2025年中考数学一轮复习：二次函数的角度、相似问题（二阶）学生版+教师版

2025年数学一轮复习教材考点复习

二次函数的角度、相似问题(二阶)学生版

考法探究突破

考法一相似三角形问题

1.探究相似三角形存在性问题的具体步骤：

(1)找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在

隐含的等角；

(2)表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段

长；

(3)建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要

按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计

算求解.

考法二角度问题

2.若所求角为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为

特殊角，再结合锐角三角函数求解；

3.若探究角度之间的数量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过

解直角三角形求解或通过平行线求解.

题型分类过关

类型一相似存在性问题

考法一相似为条件

1.(2023天桥一模节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一

经过4(—2,0),与y轴交于点5(0,4),直线X=3

与x轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式.

(2)正比例函数的图象分别与线段45,直线X=3交于点。,

E,当^BDO与A0C石相似时，求线段0D的长度.

考法二相似三角形存在性

2.(2023高新二模节选)如图，在平面直角坐标系中，一次函数)

=—%+3的图象与％轴交于点A,与y轴交于5点，抛物线y=-f

+6x+c经过A,5两点，在第一象限的抛物线上取一点。，过点。

作。CJ_%轴于点C,交直线A5于点E

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点。，使得△5DE和相似？若存在，请求出点

。的

坐标，若不存在，请说明理由.

类型二角存在性问题

考法一特殊角

3.(2023天桥二模节选)如图，抛物线(aWO)与工

轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C

(1)求抛物线的表达式；

(2)若在线段5。上存在一点使得aBMO=45°,过点。作

OH_LOM交。5的延长线于点凡求点”的坐标.

考法二相等角

4.(2023槐荫二模节选)如图，已知以。为顶点的抛物线y=o?+

法+3经过4(-3,0),5两点，与y轴交于。点，对称轴为直线

x=-2.

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接5C,N5co和NACD有怎样的数量关系，请说明理由.

考法三相等角为条件

5.(2024历下一模节选)在平面直角坐标系中，直线y=1x+l

与y轴交于点4,与％轴交于点5,抛物线Af：y=aY2+6%+c经过点

A,且顶点在直线45上.

(1)如图，当抛物线的顶点在点5时，求抛物线〃的表达式；

(2)在(1)的条件下，抛物线M上是否存在点C,满足NA5C=

N450.若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

考法四二倍角

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数)=%—2的图象分别交工

轴，y轴于A,5两点，抛物线经过点A,B.点P为第

四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求此抛物线的函数表达式.

(2)当NPB4=2NA4。时，求点尸的坐标.

考法五A+B=C型角度问题

7.如图，抛物线,=依2+法+4经过点A(-2,0),点5(4,0),

与y轴交于点C，过点C作直线轴，与抛物线交于点。，作

直线连接AC

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)石是抛物线上的点，求满足NECD+NC4O=90°的点E的坐

标.

达标演练检测

1.如图，已知二次函数y=o?+b%+c(aWO)的图象经过4(―1,

0),5(4,0),C(0,2)三点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点。是该二次函数图象上的一点，且满足NDA4=NC4O(O

是坐标原点)，求点。的坐标.

2.(2023济阳一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(%

—3)2+4过原点，与％轴的正半轴交于点A,已知5点为抛物线的

顶点，抛物线的对称轴与％轴交于点D

(1)求。的值，并直接写出A,5两点的坐标；

(2)若尸点是该抛物线对称轴上一点，且N50尸=45°,求点尸的

坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12+"+c与％轴交

于点4(1,0)和点5,与y轴交于点。(0,—4),点P是抛物线

上的动点(不与点4,B,。重合).设点P的横

坐标为772,过点尸作尸轴，垂足为点D

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）若点尸在第三象限，且tanNC尸。=2,求机的值.

4.如图，抛物线产一步+%+4与x轴交于A,B两点（点A在

点B的左侧），与y轴交于点C,连接BC,点、P是抛物线上的

一个动点，且点P的横坐标为彳(0<?<6),连接AP,过点A作

BC的平行线交抛物线于点D,连接DP.

(1)求点A,B,C的坐标；

(2)当t=2时，求证：△4。尸是直角三角形；

(3)连接PC,过点P作PELPC,交直线AD于点E,连接AC,

CR是否存在点P,使得APCE与△AOC相似？若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由.

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的角度、相似问题（二阶）学生版

考法探究突破

考法一相似三角形问题

1.探究相似三角形存在性问题的具体步骤：

（1）找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在

隐含的等角；

（2）表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段

长；

（3）建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要

按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计

算求解.

