2025年中考数学难点一轮复习：圆的基本性质的常考题型（6大热考题型）原卷版

难点07圆的基本性质的常考题型

（6大热考题型）

题型一：圆的基本和最值问题

题型二：垂径定理及其应用

题型三：圆心角、弦、弧之间的关系

题型四：圆周角定理

题型五：圆周角定理的推论和应用

题型六：圆内接四边形

江；、精淮提分

题型一：圆的基本和最值问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•江苏苏州・中考真题）如图，矩形/BCD中，AB=5BC=T,动点£,歹分别从点/,C

同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点。运动，过点£,歹作直线/,过点/作直线

/的垂线，垂足为G,则NG的最大值为（）

\G

B

A.V3

【典例2】（2023•山东淄博•中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活

动.

（1）操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成乜”形图案，如图①.

试判断：△ZC尸的形状为

（2）深入探究

小红在保持矩形N8C。不动的条件下，将矩形CEPG绕点C旋转，若N3=2,AD=4.

探究一：当点尸恰好落在/。的延长线上时，设CG与D尸相交于点M,如图②.求ACW的面积.

探究二：连接/E,取NE的中点H,连接DH,如图③.

求线段长度的最大值和最小值.

EE

图②图③

【变式1-1］（2024•江苏连云港•中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此

重物拉到/点后放开，让此重物由/点摆动到3点.则此重物移动路径的形状为（）

A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线

【变式1-2］（2023•江苏宿迁・中考真题）在同一平面内，已知。。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,

点尸为圆上的一个动点，则点P到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【中考模拟即学即练】

1.（2024・安徽合肥•三模）如图，尸为线段上一动点（点P不与点48重合），将线段/P绕点P顺时

针旋转45°得到线段CP,将线段BP绕点P逆时针旋转45°得到线段DP，连接4D,8C,交点为0.若=6,

点〃是线段42的中点，则。打的最小值为（）

2.（2024•浙江嘉兴•一模）如图，在矩形/8C。中，AB=3,E为BC边上的一个动点，连接/E,点8关于

/£的对称点为B',连接夕。.若夕。的最大值与最小值之比为2,则4D的长为.

3.（2024•江苏南京•模拟预测）如图，点。是Q/上一动点，8为一定点，。随着C点移动而移动，EG为BD

的垂直平分线，NCBD=90°,BD=2BC,EG=ABC,若04半径为2,点3到点/的距离为4,则在C点

4.（2024•河北秦皇岛•一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加.先到的"个同学均匀围成一个以O

点为圆心，1m为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）.

（1）若"=6,则相邻两人间的圆弧长是m.（结果保留兀）

（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移。米，再左右调整位置，使这（〃+2）个同学之

间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧长相等.这（〃+2）个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重

复前面的操作，则每人须再往后移6米，才能使得这（“+3）个同学之间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧

长相同，则=.

a

5.（2024・浙江•模拟预测）如图，以点/为圆心的圆交数轴于2,C两点（点C在点/的左侧，点2在点/

的右侧），若8两点表示的数分别为1,百，则点C表示的数是.

6.（2024•陕西•模拟预测）如图，在矩形/BCD中，AB=2,BC=3,M是平面内一动点，且倒1=1，则

线段的最大值为.

7.（2023・四川乐山•模拟预测）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆,

描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上.

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为x轴，过点。且垂直于横线的直线

为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的同

心圆上时，其坐标为.

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点尸加为正整数，以0P为直径画。是否存在所描的点在。河上，若存在,

求他的值；若不存在，请说明理由.

8.（2024・湖南•模拟预测）如图，在6x6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点.A,8两点均为格点,

请仅用无刻度直尺找出经过4,2两点的圆的圆心。，并保留作图痕迹.

9.（2025・湖北十堰•模拟预测）如图，O。的直径48垂直弦CO于点E,尸是圆上一点，。是8尸的中点,

连接CF交OB于点G,连接BC.

⑴求证：GE=BE；

(2)若4G=6,BG=4,求CD的长.

