2025年中考数学压轴题专练：新定义问题（含解析）

2025年中考数学压轴题专练：新定义问题

1.对于任意实数。，6,定义一种新运算：a^b=\a~b例如：3%=3-1=2,

[a+b-6(a<2b)

5X4=5+4-6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

⑴4M=,(-1)※(-3)=；

⑵若(3x+2)X(xT)=5,求尤的值.

2.定义两种新运算，规定：«★/?=-Ja-b,a^b=\[a+b,其中a,6为实数且a»0.

⑴求(5刈(5刈的值；

(2)化简(2尢。(2众72).

3.对任意实数定义一种新运算“㊉”，规定：a㊉。=/5+2必.如：2©l=22xl+2x2xl=8.

⑴求3㊉(-2)的值;

⑵己知x为厄的整数部分，化简并求值：x㊉(-3)+x㊉5；

(3)若2㊉相比-2㊉机小，请直接写出一个满足条件的加值.

4.观察下列各式：定义一种新运算"，

13=lx4+3=7,

3)(-l)=3x4-l=ll,

54=5x4+4=24,

4(-3)=4x4-3=13,

(-2)(-5)=(-2)x4-5=-13,……

(1)写出一般性结论：ab=；

(2)如果awb,那么abba(填“=”或“w”)；

(3)先化简，再求值：(尤-历(2x+y).其中x=y=2024.

5.对有理数a,6,定义一种新运算T：规定T(a,6)=ab3-4ab.例如T(2,l)=2xl3-4x2xl=-6.

(1)求T(3,-D的值;

⑵求7U+L2)的值.

11?2

6.学习情境•新定义观察下列两个等式：2--=2x-+l,5--=5x-+l,给出定义：我们称

3333

使等式。-6=必+1成立的一对有理数a,b为“共生有理数对"，记为(a,b),如数对

，都是“共生有理数对”.

(1)判断数对(-2,1),0,g］是否为“共生有理数对“，并说明理由；

(2)若(相,〃)是“共生有理数对"，且m-72=4,求(7户的值;

(3)若(〃?,〃)是“共生有理数对"，则(-2”,-2〃?)是“共生有理数对”吗？请说明理由.

7.对于有理数a,b,定义了一种新运算“※”为=

如：5X3=2x5-3=7.

⑴计算：①2※(-1)=_,②㈠)※(-3)=_；

⑵若3※机=-l+3x是关于尤的一元一次方程，且方程的解为尤=2,求机的值；

(3)若4=-丁+3%2-1+1,B=-X3+6X2-X+2,且4派8=-3,求的值.

8.新定义：我们把抛物线>="2+加+。(其中abwO)与抛物线y=加+ax+c称为“关联

抛物线”.例如：抛物线>=2尤2+3天+1的“关联抛物线”为：y=3d+2x+l.已知抛物线

G:丁=4加+仪+4a-3(口工0)的“关联抛物线”为Q.

⑴写出c2的解析式（用含。的式子表示）及顶点坐标；

⑵若a>0,过x轴上一点p,作x轴的垂线分别交抛物线G，G于点”，N.

①当ACV=6a时，求点尸的坐标；

②当a-4Wa-2时，g的最大值与最小值的差为2a,求。的值.

9.对x,y定义一种新运算T,规定T（x，打=舞；（其中。、6均为非零常数），这里等

式右边是通常的四则运算，例如：7（。，1）=葭°¥：1=6.

2x0+1

⑴已知T（L—1）=—2,7（4,2）=1.

①求。、b的值；

②若关于加的不等式组2。；恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；

⑵若T（x,y）=T（y，x）对于任意实数无、y都成立［这里T（x，y）和T（y，x）均有意义］，则a、

6应满足怎样的关系式？

10.已知函数3=2依+左与函数为=--2x+3,定义新函数了=%-%.

（1）若左=2,贝。新函数>=；

（2）若新函数y的表达式为丫=/+6尤一2,则左=,b=；

⑶设新函数y顶点为（九”）.

①当上为何值时，”有大值，并求出最大值;

②求w与m的函数表达式.

11.新定义：已知关于x的一元二次方程4尤2+4x+C]=。的两根之和％+/与两根之积，xr-x2

分别是另一个一元二次方程的尤2+匕/+°2=。的两个根，则一元二次方程+=。称

为一元二次方程6尤2+4无+Q=。的“再生韦达方程”，一元二次方程+bix+cl=。称为"原

生方程”.

