2025年中考数学难点一轮复习：坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（4大热考题型）解析版

难点04坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题

（4大热考题型）

题型盅点。

题型一：坐标系中点的坐标规律问题

题型二：实际生活中函数图象问题

题型三：动点的函数图象问题

题型四：平面直角坐标系中的面积问题

a精淮提分

题型一：坐标系中点的坐标规律问题

I———————————————————————————————————————————————————————1

"旨I点I迷I津

1.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：

;1）若点的坐标在坐标轴上或象限内循环（周期）变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找

'出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；

；2）点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间

；存在的规律.

；2.解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：

1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；

3）找算式中数字与序号间的变化规律；

4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.

।________________________________________________________________________________

【中考母题学方法】

【典例1】（2023•辽宁阜新•中考真题）如图，四边形是正方形，曲线G&C3c4c5…叫作“正方形的渐

开线”，其中南，无，而，京，…的圆心依次按。，A,B,G循环.当。4=1时，点C2023的坐

标是（）

A.(-L-2022)B.(-2023,1)C.(-L-2023)D.(2022,0)

【答案】A

【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出Czg在第三象限，与G，G，Gi，…符合同一规律,

探究出G，a，Gi，…的规律即可.

【详解】解：由图得G(0，l)，C2(L0),C3(-l,-2),C4(-4,0),C5(0,5),C6(5,0),C/-1,-6),...

点C的位置每4个一循环，

2023=505x4+3,

C2023在第三象限,与

符合规律(-1，-"+1),

.•.C2023坐标为(-1，-2022).

故选：A.

【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键.

【变式1-1](2023•湖南张家界•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形/80C是正方形，点/的

坐标为(L1),数是以点3为圆心，以为半径的圆弧；然是以点。为圆心，为半径的圆弧，44是

以点C为圆心，C4为半径的圆弧，石是以点/为圆心，/4为半径的圆弧，继续以点8,O,C,/为

圆心按上述作法得到的曲线用4444称为正方形的“渐开线”，则点4023的坐标是

【答案】(-2023,1)

【分析】将四分之一圆弧对应的/点坐标看作顺时针旋转90。，再根据/、4、4、4、4的坐标找到规

律即可.

【详解】解：且4为/点绕3点顺时针旋转90。所得，

.♦•4(2,0),

又•••4为4点绕。点顺时针旋转90°所得，

**.(0,-2),

又，:4为4点绕c点顺时针旋转90°所得，

.♦•4(-3,1),

由此可得出规律：4为绕B、。、C、N四点作为圆心依次循环顺时针旋转90。，且半径为1、2、3、L、",

每次增加1，

又：2023+4=505……3,

故4(123为以点c为圆心，半径为2022的4o22顺时针旋转90°所得，

3-2023,1),

故答案为：(-2023,1).

【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标

变化的规律是解题的关键.

【变式1-2]难点同时分析周期变化和递增变化的规律

(2023・湖南怀化•中考真题)在平面直角坐标系中，V/03为等边三角形，点/的坐标为(1,0).把V/03按

如图所示的方式放置，并将VZO3进行变换：第一次变换将V/O8绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩

大为V/03边长的2倍，得到△404；第二次旋转将△403,绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大为

△4。片，边长的2倍，得到，….依次类推，得至I]A4033O82033，则△，2023。与033的边长为，

点41023的坐标为•

20222022

【答案】22023(2,-^X2)

【分析】根据旋转角度为60。，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点4o23在第四象限，且

04023=22023,即可求解.

【详解】解：•••V/。？为等边三角形，点N的坐标为(1,0),

OA=1,

:每次旋转角度为60。，

.,.6次旋转360。,

第一次旋转后，4在第四象限，。4=2,

第二次旋转后，4在第三象限，。4=22,

第三次旋转后，4在X轴负半轴，04=2)

第四次旋转后，4在第二象限，04=2、

第五次旋转后，4在第一象限，。4=方,

6

第六次旋转后，4在X轴正半轴，OA6=2,

如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到X轴正半轴,

2023+6=337-1,

点4。23在第四象限，且。4嫡=22°23,

如图，过点4()23作轴于了，

在MAO〃4O23中，ZHOA2023=60°,

202320232022

...OH=04OM-cosNH04o23=2Xcos600=2x1=2,

20232022

4。23H=04。23-sinZHOA2023=2x与二2,

•••点4O23的坐标为(22022,-^X22022).