题型二：垂径定理及其应用

【中考母题学方法】

【典例11（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在。O中，弦NB的长为8,圆心。到的距离OE=4,则。。

B.4cC.5D.572

【变式2-1］（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，。为48的中点，C为拱

门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若/8=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【变式2-2X2024•新疆・中考真题）如图，48是OO的直径，CD是。。的弦，,垂足为E.若CD=8,

OD=5,则BE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2-3］（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在O。中，直径48LCD于点E,CD=6,BE=1,贝!］弦

/C的长为

A

【变式2-4］（2024•江西・中考真题）如图，48是。。的直径，=2,点C在线段N2上运动，过点C的

肱DELAB,将磁沿DE翻折交直线于点R当。E的长为正整数时，线段必的长为.

【中考模拟即学即练】

1.（2023•广东东莞•一模）如图，4B是。O直径，点C在。。上，CD_L4g垂足为。，点E是。。上动点

（不与C重合），点厂为CE的中点，若4D=3,CD=6,则。/的最大值为.

2.（2025•安徽•模拟预测汨知QO的半径为5,48是的弦，尸是弦AB的延长线的一点，若尸/=8,P5=2,

则圆心。到弦48的距离为（）

A.V41B.6C.V30D.4

3.（2024・山西长治•模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工

具）的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆.已知圆心。在水面上方，且。。

被水面截得弦力B长为8米，OO半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦4B所在直线的距

离是（）

C.（6-2班）米D.（6+2石）米

4.（2024•云南怒江•一模）如图，45是。。的弦，半径OCJ_Z5,垂足为。，设45=6,CD=\,则。。的

A.3B.4C.5D.6

5.（2024・四川成都•二模）如图，45是。。的弦，若。。的半径04=10,圆心。至U弦45的距离。。=6,

12C.16D.20

6.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，分别是以45,ZC为直径的两个半圆，其中4。是半圆。的一条弦,

E是正中点，。是半圆石d中点.若45=6,DE=\,且4。＞3,则4C的长为（）

C.3+V2D.4+V2

7.（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，0/是。。的半径，弦04于点。，连接08.若。。的半径为5cm,

BC的长为8cm,则AD的长是cm.

8.（2024・上海嘉定•二模）如图在圆。中，是直径，弦CD与交于点£,如果4E=1,EB=9,ZAEC=45°,

点〃是CD的中点，连接OM,并延长■与圆O交于点N,那么儿W=.

AC

9.（2024・湖南・二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一•部分，如果。是。。中

弦48的中点，CD经过圆心。交OO于点。，且N8=8m,OC=3m,则C£>=______m.

10.（2024•广东湛江•模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧N8于点C,交弦4B

（1）求作此残片所在的圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵求出（1）中所作圆的半径.

11.（2024・湖南•模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚.如

图，大棚跨度4B=8m,拱高CD=2m.

同学们讨论出两种设计方案:

方案一，设计成圆弧型，如图1,已知圆心O,过点。作。CL/3于点。交圆弧于点C.连接。4.

方案二，设计成抛物线型，如图2,以所在直线为x轴，线段N8的垂直平分线为y轴建立平面直角坐

标系.