比如：一元二次方程f-2x-3=0的两根分别为％=3,%=-1,则再+尤2=2,%“2=-3,所

以它的“再生韦达方程”为d+尤_6=0.

(1)已知一元二次方程/―5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；

⑵己知“再生韦达方程"x2+x-30=0,求它的“原生方程”.

12.新定义：我们把抛物线>=办2+法+。(其中"工0与抛物线>=/+办+C称为“关联

抛物线”，例如，抛物线y=2尤2+3x+l的“关联抛物线”为y=3x2+2x+l已知抛物线C1：

y=4ax2+ax+4a-3(a>0')的“关联抛物线”为C2,G与y轴交于点E.

⑴若点E的坐标为(0,-1),求C1的解析式；

(2)设G的顶点为尸，若△。后尸是以。尸为底的等腰三角形，求点E的坐标;

(3)过x轴上一点P,作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2,于点M,N.

①当MN=6时，求点尸的坐标；

②当时，G的最大值与最小值的差为2a,求a的值.

13.定义：在平面直角坐标系中，点(小,〃)是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量

大于m的部分关于直线x="的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共

同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点(办〃)的“派生函数例如：图

①是函数y=x+i的图象，则它关于点(0,1)的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函

x+1(%>0)

数”的解析式为>=

一x+l(x<0)

图①图②

⑴直接写出函数>=工+1关于点(1,2)的“派生函数”的解析式.

⑵点M是函数G:y=-d+4x-3的图象上的一点，设点M的横坐标为机，G'是函数G关

于点M的“派生函数

①当机=1时，若函数值y'的范围是-Lwy'wi,求此时自变量x的取值范围;

②直接写出以点c(-l,-l),£>(1,-1)为顶点的正方形ABC。与函数G'的图象只

有两个公共点时，山的取值范围.

14.新定义：我们把抛物线%=ox2+6x+c与抛物线必ix'+or+c(其中必力0)称为“伴

随抛物线”.例如：抛物线％=3/+4.X+2的“伴随抛物线”为%=4尤2+3尤+2.已知抛物线

2

G:%=2ax+ax+a-2(a>0)的“伴随抛物线”为C2.

⑴求出G的解析式(用含。的式子表示)及顶点坐标；

⑵过x轴上一点尸，作x轴的垂线分别交抛物线C1,G于点M,N.当MN=12a时，求点P

的坐标；

(3)当a-3VxVa-l时，C?的最大值与最小值的差为2a,求a的值.

15.定义新运算：对于任意实数m、n都有m^n=mn-3n,例如《☆2=4x2-3x2=8-6=2,

请根据上述知识解决下列问题.

(l)x☆2>4,求x取值范围；

⑵若=求x的值；

(3)若方程_n%r=x-6,口中是一个常数，且此方程的一个解为尤=1,求口中的常数.

16.定义：若〃为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为w的点，则称该点为这个函

数图象关于w的“恒值点”，例如：点(1,2)是函数y=2x图象关于3的“恒值点”.

JAJA

图1图2

⑴判断点(1,3),(2,8),(3,7)是否为函数y=5x-2图象关于10的“恒值点”.

(2)如图1,抛物线了=2/+法+2与x轴交于A,B两点(A在2的左侧)，现将抛物线在x

轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示.

①求翻折后A,8之间的抛物线解析式.(用含b的代数式表示，不必写出尤的取值范围)

②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c.

17.定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x=对于任意一个函数，作该函数自变量

大于加的部分关于直线、=团的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于机的部分共同构

成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x的“镜面函数”.例如：图①

是函数y=x+i的图象，则它关于直线尤=0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面

函数”的解析式为y=,也可以写成产W+1.

l-x+l(x<0)

图③

(1)在图③中画出函数y=2x+l关于直线尤=1的“镜面函数”的图象.

⑵函数y=*+2》+5关于直线％=-1的“镜面函数”与直线，=*+m有三个公共点,求机的

值.

(3)已知A(-l,0),8(3,0),C(3,-2),£>(-1,-2),函数y=x?-2〃x+2(〃>0)关于直线x=0

的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求〃的取值范围.

18.我们定义［a,b,c］为函数丫=#+纵+。的“特征数”，如：函数y=2炉-3x+5的“特

征数”是12,-3,5］，函数y=x+2的“特征数”是［0,1,2］,函数尸2尤的“特征数”是［0,

-2,0］.

⑴若一个函数的特征数是【1,-4,1］，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移

1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是.

⑵将“特征数”是10,-也，-1］的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新

3

函数的解析式是.

