2025年中考数学压轴题二轮复习：中点的构造（含解析）

第2讲中点的构造

前言：中点是几何综合题常见条件之一，对中点的分析思路有三：倍长中线、直角三角形斜边中线、中位线.

结合具体条件，选择恰当的方法，必要时合理添加辅助线.

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倍长中线

当出现中点条件时，可将中线延长一倍，即倍长中线.

作图分析：

如图1,在小ABC中，AD是中线.

延长AD至点E使得DE=AD,

贝必ADC^AEDB.

线段关系：AC=BE,AC/7BE.

如图2,在小ABC中，E是AB边一点，D是BC中点，连接DE.延长ED至点F使得DF=DE,

贝必BDE^ACDF.

线段关系：BE=FC,BE〃FC.

解读：倍长中线后可得一组旋转型全等.转化为两条线段平行且相等.即转移了线段位置，探究几何图中线段

间的数量关系，一般需先有位置关系.

引例1：问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1,△ABC中，AB=6,AC=4,AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长A

D至I」E,使DE=AD,连接BE,证明△BEDgACAD,经过推理和计算使问题得到解决.

(1)小红证明ABED乌ZM2AD的判定定理是：;

(2)AD的取值范围是;

(3攻口图2,AD是△ABC的中线，在AD上取一点F,连结BF并延长交AC于点E,使AE=EF.

求证：BF=AC.

A

解析:(1)SAS;

(2)1<AD<5;

⑶延长AD至点M使得DM=DF,连接CM,

在ABDF和4CDM中，

BD=CD

<ZBDF=/CDM,1.4BDF迫丛CDM(SAS),

DF=DM

ABF=CM,ZBFD=ZM,

VAE=EF,AZEFA=ZEAF,

JZBFD=ZEFA=ZEAF,

AZM=ZEAF,・・・CM=CA,又CM二BF,

ABF=AC.

2斜边中线

定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半.

如图1,点M是RtAABC斜边AB中点则MC=^AB.

如图2,点M是AB中点则MA=MB=MC=MD,A、B、C、D四点共圆.

3中位线

(1)中位线定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半.

如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC边中点.

贝!IEF||BC,EF=ifiC.

(2)中位线构造

如图，在4ABC中，点E是AB边中点.

构造:取AC中点F,连接EF.则EF〃:BC,EF=|BC.

如图.在^ABC中，点B是AE中点点C是AF中点

构造：连接EF.贝UBC||EF,BC=

如图，在4ABC中，点B是AE中点

构造延长AC至点F使得CF=AC,连接EF.

贝！IBC〃EF,BC=|EF.

EZ------------1尸

弓例2:如图，在四边形ABCD中,NABC=90。，AB=BC=2V2E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、E

F.若四边形ABCD的面积为6贝以BEF的面积为()

解析：连接AC,则ACM,分别过B、D作AC的垂线，垂足分别为M、N，则BM=2,SABCD=SABC+SACD=6

其中，BABC=；x2应x2《=4,，S“8=2,：.DN=1,

在4BEF中，EF==2,EF边上的高为

15155

BM+-DN=l，.-.SBEF^-x^-,

...选C.

中点四边形

已知：如图.E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、BC、CD、DA边的中点.

结论：四边形EFGH是平行四边形，且^EFGH=5S4BO

特别地，

若AC=BD,则平行四边形EFGH是菱形；

若AC±BD,则平行四边形EFGH是矩形.

引例3:如图，任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，对于四边形EFGH的形

状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）

A.当E、F、G、H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

B.当E、F、G、H是各边中点，目ACLBD时，四边形EFGH为矩形

C.当E、F、G、H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E、F、G、H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

解析：选D.

真题演练

L如图.在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周

长为18,则OF的长为.

2.如图，在四边形ABCD中,AB=CD,AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接E

F、FG、GH、HE,则四边形EFGH的形状是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

3.在4ABC中,AB=6,点D是AB的中点，过点D作DE〃BC,交AC于点E,点M在DE上，且ME=：

DM,当AM±BM时,则BC的长为.

4.如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,

M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=.

5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5,BC=8.E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点且/BFC=9

0°.连接AF并延氏交CD于点G.若EF〃AB,则DG的长为（）

53

A.-B.-C.3D.2

22

6.如图，矩形纸片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,E为边CD上一点.将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C

恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM±BE,垂足为点M,取AF的中点N,连接MN,则MN=

7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x与双曲线y=:交于A、B两点,P是以点C（2,2）为圆心，半径长1的

圆上一动点，连结AP,Q为AP的中点.若线段0Q长度的最大值为2,则k的值为()

8.如图，已知二次数y=-4的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,©C的半径为花，P为。

C上一动点.

(1)点B、C的坐标分别为B()、C();

(2)连接PB,若E为PB的中点，连接0E,则0E的最大值是________.

9如图，在△ABC中，ZACB=6O°,AC=1,D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长，则

DE的长是________.

10.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图G是4ABC的重心.

求证：AD=3GD.

如图1,在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转18

0。得到AEBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断.

中线AD的取值范围是.

(2)问题解决:

图2,在4ABC中，D是BC边上的中点,DELDF于点D,DE交AB于点E.DF交AC于点F.连接EF.

求证：BE+CF>EF;

(3)问题拓展：

如图3,在四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶点作一个70。角，角的两边分别

交AB,AD于&F两点，连接EF,探索线段BE、DF、EF之间的数量关系，并加以证明.