考法二角度问题

2.若所求角为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为

特殊角，再结合锐角三角函数求解；

3.若探究角度之间的数量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过

解直角三角形求解或通过平行线求解.

题型分类过关

类型一相似存在性问题

考法一相似为条件

1.（2023天桥一模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一

|%2+b%+c经过4（—2,0）,与y轴交于点5（0,4）,直线％=3

与％轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式.

(2)正比例函数y=依的图象分别与线段45,直线％=3交于点。,

E,当^BDO与△0。石相似时，求线段0D的长度.

解：(1)•••抛物线

y=—Zf+bx+c经过A(—2,0)，B(0,4)两点,

,2

12

•1-X(—2)—2b+c=0,

C=4,

人=1

解得—‘•••该抛物线的表达式为y=—三/+%+今

1c=4,2

(2)VA(-2,0),B(0,4),：.OA^2,05=4.RtAAOB

中，43=JoA2+OB2=J22+42=2V5.500与△OCE相似，

111

ZBDO=ZOCE=9Q°.9：SOB=-OAOB=-ODAB,A-X2X4

AAu222

=00X2®：.OD=—.

25

考法二相似三角形存在性

2.(2023高新二模节选)如图，在平面直角坐标系中，一次函数)

=—1+3的图象与％轴交于点A,与y轴交于5点，抛物线y=-f

+6%+c经过A,5两点，在第一象限的抛物线上取一点。，过点。

作。CJ_%轴于点C,交直线A5于点E

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点。，使得△5DE和AACE相似？若存在，请求出点

。的

坐标，若不存在，请说明理由.

解：(1)在y=—1x+3中，令％=0,得y=3,令y=0,得X=4,

/.A(4,0),B(0,3),将4(4,0),B(0,3)分别代入抛物

’—424-4h~\-c=0b=—,

线＞=-?+法+。中，得一‘解得4J抛物

=3，。=3,

线的函数表达式为y=-x2+1x+3.

(2)存在.如图，过点5作于点凡设。(工0),

E+H。，3）.

22

：.EC=~-4t+3,AC=4—KBH=t,DH4=~t+—t,DE=~t+4t.

△BDE和△ACE相似，ZBED=ZAEC,：.△BDE^AACE或

△①当△5Z）ES/\AC石时，ZBDE=ZACE=90°,

止匕时5Z）〃4C,可得。（f,3、.②当△时，ZBDE=

ACAE.'：BH±CD,：.NBHD=90°,—=tanZ5DE=tanZCAE

DH

CPI-

=—,即BH・AC=CE・DH,

AC

••t（4—t）=（—：t+3）（一/+?七），

解得，i=o（舍），灰=4（舍），四=||，（H，.

综上所述，点0的坐标为(?，3或(n，

类型二角存在性问题

考法一特殊角

3.(2023天桥二模节选)如图，抛物线(aWO)与％

轴交于4(—1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C

(1)求抛物线的表达式；

(2)若在线段5C上存在一点使得N5Mo=45°,过点。作

OH_LOM交。5的延长线于点“，求点”的坐标.

解：(1)•.•抛物线丁=。炉+"+6经过点4(-1,0),B(3,0)

。—hI6—(")(1——2

两点，'解得’•••抛物线的表达式为：y

、9a+3b+6=0,(b=4,

=-2x2+4x+6.

(2)由(1)得，点。(①6).设直线的表达式为>=丘+小

;直线5C经过点5(3,0),C(0,6),

Qk—[―c=Qk——2

•••"-'解得’直线5。的表达式为y=—2%+6.

、c—6,—6,

设点”的坐标为(M，一2机+6),如图，过点“作轴于点K,

过点M作邓，y轴于点S.则NMSO=NOK”=90°,'：OH±OM,

：.ZMOH^9G°,'：ZBMO=45°,，△MO”是等腰直角三角形,

OM=OH.'：ZMOS+ZKOH=90°,ZOHK+ZKOH=90°,

AZMOS=ZOHK,.*.AOMS^AHOK(AAS),：.MS=OK,OS

=HK.：.M(2m—6,机).,点M(2m~6,m)在直线>=-2%+6

上，I.—2(2m—6)+6=/w,解得机=则一2m+6=—•,•当

NOMB=45°时，点”的坐标为(，一§.

考法二相等角

4.(2023槐荫二模节选)如图，已知以。为顶点的抛物线丁=依2+

法+3经过4(-3,0),5两点，与y轴交于。点，对称轴为直线

x=-2.

(1)求抛物线的表达式;

(2)连接5C,4BCO和NACD有怎样的数量关系，请说明理由.

解：(1)•..抛物线丁=加+法+3经过4(-3,0),对称轴为直线

(--=-2,

x=-2.2a

9a—3b+3=0,

解得•••抛物线的表达式为『2+以+3.