⑶在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与y轴交于A、B两点,与直线x=-6分别交

于。、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并判断以A、8、C、。四点为顶点的

四边形的形状，且说明理由；

（4）若（3）中的四边形与“特征数”是11,-26,k+；】的函数图象有交点，求满足条件的

实数b的取值范围.

19.定义：在平面直角坐标系宜为中，点（加，〃）是某函数图象上的一点，作该函数图象中

自变量大于m的部分关于直线x=的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的

部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（加，⑶的“派生函数”.

例如：图1是函数丫=》+1的图象，则它关于点（。，1）的“派生函数''的图象如图2所示，且它

x+l(x>0)

的“派生函数”的解析式为y=

—x+l(x<0)

⑵点M是函数Hy=-f+6x-8的图象上的一点，设点M的横坐标为相，2T是函数”关

于点M的“派生函数”.

①当机=1时，若函数值了的范围是-3vyvi,求此时自变量尤的取值范围;

②直接写出以点A(2,2),B(-2,2),C(-2,-2),。(2,-2)为顶点的正方形9CD与函数/T的

图象只有两个公共点时，机的取值范围.

20.定义：对任意一个两位数°,如果。满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零,

那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的

两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为了①).例如：a=12,对调个位数字

与十位数字得到新两位数21,新两位数与原两位数的和为21+12=33,和33与11的商为3,

所以"12)=3.根据以上定义，回答下列问题：

⑴填空：

①下列两位数：60,63,66中，“互异数”为；

②计算：/(23)=；

(2)如果一个“互异数*的十位数字是左，个位数字是2*+1),且/S)=8,求瓦

(3)如果机，〃都是“互异数”，且加+〃=100./(租)+/(〃)的值是否与机有关，请说明理由.

《2025年中考数学压轴题专练：新定义问题》参考答案

1.(1)1;2；

⑵尤=1,

【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可.

【详解】(1)4<3x2,

二4刈=4+3-6=1,

-1>(-3)X2

.-.(-W(-3)=-l-(-3)=2;

故答案为：1；2；

(2)若3x+2N2(x-l)时，即xN-4时，则

(3x+2)—(%—1)=5,

解得：x=l,

若3x+2V2(x—1)时，即X<—4时，贝(！

(3%+2)+(x—1)—6=5,

解得：X=(,不合题意，舍去，

2

..元=1,

【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关

键.

2.(1)4

⑵2-a2

【分析】本题考查二次根式的混合运算.

(1)根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；

(2)根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可.

【详解】(1)解：(5★以5到

=(75-1)(75+1)

=5-1

=4；

(2)解：(2*TZ)(2☆几)

二(0-几)(四+〃)

=2-n2.

3.(1)-30

(2)30

(3)-1(答案不唯一)

【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出

算式.

(1)根据题干提供的信息列出算式进行计算即可；

(2)根据x为旧的整数部分，得出x=3,然后把x=3代入x㊉(-3)+x㊉5列式求解即可；

(3)先求出2㊉〃?=2?"?+2x2/77=8"?,—2㊉〃?=(―2)~a+2x(—2)根=0,2㊉〃？比一2㊉/小，

得出山的取值范围，得出答案即可.

【详解】(1)解：•；a㊉6=01b+2ab，

3©(-2)=32x(-2)+2x3x(-2)

=9x(-2)+6x(-2)

=-18+(-12)

=-30；

(2)解：：3＜配＜4，

又为厄的整数部分，

x=3f

%㊉(—3)+工㊉5

二3㊉(—3)+3㊉5

=32X(-3)+2X3X(-3)+32X5+2X3X5

=9x(-3)+6x(-3)+9x5+30

=—27—18+45+30

=30.

(3)解：*/2@m=22m+2x2m=Sm>

-2㊉，〃=(-2)~，w+2x(-2)〃z=0,

又：2㊉相比一2㊉〃?小，

8m<0,

m<0,

.♦.满足条件的相值可以是-1.(答案不唯一)

4.⑴4a+b

⑵*

(3)6x-3y,-6075

【分析】此题考查了新定义，有理数的混合运算，以及整式的加减，

(1)根据已知等式归纳总结得到一般性结论即可；

(2)利用题中的新定义化简，比较即可；

(3)原式利用题中的新定义化简，把a与6的值代入计算即可求出值.

【详解】(1)解：根据题中的新定义得：ab=4a+b；

故答案为：4a+b；

(2)如果那么ab=4a+b,ba=4b+a,即。b丰ba；

故答案为：卡.