（1）求方案一中圆的半径；

（2）求方案二中抛物线的函数表达式；

（3）为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即他=M=lm.在大棚内需搭建2m高的

植物攀爬竿，即GW=HN=2m,6屈，/3于点尸，HN，AB于点、Q,G8与OC交于点K.请问哪种设

计的种植宽度（MV）要大些？（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形）

题型三：圆心角、弦、弧之间的关系

【中考母题学方法】

【典例1]（2023•河北•中考真题）如图,点<〜G是。O的八等分点.若APFFI,四边形的周长分

别为a,b,则下列正确的是（）

Pi

尸5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小无法比较

【变式3-l]（2022•山东聊城•中考真题）如图，N8,CD是。。的弦，延长CD相交于点尸.已知/尸=30。,

ZAOC=80°,则说的度数是（）

A

D

A.30°B.25°C.20°D.10°

【变式3-2］（2023•山东烟台・中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量

角器的外弧分别交于点4B,C,D,连接则的度数为

【变式3-3］（2021•四川巴中•中考真题）如图，是。。的弦，且N3=6,点C是弧N3中点，点。是优

弧N5上的一点，ZADC=30°,则圆心O到弦N2的距离等于（）

A.3GB.1C.V3D.—

22

【中考模拟即学即练】

1.（2025•湖北十堰•一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的

形状示意图标是的一部分，。是就的中点，连接OD,与弦43交于点C,连接CM,OB.已知

AB=24cm,碗深CD=8cm,则。。的半径。4为（）

图①图②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

2.（2024♦云南昆明•一模）如图，AB是。。的直径，BC=CD=DE-若NBOC=34。,则乙的度数是

C.88°D.112°

3.（2023•福建莆田•模拟预测）如图,中弱的度数为60。，/C是。。的直径，那么NO5C等于（）

B.45°C.60°D.120°

4.（2024•山东青岛•中考真题）如图，A,B,C,。是。。上的点，半径。4=3,AB=CD^/DBC=25。,

连接ZD,则扇形403的面积为（）

5.（2024・广东揭阳•三模）如图，在。。中，AB=2CD,那么（）

D

A.AB>2CDB.AB<2CD

C.=2CDD-々与2丽的大小关系无法比较

6.（2023•云南大理•一模）如图，在OO中，48是OO的直径，AB=8cm,C、。为弧4B的三等分点，M

是2B上一动点,CM+DM的最小值是cm.

7.（2024•河南驻马店•三模）如图，在扇形403中，403=90。，BO=2,C为30的中点，D为&上

一点，且2筋=茄，连接/GDC,在。C绕点。旋转的过程中，当CD取最小值时，的周长

为.

8.（2024•浙江•模拟预测）如图，力B是半径为5的。。的直径，C是痴的中点，连接CD交2B于点£,连

接NGAD,OC.

(1)求证：OC_L4D.

(2)若8£=1,求4D的长.

（3）如图2,作CFL/3于点H,交4D于点尸，射线CB交力D的延长线于点G,若OH=1,求/G的长.

题型四：圆周角定理

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东潍坊・中考真题）如图，是V/BC的外接圆，AO//BC,连接C。并延长交。。于

点、D.分别以点4c为圆心，以大于L/C的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点直线0回交BC于

2

点连接4E,下列结论一定正确的是（）

A.AB=ADB.AB=OE

C.ZAOD=ABACD.四边形/OCE为菱形

【变式4-1］（2024・海南・中考真题）如图，4。是半圆。的直径，点5、。在半圆上，且蕊=四=①,

点尸在也上，若/尸CB=130。，则/P氏4等于（）

D

A.105°B.100°C.90°D.70°

【变式4-2］（2024•北京•中考真题）如图，。。的直径平分弦（不是直径）.若4>=35。，则NC=

AD

【变式4-3］（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，4g是。。的直径，/E=35。，贝!）

A.80°B.100°C.120°D.110°

【变式4-4］（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，是。。的直径，是。。的弦，半径OC_L4B,连接

CD,交08于点E,ZBOC=42°,则的度数是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【变式4-5］（2024•湖北武汉•中考真题）如图，四边形内接于OO,AABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

D.也

【变式4-6］（2024•江苏镇江•中考真题）如图，是。。的内接正几边形的一边，点。在。。上，ZACB=18°f

则”

【中考模拟即学即练】

1.（2023•内蒙古呼伦贝尔•一模）如图，力B是。。的直径，弦CDL48于点E,NCDB=30°,。。的半径

为2,则弦CD的长为（）

C.2也D.9

2.（2024•浙江温州•三模）如图,AB,DE是。。的直径，弦CD||/B,连结3C,BE,若/BCD=a,则

C.900-aD.90°-2a

3.（2025•安徽•模拟预测）如图，48是。。的弦，半径OCL/B,垂足为〃，弦CE与48交于点F连接

AC,BC.

C

⑴求证：NBAC=NE；

(2)若N8=8,DC=2,CE=3M,求CF的长.

4.(2024•贵州・模拟预测)如图，等边V/8C内接于OO,P是标上任一点(点尸不与点A,8重合)，连

接/P,BP,CP,48与尸C相交于点。，过点C作。W〃8尸交尸N的延长线于点M.

(1)写出图中一对相似三角形：;

⑵求证：AACM沿ABCP；

(3)若P/=l,PB=2,求四边形尸BCM的面积.

5.(2023•四川绵阳•中考真题)如图，在。。中，点4,B,C,。为圆周的四等分点，/£为切线，连接ED,

并延长交。。于点R连接8尸交ZC于点G.