(2)令y=f+4x+3=0,贝U(x+1)(x+3)=0,解得沏=—1?

初=—3,・・・A(―3,0),5(―1,0).令x=0,贝(|y=3,：.C(0,

,

3),：.OB=1,OC=3,..tanZJBCO==±'.•当％=—2时，y=

-1,：.D(-2,-1)，而A(-3,0)，C(0,3)，：.AD=

22/22

J(-2+3)+(-1-0)=V2,CD=l(-2-0)+(-1-3)=

2V5,AC=J32+32=3A/2,.,.AC2+AD2=CD2,：.ZCAD=90°,

2

.•.tanZACD=—=^=-=tanZJBCO,Z.ZACD=ZBCO.

AC3V23

考法三相等角为条件

5.(2024历下一模节选)在平面直角坐标系xOy中，直线y=|%+l

与y轴交于点A,与％轴交于点5,抛物线Af：经过点

A,且顶点在直线A5上.

(1)如图，当抛物线的顶点在点5时，求抛物线M的表达式;

(2)在(1)的条件下，抛物线M上是否存在点C,满足NA5C=

NA5。若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)将％=0代入y=1x+l,得y=l,AA(0,1),将y=0

代入y=$+l,得,=—2,*.B(—2,0).

...抛物线M的顶点在点5(-2,0)且过点4(0,1),

设y=aG+2)2,将A(0,1)代入y=a(x+2)2,得Q=$.,.抛

物线的表达式为(X+2)4

(2)作。关于45的对称点O,则00UA5,设垂足为。，则点。

为。与。的中点，如图所示...•直线A5的表达式为尸夕+1,.二。。

的表达式为y=~2x,

联立解得:；，即豌一|,f,O(Y，§.设直

\y=—2x,(y一不

线50,的表达式为丁=丘+乩将点5(-2,0)和点。(一，匀代

/(4

0=-2/c+b,

入，可得84,，解得4I故直线50的表达式为尸与

(g=—V+b'1=葭3

+3联立]:3,2则：G+2)2=|x+j解得％1=—2(舍

3[y=^(%+2),433

去)，%2=?将尸?弋入尸)+/得尸弓所以点C的坐标为(5，

9

考法四二倍角

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=)—2的图象分别交工

轴，y轴于A,5两点，抛物线经过点A,B.点P为第

四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求此抛物线的函数表达式.

(2)当NP5A=2NA4O时，求点尸的坐标.

解:(1)令％=0,得尸］一2二—2,则5(0,-2).

令尸$一2=0,解得％=4,则4(4,0).把4(4,0),B(0,-

1/2I4卜|「—Qb———

2)代入y=%2+云+c中，得一‘解得2’.•.抛

、c=-2,c=-2,

物线的表达式为尸%2一夕—2.

(2)设点A关于y轴的对称点为A，,则A5=AAZBAO=ZBA'O.

直线45交抛物线于点尸.尸区4=/540+/£4。=2/乱0.丁4

(4,0),.*.A,(-4,0),设直线AB的表达式为〉=依+从左力0).

’——AL--Lk—nk———

(0,-2),解得2直线的表达式

力=-2,[b——2,

为y==一|x—2.再令y———2=x2一—2,得x2一3x—Q.解得％=0

(舍去)或％=3....点尸的坐标是：3,一。

考法五A+B=C型角度问题

7.如图，抛物线丁=⑪2+"+4经过点A(-2,0),点8(4,0),

与y轴交于点C,过点。作直线8〃％轴，与抛物线交于点。，作

直线8C,连接AC

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)E是抛物线上的点，求满足NECD+NC4O=90°的点石的坐

标.

解：(1)•.•抛物线)="2+笈+4的图象经过点A(-2,0),点B

(4,0),

.「/―26+4=0，解得/一51，

J6a+4b+4=0,(b=1,

，抛物线的表达式为y=一%2+％+4.

(2)令％=0,则y=4,：.C(0,4).如图，

①当点E位于直线CD下方时，过点石作石凡LCD,垂足为尸，设满

足条件的点石卜,一六2+七+4)在抛物线上，则尸。，4),CF=t,

EF=4——|t2+t+4)=］一%

'：ZECD+ZCAO=90°,ZACO+ZCAO=90°,Z.ZECD=

ZACO,：.tanAACO=tanZECD,BP解得人=

OCCF4t

0(舍去)，叁=3,...43,I：②当点E位于直线。上方时，过点

石作直线CD,垂足为F',设网S,—/2+S+4),则F'(S,4),

CF=s,石尸=—#+s+4—4=—#+s.根据题意，当NECD=

N4C0时，tanZACO=tanZE,CD,即空=空，—$$得

OCCF'4s

51=0(舍去)，S2=l,•.EL3.所以，点石的坐标为(3,|)或(1，

D-

达标演练检测

1.如图，已知二次函数yuaf+bx+c(aWO)的图象经过4(—1,

0),5(4,0),C(0,2)三点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点。是该二次函数图象上的一点，且满足NQA4=NC4O(O

是坐标原点)，求点。的坐标.

a—b~\-c=0,

解：⑴由题意，得《16a+4b+c=0,解得"=|,抛物线的

c=2,c=2,

表达式为y=—#+，+2.