(3)(X—y)e(2%+y)=4(x—y)+(2x+y)=6x—3y

当x=_],y=2024时,

原式=6X,：3X2024=-6075.

5.(1)9

⑵。

【分析】此题考查了有理数的混合运算及整式的加减运算，弄清题中的新定义是解本题的关

键.

(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)原式利用题中的新定义化简即可得到结果.

【详解】(1)解：m-i)

=3X(-1)3-4X3X(-1)

=9；

(2)解:TU+1,2)

=(左+1)x23—4x(上+1)x2

=8伙+1)-8化+1)

=0.

6.不是，卜,；）是，见解析

（2）-64

（3）不是，见解析

【分析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵

活运用所学知识解决问题.

（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；

（2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；

（3）根据“共生有理数对”的定义即可判断.

【详解】（1）解：（-2,1）不是“共生有理数对”，（3,；］是“共生有理数对”，

理由：因为—2—1=—3,—2x1+1=—2+1=—1,-3W—1,

所以（-2,1）不是“共生有理数对“；因为3-；=|,3x：+l=|,

所以（3,；］是“共生有理数对”；

（2）解：因为（加㈤是“共生有理数对"，且〃L〃=4,

所以加一〃=加2+1,

则mn=3，

所以（-4广=（-4）;-64；

（3）解：（-2〃,-2%）不是“共生有理数对”,

理由：因为—2M—(—2m)=—2n+2m=2(m—«),(—2w)x(—+1=4〃zw+1,

又（m,〃）是“共生有理数对”，

所以加一〃=加2+1,

所以2（m-n）=2（mn+1）=2mn+2,

而2mAz+2不一1定等于4zm+l,

所以(-2〃,-2m)不是“共生有理数对”.

7.(1)5,-5

(2)m=1

(3)2x3+2x=6

【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程.

(1)根据题中定义代入即可得出；

(2)根据x=2,代入题中定义，解方程即可求解；

(3)先利用整式的加减求得人※^的值，得到尤3+x=3,再整体代入即可求解.

【详解】⑴解:根据题意：2※(-l)=2x2-(-1)=5；

㈠)※(-3)=2x(T)-(-3)=-8+3=-5；

故答案为：5,-5；

(2)解：'：x=2,

**•—1+3x=—l+3x2=5,

・.・3※M=—l+3x=5

2x3—m=5,

解得m=l；

(3)角军：由题意入※^=2(—丁+3X2—兀+1)—(—九3+6%2—%+2)

——+6/—2%+2+工，—+x—2

——尤3—%,

・.,眯5=-3,

-%3一元=—3,BPx3+x=3,

2x3+2x=2(d+%)=6.

8.(l)y=办2+4依+4〃一3(.wO),顶点为(一2,-3)

(2)①尸(—1,0)或(2,0)；②〃=2—0或。=&-

【分析】(1)根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求

得顶点坐标；

（2）①设P（p,O）,贝！JM（P，4"+Q〃+4〃-3）,N（p,a/+4乎+4〃-3）,根据题意建立方

程解方程即可求解；

②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程

求解即可.

【详解】（1）解：抛物线G：y=4办办+4〃—3（"0）的“关联抛物线”为

根据题意可得，Q的解析式,=依2+4av+4a—3（aW。）

y=ax2+4av+4a-3=a（x+2）2-3

顶点为（-2,-3）

（2）解：①设P（〃,0）,则M（p,4印？+印+4々一3）,N（p,印2+4印+4々一3）

MN=,即2+即+4a-3-（即2+4即+4〃-3）|

二B叩2-3（^1

MN=6a

^ap2-3同=6a

awO

p?-p=±2

当p2-P=2时，

解得P1=-1,Pi=2

当p?-p=-2时，方程无解

.•.尸（—1,0）或（2,0）

②一C?的解析式y=依2+4ar+4a_3（。w0）

y-ax2+4ax+4a-3=a（x+2）2-3

顶点为（-2,-3）,对称轴为x=-2

a>0,

ci—2>—2

当（一2）—（a—4）..a—2—（—2）时，即2,1时，

函数的最大值为Q（a-4+2）2—3,最小值为_3

C2的最大值与最小值的差为2a

a（a-2）2=2a

awO

a-2=

解得4=2—0,%=2+0（4,1,舍去）

二.Q=2-A/2

当（一2）—（〃-4）<〃一2—（一2）时，且〃一4<—2即lvav2时，

函数的最大值为々（-2+2）2-3,最小值为_3

G的最大值与最小值的差为2a

a3=2a

awO

a=+A/2

解得4=V2,6Z2=—y/2（1<tz<2,舍去）

/.a=^2

当a-4...-2时，即a.2时，抛物线开向上，对称轴右侧>随1的增大而增大，

函数的最大值为Q（a—2+2）2—3=d—3,最小值为Q（〃—4+2）2—3=a（a—2）2—3

G的最大值与最小值的差为2〃

3-a（a-2）+3=2Q

即a3—Q（〃—2）2—2a=0

awO

即a2-（a-2^-2=0

3

解得。=5（a.2舍去）

综上所述，tz=2-V2^tCi=^2•

【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的

关键.

