.

你添加的条件是：（只填写一个序号）.

添加条件后，请证明4EIICF.

4.（2024•江苏南通・中考真题）如图，点。在△ABC的边2B上，DF经过边力C的中点E,S.EF=DE.求证

CF||AB.

考点八：根据平行线的性质求解

1.（2024・四川巴中•中考真题）如图，直线加忻，一块含有30。的直角三角板按如图所示放置.若Nl=40。,

C.50°D.40°

2.（2024•陕西・中考真题）如图，ABWDC,BCWDE,28=145°,则乙D的度数为（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

3.（2023・江苏盐城・中考真题）小华将一副三角板（NC=ND=90。，NB=30。，NE=45。）按如图所示

的方式摆放，其中4BIIEF,则N1的度数为（）

D

Fv

B

A.45°B.60°C.75°D.105°

4.（2023•江苏徐州・中考真题）如图，在△ABC中，^DE||BC,FG||AC,Z.BDE=120°,Z.DFG=115°,则

ZC=°.

考点九：根据平行线性质与判定求解

1.（2024・广东•模拟预测）如图，已知N1=N2,NB=40。，则N3的度数为（）

C.50°D.60°

2.（2024・湖北•模拟预测）“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引入特色大课间，某同学“抖

空竹,，的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题:在平面内,4B||CD.若4BAE=50°,^DCE=85°,

则乙4EC的度数为（）

125°C.135°D.145°

3.（2024西城区模拟）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手4B与底座CD都平行于地面EF,前支架OE与

后支架OF分别与CD交于点G和点D,4B与DM交于点N,乙AOE=ABNM.

⑴请对0EIIDM说明理由；

（2）若。E平分44。尸，乙ODC=30°,求扶手48与靠背DM的夹角Z71NM的度数.

考点十：平行线的性质在生活中的应用【热考】

1.（2024•山西・中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力

&的方向与斜面垂直，摩擦力?2的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=25。，则摩擦力尸2与重力G方向的夹角

S的度数为（）

C.115°D.65°

2.（2023・四川绵阳•中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，

要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，41=122。，贝亚2的度

B.58°C.68°D.78°

3.（2024.山东潍坊.中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架力B与吊线FG平行，灯杆CD与底部

支架力B所成锐角a=15。.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角£=45。，贝UEF与FG所成锐角的度数为（）

D

F

A.60°B.55°C.50°D.45°

4.（2024•福建・中考真题）在同一平面内，将直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CD1DE）按如图方式

摆放，若AB||CD,贝”1的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

重难点一：平行线常见辅助线作法一与“拐点”作平行线

1.（2024•海南・中考真题）如图，直线加忻，把一块含45。角的直角三角板A8C按如图所示的方式放置，点

2在直线"上，乙4=90。，若41=25。，贝吐2等于（）

A.70°B.65°C.25°D.20°

2①如图1,AB//CD,贝！|NA+NE+NC=36O。；②如图2,AB//CD,则NP=NA-NC；③如图3,AB

//CD,则NE=NA+N1；④如图4,直线//ER点0在直线E尸上，贝|/"-"+々=180。.以

上结论正确的个数是（）

3.如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，ADWBE

图①图②图③

(1)求证：zS+zC-Z/1=180°：

（2）如图②，AQ,BQ分另IJ为N。"、NE8C的平分线所在直线，试探究”与N71Q8的数量关系;

（3）如图③，在（2）的前提下，且有4CIIQB,直线4Q、BC交于点P,QPLPB,直接写出

Z-DAC：Z-ACBt乙CBE=

考点二：等积模型

1.（2024•四川乐山・中考真题）如图，在梯形力BCD中，AD||BC,对角线"和BD交于点O,若受些=：,

S^BCD3

2.（2023・浙江绍兴•中考真题）如图，在△ABC中，。是边BC上的点（不与点B,C重合）.过点。作DE||AB

交AC于点E；过点。作DFII4C交4B于点F.N是线段BF上的点，BN=2NF；M是线段DE上的点，DM=

2ME.若已知ACMN的面积，则一定能求出（）

£

A.AAFE的面积B.ABOF的面积

C.ABCN的面积D.△£>(7£1的面积

3.课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用

阅读理解：如图1,已知直线a||b,直线a,b的距离为//,则三角形力BC的面积为SMBC书xABxh.

(1)【问题探究】如图2,若点C平移到点。，求证：S-OC=SABOD；

(2)【深化拓展】如图3,记S440c=SQS&BOD=^2'^ACOD=^3'=S4,根据图形特征，试证明：SrXS2=

S3XS4;

(3)【灵活运用】如图4,在平行四边形4BCD中，点E是线段力。上的一点,BE与AC相交于点。，已知S-BE=1。，

且EO:EB=2:5,求四边形CDE。的面积.

4.(2022•吉林・中考真题)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

【作业】如图①，直线3|白，AABC与ADBC的面积相等吗？为什么？

图①

解：相等.理由如下:

设人与12之间的距离为九，贝US-BC=;BCd,SLDBC=-BC-h.

••S"BC=SAOBC•

【探究】

(1)如图②，当点。在%,办之间时，设点4。到直线12的距离分别为伍"，则泮型=9

S&DBC九

图②

证明：：S“BC_

(2)如图③，当点。在k,"之间时，连接AD并延长交12于点M,则变型=黑.

b^DBC

BECFM

图③

证明：过点4作4E_LBM,垂足为E,过点。作DF1BM,垂足为F,贝！kAEM=NDFM=90。,

：.AE\\_.

：.AAEMs.

.AE_AM

'*DF~DM

由【探究】(1)可知#

S^DBC

•S^ABC_IM

S^DBCDM

(3)如图④，当点D在%下方时，连接4。交%于点E.若点儿E,。所对应的刻度值分别为5,1.5,0,衿型的

S&DBC

值为一

h

考点三：三角板拼接模型

1.(2023•河南信阳•二模)【阅读理解】如图1,小明把一副三角板直角顶点。重叠在一起.如图2固定三角

板力。B,将三角板COD绕点。以每秒15。的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当。。边与。B边重合时停止转

动.

图1图2

【解决问题】

(1)在旋转过程中，请填出N20C、N80D之间的数量关系；

(2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；

(3)当乙40C、乙408、NBOC中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线。C是乙40B的“优线”，请直接写

出所有满足条件的t值.

2.(2023•江苏南京•二模)三角尺是几何学习中常用的学具.

【重温旧知】

(1)图①〜③是课本上三角尺的3种摆放方式.借助图①中的Na和40,课本定义了一种两个角的关系，这

种关系叫做;图②中，NDBC的度数是。，三角尺DEF的直角边DF和三角尺48c的直角边江之

间的数量关系是;