(2)当点。在工轴上方时，过点。作8〃45交抛物线于点。，如

图.45关于抛物线的对称轴对称，C,。关于抛物线的对称轴对称,

四边形A5DC为等腰梯形，

：.ZCAO=ZDBA,即点。满足条件，.,.DU,2).当点。在％轴

下方时，ZDBA=ZCAO,BD//AC,C(0,2),故可设直线AC的

表达式为>=履+2,把A(—1,0)代入可求得左二2,故直线4。的

表达式为y=2%+2.可设直线的表达式为y=2%+加，把5(4,0)

代入可求得m=-8,故直线BD的表达式为y=2x-8.联立直线BD

y=2%—8,_A

和抛物线的表达式可得1?13解得“-4,或

%=-5,

.•.£>(—5,—18).综上可知满足条件的点。的坐标为(3,

ly=-18,

2)或(一5,-18).

2.(2023济阳一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(%

—3)2+4过原点，与％轴的正半轴交于点A,已知5点为抛物线的

顶点，抛物线的对称轴与入轴交于点D

(1)求。的值，并直接写出4,5两点的坐标；

(2)若尸点是该抛物线对称轴上一点，且N50尸=45°,求点尸的

坐标.

解：(1)将点0的坐标代入抛物线表达式，得

0=。(0-3)2+%解得。=—3,则抛物线的表达式为：y=一士(％

-3)2+4,则点5(3,4),由抛物线的对称性知，点A(6,0).

(2)过点P作PHLOB于点H.在RtAOBD中，OD=3,BD=4,

则OB=5,

则tanNOBD="=曰=tana,则sina=三，设尸”=3x,则BH=4x,

BD45

PB=5x,VZfiOP=45°,则PH=OH=3%,则05=5=5”+。”=

3x-\-4x,则％=£则。。=5。一5P=4—5%=/即点尸的坐标为（3,

1)■

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=%2+"+c与X轴交

于点4(1,0)和点5,与y轴交于点。(0,—4),点P是抛物线

上的动点(不与点4B,。重合).设点尸的横

坐标为阴，过点尸作尸。，％轴，垂足为点D

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)若点尸在第三象限，且tanNCPL>=2,求机的值.

解：(1)把点。(0,—4)代入y=，2+bx+c,得c=-4.

把点4(1,0)代入》二学十法一4,得。二(

抛物线的函数表达式为丁=豕+|%—4.

(2)设尸(m,1m2+|m-4),如图，过点C作CGJ_P。于点G,

则NPGC=NCGD=90°.(0,—4),，OC=4.二•尸。_Lx轴，

，NPQO=90°.又:NZ)OC=90°,.•.四边形。OCG是矩形，.'.DG

=OC=4,DO=CG=—m,PG=yG—yp=-4—|m—4^=

--nr--m.VtanZCPD=2=—=2,-8=2,解得mi=—",

33

PG-刎2一孰8

m2=0(舍去)，故根的值是一；

8

4.如图，抛物线y=~^+x+4与％轴交于A,B两点(点A在

点B的左侧)，与y轴交于点C,连接BC,点P是抛物线上的

一个动点，且点P的横坐标为t(0<f<6),连接AP,过点A作

BC的平行线交抛物线于点D,连接DP.

(1)求点A,B,C的坐标；

(2)当t=2时，求证：XADP是直角三角形;

(3)连接PC,过点P作PE±PC,交直线AD于点E,连接AC,

CR是否存在点P,使得APCE与△AOC相似？若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由.

(1)解：在y=—中，令y=0,得一，2+%+4=0,解得

修=-2,应=4.•.•点4在点5的左侧，/.A(-2,0),B(4,0).

令％=0,得y=4,：.C(0,4).

(2)证明：由(1)知5(4,0),C(0,4),

：.OB=OC=4,：.ZCBO=45°.

,JAD//BC,：.ZDAB=ZCBO=45°,

/.设直线AD的表达式为y=­x-\-b,

将点A(—2,0)的坐标代入，得0=2+/?,