_I65=1_1

9.⑴①6=3；②-2"<-§

（2）a=2b

【分析】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，

弄清题中的新定义是解本题的关键.

（1）①已知两对值代入T中计算求出。与6的值；

②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出P的范围即可;

（2）由T（x,y）=T（y,x）列出关系式，整理后即可确定出。与6的关系式.

【详解】（1）①由T（L—1）=—2,7（4,2）=1得

axl+》x（-l）ax4+bx2

------------------=-2,=],

2x1-12x4+2

a-b=-2Q=1

，解得

4〃+2b=10b=3

②由得小,y）=普，则不等式组

2m+3（5-4m）<4

T（2m,5-4m）<44m+5-4m

T（m,3-2m）>p,可化为'

m+3（3-2m）

、2m+3-2m'

[-10m<5

整理得工2Q，

[-5m>3p-9

解得一gw机<ye.

\T（2m,5-4m）<4

:不等式组°：，恰好有3个整数解,

I1\m3-2m）>p

・•・其整数解为0,L2,

••.2<2Z也3.

5

解得-2VP<—g.

（2）VT（x,y）=T（）,无）对于任意实数x,y都成立,

.ax+by_ay+bx

°•2x+y2y+x'

整理得(办+的)(x+2y)=(ay+bx)(2x+y),

即(a—2与无2+(2人—a)y2=。，对于任意实数羽》都成立，

fa-2Z?=0

故Kn，

\2b-a=0

：.a=2b.

10.(1)X2-6X+1

(2)5,-12

317

(3)①当Z=一万"时，〃最大值=1；®n=—nr—m+4

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题：

(1)将左=2代入函数X=2履+%,得必=4%+2,即可求出结果；

(2)根据定义求出新函数得y=/一2(左+1)%+3-左，和题目所给的＞=%2+"一2对比，从

而求出无和b的值；

(3)①利用配方法将(2)中的新函数解析式写成顶点式y=(x-女-1尸-左2一3k+2,得到

顶点坐标的表达式，即可求出几的最大值；

I—k+]

②根据①中的关系式一7207C，将左=根-1代入〃=-^―3k+2即可求出结果.

\n=-k-3左+2

【详解】(1)解：当左=2时，=2kx+k=4x+2,

•・•函数%=f—2x+3,定义新函数丁=%-%，

**•y-—2x+3—4x—2-—6x+1,

故答案为：x2-6x+l;

(2)解：・・•函数％=2日+左与函数%=/-2x+3,定义新函数＞=为一％，

・•・新函数》的角军析式为y~~2.^+3—2Ax—k=炉—2(左+1)元+3—左,

•・,新函数y的解析式为y=/+"-2,

・••匕=-2(%+1),3—k=—2,

k=59b=—12，

故答案为：5,-12；

（3）解：①由（2）知，新函数解析式为y=/一2（左+1）%+3—左=（%—%—1）—左2—3左+2,

:新函数>顶点为（私〃），

・*\n=-k2—3k+2，

：.-k2-3k+2=-(k+^

n=।+*

'/-l<0,

317

当％=一/时，〃最大值=1；

m=k+l

②由①知,

n——左2—3k+2

将％=”2—1代入力=-左2_3左+2得：〃=一（九一1）2—3（加一1）+2

n=—m—m+4-

11.（1）X2-11X+30=0

（2）y2+6y+5=0ggy2-5y-6=0

【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌

握根与系数的关系是解题关键.

（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出百+%=5,占=6,然后根据新定义求解即可;

（2）令它的“原生方程”两根分别为%,%，根据题意得出%+%=-6,%%=5,或

%+%=5,%•%=-6,然后求解即可.

【详解】（1）解：解d-5*+6=0

得为=2,3=3,

则%+%2=5,石•兀2=6,

所以一元二次方程尤2-5尤+6=0的“再生韦达方程”为Y-（5+6）x+5X6=。,

即%2-11X+30=0；

(2)解/+%-30=0得%=—6,无2=5,

令它的“原生方程”两根分别为必,必，

则X+%=-6,%•%=5,或％+%=5,%•%=-6.