12.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

S1图2

(1)如图1,四边形ABCD中.点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证：中点四边形EF

GH是平行四边形；

(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,NAPB=NCPD,点E、F、G、H分别为边AB、

BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

(3)若改变(2)中的条件，使/APB=NCPD=90。，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)

13.在4ABM中，ZABM=45°,AMLBM,垂足为M,点C是BM延长线上一点，连接AC.

(1)如图1,若AB=3MBe=5,求AC的长；

(2)如图2,点D是线段AM上一点MD=MC,点E是△4BC外一点，EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,

且点F是线段BC的中点，求证：ZBDF=ZCEF.

14.若△ABCffiAAED均为等腰三角形，且/BAC=NEAD=90。.

⑴如图1,点B是DE的中点判定四边形BEAC的形状，并说明理由；

⑵如图2,若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF=CD.

求证：①EB=DC,

®ZEBG=ZBFC.

15.在小ABC中，P为边AB上一点.

⑴如图1,若/ACP=/B,求证：AC2=AP-AB-,

⑵若M为CP的中点AC=2.

①如图2,若4PBM=^ACP,AB=3,求BP的长；

②如图3,^ZABC=45°,ZA=ZBMP=60°,直接写出BP的长.

图3

第2讲中点的构造

解析：；F点是DE中点，.•.£1?=，£)£1=DF,；Z\CEF的周长为18,CE=5,；.CF+EF=13,即DE=13,.\CD=12,

BC=12,.*.BE=7,OF=1,gpOF的长为!

2.C.

3.8.

解析：由题意得：DM=|AB=3,ME=1,DE=4,BC=8.

13

44.—

12

解析：连接CF,则MN为4CDF中CF边所对的中位线，

解析：如图,延长BF与CD延长线交于点M,易证△AFBgAGFM,；.GM=AB=5,BF=MF,又/BFC=90。,

；.MC=BC=8,；.CG=3,DG=2,故选D.

6.解析：取BF中点P,连接PM、PN,贝!JPM=PB=4cm,.,./PMB=NPBM=/CBM,.^.PM〃BC,：点N是AF中

点,ABF中AB边中位线，PN||AB,PN=^AB=3cm,，PM_LPN,MN=V32+42=5cm,®(MN=5cm.

解析：连接PC、CB、PB,•••OQ最大值为2,

；.PB最大值为4,；.PC+CB=4,又PC=1,；.CB=3,设点B坐标为(m,-m)(m>0),两点间距离公式可得:

(2-m)2+(2+m)2=9'

解得：山=:，点8坐标为(亭―丹…丹故选A.

8.解析:⑴点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,-4);

⑵连接AP,则OE=豺P,当AP过点C时，AP取到最大值5+V5,OE的最大值为竽.

9.”

2

解析：延长BC至点F使得CF=CA,DE平分△ABC的周长,，点E是BF中点又点D是AB中点,DE=

AF,ZACB=60°,AZACF=120°,又AC=1,；.AF=A/3:.DE

10.解析:取AD中点F,连接EE则EF〃BC,EF=：BD,又.BD=CD,，EF=第D「.・EF〃BC,・・・Z^EGFsZ\CGD,・•・

FGPP-1-1O-1

-=-,.：DG^-.-.AD=-AD^AD=3GD.

DG

H.解析：⑴2<AD<8;

⑵延长FD至点G使得DG=DF,连接EG、BG,VDE垂直平分FG,/.EF=EG,在4CDF和4BDG中.

；.CF=BG,：BE+BG>EG,，BE+CF>EF.

(3)BE+DF=EF.延长AB至点M使得BM=DF,；NABC+ND=180。,；.CDF和ACBM中,(L

ORN,ZCHM,ACDR^AGBM(SAS)0

ZDCF=ZBCM,VZBCD=140°,ZECF=70°,

/.ZDCF+ZBCE=70°,BPZECM=70°,^ACEFCEM中，

CE=CE

•ZECF=ZECM,:△CEFWACEM(SAS),

CF=CM

12.解析：⑴连接AC,F分别是BA、BC的中点,；.EF是△ABC中AC边的中位线，EFB&EF=

同理可证HG〃AC,HG=JAC,AEF^HG,EF=HG,.•.中点四边形EFGH是平行四边形.

⑵菱形.

连接AC、BD,VZAPB=ZCPD,.\ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD,即NAPC=NBPD,在△APC和△BPD中,

LACCOZBPD,.,.△APC^ABPD,.\ACBBD,

•••EF=\AC,EH=}B。,...平行四边形EFGH是菱形.

(3)正方形.

13.解析：(1)由题意得△ABM是等腰直角三角形,：AB=3V2,.\MA=MB=3,又BC=5,；.MC=2,二"=

732+22=g,即AC的长为V13.

(2)延长EF至点G使得FG=FE,连接86.在4CFE和4BFG中，

CF=BF

ZCFE=ZBFG,:ACFE必BFG(.SAS'),

FE=FG

/.CE=BG,ZCEF=ZBGF.

/.ABMD^AAANC(SAS).

；.BD=AC,

又：CE=AC,，BG=BD,.*./BDG=/BGD,，NBDF=/CEF.

14.解析：⑴平行四边形.

丁点B是DE中点,；.AB=1DE=BEZBAE=ZE=45°,ZABE=90°,/.ZBAE=ZABC,；.AE〃BC,ZBAC

=90