(2)求证：^ADE=^ABG；

(3)若/£=3,ZG=3GC,求cos/C8尸的值.

题型五：圆周角定理的推论和应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•西藏•中考真题）如图，NC为。。的直径，点3,。在。。上，AABD=60°,5=2,则

的长为（）

A.2B.272C.273D.4

【变式5-1］（2024•湖北•中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆。上一点，以点2为圆心，适当

长为半径画弧，交于点交BC于点、N,分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧

在//BC的内部相交于点。，画射线连接NC.若/C4B=50。，则/CAD的度数是（）

C

【变式5-2］（2024•江苏常州•中考真题）如图，N8是O。的直径，是O。的弦，连接ND、BC、BD.若

【变式5-3］（2024•山东泰安・中考真题）如图，是。。的直径，C,。是。。上两点，BA平分NCBD,

若£）/。。=50°,则//的度数为（）

A.65°B.55°C.50°D.75°

【变式5-4］（2024・湖北・中考真题）48为半圆。的直径，点C为半圆上一点，且/C4B=50。.①以点3为

圆心，适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以DE为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；

③作射线BP,则乙42P=（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【变式5-5］（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，V4BC内接于O。，4。是直径，若4=25。，则NCW

【变式5-6］（2023•浙江绍兴•中考真题）如图是6x7的网格，每个小正方形的边长均为1,半圆NCB上的点

A,B,C,。均落在格点上.请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角;

（1）在图中作出弧8c的中点D

（2）连结NC,作出/A4c的角平分线.

（3）在48上作出点P,使得4P=/C.

【变式5-7］（2024•宁夏•中考真题）如图，在V48c中，点。是边8C的中点，以N8为直径的。。经过点。,

点p是边/c上一点（不与点4c重合）.请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法.

（1）过点A作一条直线，将V/BC分成面积相等的两部分；

⑵在边AB上找一点P',使得BP=CP.

【变式5-8］（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，N5是。。的直径，BC,AD是。。的两条弦，点C与点。

（2）如图2,若BD=2OE,求证：BD//OC.（请用两种证法解答）

【中考模拟即学即练】

1.（2025•湖北黄石•一模）如图，四边形内接于OO,4C,为对角线，经过圆心。若/胡。=44。,

则3c的度数为（）

A.44°B.46°C.48°D.56°

2.（2024•浙江宁波•二模）如图，己知钝角V/5C内接于。。，过点。作CEL/C交48于点£,若

CE=3,BC=4,AC=9,则。。的半径为（）

VwC.6D.8

3.（2024・甘肃・模拟预测）如图，V/BC内接于。O,48是O。的直径，。是O。上一点，若C是砺的中

则44C£):

4.（2024•江苏徐州•三模）如图，以V/8C的边BC为直径的OO分别交/2、/C于点。、E,连接O。、

OE.若4=62。，贝IJ/£>OE=

5.（2024•山西•模拟预测）如图，是。。的直径，点C,。在上，连接NC,AD,C。，若4DC=38。,

则/瓦（C的度数为

题型六：圆内接四边形

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，四边形48co是OO的内接四边形，是OO的直径,

若/BEC=2Q°,则N4DC的度数为（

C.120°D.130°

【变式6-1］（2024・山东济宁・中考真题）如图，分别延长圆内接四边形/BCD的两组对边，延长线相交于点

E,F.若/£=54。41',/尸=43。19',则/N的度数为（）

41°20'C.41°D.40°20'

【变式6-3］（2024•四川广元•中考真题）如图，已知四边形/BCD是。。的内接四边形，£为/。延长线上

则/C0E等于（)

A.64°B.60°C.54°D.52°

【变式6-4］（2024・吉林・中考真题）如图,四边形ABC。内接于O。，过点8作成〃4D,交CD于点E.若

ZBEC=50°,则N/2C的度数是（）

D

B.100°C.130°D.150°

【变式6-5］（2024•江苏无锡・中考真题）如图，45是OO的直径，ANC。内接于O。，CD^DB，AB,CD

的延长线相交于点E,且。£=4D.

⑴求证：ACADSACEA；

⑵求N4DC的度数.

【变式6-6］（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图，A4BC为O。的内接三角形，4B为的直径，将“BC沿

直线翻折至IJA/BD,点。在。。上.连接CD,