当%+%=-6,%•%=5,则所求“原生方程”为_/+6〉+5=0；

当%+%=5,%•%=-6,则所求“原生方程”为y2-5y-6=0.

综上所述，它的“原生方程”为丁+6y+5=0或y2-5y-6=0.

,1

12.(1)y=2x~+—x—1

⑶①P（T。）或P（2,0）,②2-0或0

【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出g的解析式，再将该解析式化成顶点

式，可得出a的顶点坐标；

（2）根据“关联抛物线”的定义可得G的解析式，之后得到函数的顶点，过点歹作切，y轴

于点连接EF,进而得到OE,EH,FH,于是根据所。炉即可得到结论；

（3）①设点P的横坐标为优，则可表达点M和点N的坐标,根据两点间距离公式可表达

的长，列出方程，可求出点尸的坐标；

②当a-4V-2Va-2时得出C?的最大值和最小值，进而列出方程，可求出。的值.

【详解】（1）解：与y轴交点的坐标为E（0,-1）,

4。-3=-1,解得a=L

2

的解析式为y=2尤2+]-1；

（2）解:根据“关联抛物线”的定义可得G的解析式为y=a/+4依+4“一3,

y=ax2+4at+4a—3=a（x+2）-—3,

/.G的顶点F的坐标为（-2,-3）

易得点E（0,4a-3）,

过点尸作轴于点H,连接所.

OE=3—4a,EH-4a,FH=2,

9：OE=EF,

：.EF2=OE2,BP22+（4a）2=（3-4a）2.

解得“=三，

24

•••点E的坐标为（o,-

（3）解：①设点P的横坐标为相，

•・,过点尸作工轴的垂线分别交抛物线G，。2于点M，N,

/.MN=^am2+am+4〃-3-（a疗+4am+4。一3）卜|3«m2—3«m|

•：MN=6a,

：.|3（7m2-3arr^=6a,解得m=一1或m=2,

・・・P（-1,0）或P（2,0）；

②；Q的解析式为y=a（x+2）2—3,

，当元=-2时，y=-3f

当x=a—4时，y=a（a-4+2）2一3=々（〃一2了一3.

当X=Q-2时，y=a(Q-2+2)-3=〃^—3.

根据题意可知，需要分三种情况讨论：

I.当〃一4V—2VQ—2时，0<。<2,且当。<々<1时，函数的最大值为〃（〃一2）2一3；函数

的最小值为-3.

・，・a（a-2）-3-（-3）=2〃，解得a=2-V5或Q=2+V^（舍）或a=0（舍）；

当1V1V2时，函数的最大值为〃3—3,函数的最小值为-3.

二・"一3—（―3）=2a,解得a=&或〃=一0（舍）或a=0（舍）；

II.当-2«〃-4«a-2时，«>2,函数的最大值为d—3;函数的最小值为2了-3,

Y—3——2）—31二2〃，解得〃（舍）或a=0（舍）；

III.当〃一44。一2«—2时，«<0,不符合题意，舍去.

综上，Q的值为2-0或血

【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二

次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出G的解析式，掌握二次函数图象的性

质是解题关键.

x+l(x>1)

13.⑴尸

-x+3(x<l)

⑵①当-应W2+&时，九②|<“<1或,匕』

【分析】（1）根据“派生函数”的定义在x>l的部分任取一点（2,3）关于直线x=l的对称点为

（0,3）,运用待定系数法即可得到答案；

⑵①当机=1时，G'的解析式为广「尤V]中：。，分另怵出炉+4元一3=-1,解得

[-厂+l（x<1）

X=2-6,或X=2+E；X2+1=-1,解得x=-后或》=也；即可得到当-或

0<：<2或2Vx<2+四时，

②求出函数y=-/+4x-3关于x对称的函数解析式为y=-（x-2/〃+2）2+1,再由

2%—2>1时，即根A：,当x=l时，-（3-2m）2+l>-l,即主声<根<士?1,可得

土不徨＜相＜士乎时G'与正方形ABCD有两个交点；当x=—l时，-（1-2机y+l＜-l,即

加＜上史或，力＞91,可得根＜匕，1,即可求解.

222

【详解】（1）解：函数＞=x+l在彳＞1的部分任取一点（2,3）关于直线尤=1的对称点为（0,3）,

设函数y=x+i图象关于X=1对称的部分的图象解析式为丫=履+6,

k+b=2

将（1,2）,（0,3）代入解析式，得:

6=3

k=—l

解得:

b=3

x+l(x>l)

•••“派生函数”的解析式为y=

-x+3(x<l)

（2）解：①•・,当加=1时，图像Gy=—炉+公―3=—（%—2了+1的顶点坐标为（2,1）,

关于直线x=l的对称点坐标为：（0,1）,

G丫=一%2+4%—3=—（%—2）2+1关于直线％=1对称的图像解析式为：丁=一/+1,

-炉+4x-3(%21)

AG'的解析式为y=

—+1(X<1)

令y=-l,-x2+4x-3=-b

解得：％=2-V5或x=2+，

令y=—i,-%2+i=-b

解得x=—A/2或x=V2，

结合图像可得：当-或。9＜2或2Vx＜2+四时，TVyCl；

②函数y=-Y+4x_3的顶点为（2,1）,

点（2,1）关于、=机对称的点的坐标为（2机-2,1）,

函数厂-/+4彳-3关于x=机对称的函数解析式为y=_（x_2〃2+2y+l,

3

当2根—2＞1时，即加〉一，

2

当x=l时，一(3—2加了+1>—1,gp3-V2<m<3+V2

22

机<2±91时G'与正方形ABC。有两个交点;

22

1-及t1+血

当犬=—i时，一(i—2根y+i<—1,即m<-----取用〉------

22

1-5/2

••m<

2

时G'与正方形ABC。有两个交点.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称

转化为点的对称，借助图象解题是关键.

14.(1)%=。(尤+1)2—2；(-1,-2)

⑵尸(-3,0)或P(4,0)

(3)。的值为2-夜或也

【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质；

(1)根据“伴随抛物线”定义求抛物线的函数表达式和顶点坐标即可；

(2)设点P。,。)，贝I]Af2〃+af+a—2),N^t,at"+2at+a—2^,根据MV=12<7列方程求

解即可；

(3)分别求出顶点、x=a-3,x=a-l时函数值，再根据对称轴与。一3VxVa—1的位置

分类讨论，确定最大值和最小值，最后列方程求解即可.

【详解】⑴根据“伴随抛物线”定义可知，抛物线G的函数表达式%=加+2仆+。-2；

22

y2=ax+2ax+〃-2=a{x+1)-2,

顶点坐标为(-1,-2)；

2

(2)设点尸”,0),因为a:y=2QY+〃x+〃一2(。。0),C2:y=ax+2ax+a-2,

.M仅,2at2+at+a—2),N(，,a/+2at+a—2),

/.MN-12〃厂+at+a—2—at?—2at—a+二a1—4,

MN=12a

〃卜之_^|=l2a,

/./t—12=0或/T+12=0,

当，+12=0时，判别式A=l—144v0,

二.方程无解；

当—12=0时,解得。=4,t2=-39

・••尸(-3,0)或P(4,0)；

(3)C2y=a(x+-2,

・二对称轴为x=T,当％=—1时，产―2.

当x=a—3时，y=a(a-3+1)2-2=a[a-2)2-2；

当x=a—1时，y—a(a—1+1)2—2=—2；

根据题意可知，需要分三种情况讨论：

I.a-3<-l<a-l,即0<a<2时，

若一1-(〃-3)>,BP0<a<1,

则丁大二〃2)2—2；y小=—2,

—2了一2—(—2)=2a,

解得(7=2-0或4=2+后(舍)或4=0(舍)；

若_1_(a_3)va_1_(-1),即1vav2时,

y大="_2；为、=-2,

Q3_2_(_2)=2a,

解得。=0或a=-&(舍)或a=0(舍)；

II.当一lVa—3Va—1,即aN2时，

y大=。3-2；为、=a(q_2)2-2.

Q3—2-[a（Q-2）2-21—2Q,

3

解得4=7（舍）或4=0（舍）；

2

III.当〃一34[一1«—1,即时，y大=。（。-2>—2,y小="一2

/.Q（Q-2）2_2-（/_2）-2a,

解得（舍去）或4=0（舍去），

综上所述，〃的值为2-血或&.

15.(1)%>5

(2)%=—9

(3)1

【分析】(1)根据题意列出不等式进行计算即可；

(2)根据题意列出方程进行计算即可；

(3)设口中的常数为y,根据题意列出关于y的方程，解方程即可.

【详解】(1)解：：x^2>4,

2x—3x2>4，

(3)解：设口中的常数为几根据题意得:

xy-3y=x-6,

,/此方程的一个解为x=l,

y-3y=1—6,

解得：y=|.

【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意

列出相应的不等式或方程.

16.⑴(2,8)是函数y=5x-2图象关于10的“恒值点”.

（2）①y=-2尤2-法-2；②,J+“2-曳或,/SY

48

【分析】（1）由（L3）,（2,8）在函数丫=5.—2图象上，（3,7）不在函数图象上，而1+3=4,

2+8=10,可得（2,8）是函数丫=5彳-2图象关于10的“恒值点

（2）①由抛物线丁=2/+/+2,再根据关于尤轴对称的特点可得答案；②新图象分两部

分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点''时，尤+2/+人尤+2=c，尤-2元之-6元一2=c,

整理得：2x2+bx+2=—X+CS£-2%2-bx-2=—x+cj而V=-彳+。与坐标轴构成的三角形是

等腰直角三角形，求解/"当〉=-％+。过8点时，满足条件；

I4J

c=3'〃T8,当〉=_工+，与y=_2尤2-法-2只有1个交点时，满足条件；

4

一2/一^一2=—尤+c即2犬+0—1）*+。+2=0有两个相等的实数根，从而可得答案.

【详解】（1）解：•••（L3）,（2,8）在函数〉=5犬-2图象上，（3,7）不在函数图象上，

而1+3=4,2+8=10,

•••（2,8）是函数、=5犬-2图象关于10的“恒值点”.

（2）①；抛物线y=2x?+6尤+2,

.••翻折后的抛物线的解析式为-y=2/+桁+2,

；•翻折后的解析式为：y=-2x2-bx-2,

②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时,

.,.整理得：2x2+bx+2=—x+c或—2d-6x—2=-x+c,

而丁=一元+。与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，

令y=2x2+bx+2=0,

解得：x/土后可

4

，心处在弓、，

I4J

当丁=-X+C过3点时，满足条件；

.-b+y/b2-18

••c=-----------，

4

当y=-x+c与＞=-2/_云_2只有1个交点时，满足条件；

•••一2尤2—法一2=-x+c即2/+0—l)x+c+2=0有两个相等的实数根，

/.(ZJ-1)2-4X2(C+2)=0,

解得：cJ-215；

8

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，二次函数的应用，利用待定系数法求解抛物线的解析

式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

17.(1)图象见解析

⑵机的值为3或亍

313

(3)«的取值范围为彳＜〃＜2或〃＞二

【分析】(1)根据“镜面函数”的定义画出函数y=2x+i的“镜面函数”的图象即可；

(2)分直线y=x+相过“镜面函数”图象与直线龙=-1的交点和与原抛物线相切两种情况求

解即可；

(3)先求出丁=f-2«%+25＞0)关于x=o的“镜面函数”解析式，再分x=_l以及顶点在

V=-2上的情况和X=3时，列出不等式求解即可.

【详解】(1)解：如图③，即为函数函数y=2无+1关于直线x=i的“镜面函数”的图象,

(2)对于y=-尤2+2x+5,当x=0时，y=5,

；・函数y=-/+2x+5与〉轴的交点坐标为(。，5),

当％=—1时，y=—(-I)?+2x(-l)+5=2,即函数y=—炉+2x+5与x=T的交点为(T,2),

当直线＞=x+7”经过点(-1,2)时，m=3,

根据对称性，此时，函数_¥=-尤?+2尤+5关于直线x=-L的“镜面函数”与直线y=x+?"有三

个公共点；

当直线＞=%+相与原抛物线只有一个交点时，也有三个公共点，

,,X-\-YYl——X?+2x+5,

整理得，%2—x+2+m-5=0,

止匕时，A=(-l)2-4x(m-5)=0,

21

解得，m=—,

4

y=0时，A=(-l)2-4x(m-5)＞0,

综上，加的值为3或二21；

4

x2—2nx+2（几>0,x<0）

y=<,

x2+2nx+2（〃〉0,x>0）

当％=-1时，y<0,

1—2rl+2v0,

3

解得，n>~

2

当y=Y一2Hx+2（〃>0）的顶点在CD上时，-―加-=一2

4

解得〃=2或〃=-2（舍），

此时，函数y=/_2加+2（心0）关于直线x=o的“镜面函数”图象与矩形ABC。的边有5个

交点，不合题意，

•.一<〃<2,

2

当元=3时，y<-2,

9—6〃+2v—2,

解得，心?13;

6

综上，〃的取值范围为3:<〃<2或〃〉13

26

【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将

图象的对称转化为点的对称，数形结合是解题的关键.

18.