故答案为：22023,(22022,-^X22022).

【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用.熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的

坐标规律是解题的关键.

【变式1-3】难点结合函数，利用函数解析式求点坐标

1.(2024•江苏无锡•模拟预测)如图，“烟,"MB,△444，……是分别以4，4，4，……为直

角顶点，一条直角边在无轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点G，c2,c3,.....,均在反比例

【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰直角三角形的判定和性质.分别过点£,c2,G，…

作X轴的垂线，垂足分别为A,D2,D3,…，设则GA=a,点C](a,a),则点A的横坐标为2a,

4，一

再根据点G在反比例函数y=?(x>0)的图象上可求出。=2,进而得点4的横坐标为4,设42=6,同

x

理G2=b,则点G(4+b,b),点4的横坐标为4+2b,然后可求出6=2后-2,进而得点4的横坐标为4后，

设4。3=。，则GA=c，点G(4亚+c,c)，点4的横坐标为4&+2C，然后求出c=2百-20,进而得点4

的横坐标为46，同理：点4的横坐标为44=8,点4的横坐标为40，…，以此类推即可点4必的横坐

标.

【详解】解：分别过点G，C2,G，…作X轴的垂线，垂足分别为A，D2,2，…，如下图所示:

•.・AO/画是以4为直角顶点的等腰直角三角形,

A。。。是以。为直角顶点的等腰直角三角形,

/.ODX=CXDX,

•.•点G为。9的中点,

.•・CQ是人。4名的中位线，

/.OAX=2OD],

设ODX=a,则CQ]=a,

.・•点G的坐标为（a,a）,则点A的横坐标为2a,

4

•・,点G在反比例函数y=—a>0）的图象上，

X

二./=4,

二。=2（舍去负值），

..•点4的横坐标为4,

设42=6,同理c也=b,

则点G（4+46）,点4的横坐标为4+26,

4

・・,点在反比例函数V=—（X>0）的图象上，

x

；.帅+4）=4,

即（6+2）2=8,

:.b=2亚-2,

;.4+26=4+2（2拒-2）=4后，

.,.点4的横坐标为4后，

设4A=。，则C3A=。，点卜后+c,c）,点4的横坐标为472+2c,

4

・・•点G在反比例函数y=—(x>0)的图象上，

x

•••c(4拒+c)=4,

即(c+2亚『=12,

.-.C=2y/3-2y/2，

二4五+2c=4五+2(2占-26)=4g,

.•.点4的横坐标为46，

同理：点4的横坐标为4"=8,点4的横坐标为4百，

…，以此类推，点42024的横坐标为4A丽？=8百百.

点4的横坐标为4VI，点4()24的横坐标为87506.

故答案为：4®;87506.

2.(2024•黑龙江齐齐哈尔•二模)在平面直角坐标系中，抛物线>=/的图象如图所示，已知/点坐标为(1,1),

过点A作AAt//X轴交抛物线于点4,过点4作44〃OA交抛物线于点4,过点4作44〃》轴交抛物线

于点4,过点4作44〃OA交抛物线于点4……，依次进行下去，则点4024的坐标为.

【答案】(1013,10132)

【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线。/的解析式，再求出点4的坐标，再求

出直线44的解析式，从而求出点4、4的坐标，以此类推可得点4的坐标，根据点A、4、4之间的

规律求出点4。24的坐标.

【详解】解：设直线的解析式为：弘=履，

•.•点A坐标为(1,1),

...左二1,

...直线。/的解析式为：K=x,

轴交抛物线于点4,

•.•44〃。/交抛物线于点4，

...设直线44的解析式为：％=x+6，

二.将4(-1,1)代入44解析式中得：6=2,

•••直线44的解析式为：％=》+2,

当/=x+2时，

解得：玉=2,%=—1,

.•.4(2,4),

44〃》轴交抛物线于点4，

4(-2,4),

同理可得：直线44的解析式为：%=x+6,

当x?=x+6时，

解得：西=-2,%=3,

.••4(3,9),

以此类推点4.(”+1,(“+1)2)

2

•••4。24的坐标为：(1013,1013),

故答案为：(1013,10132).

【变式1-4］难点结合三角形，利用相似三角形求面积

（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形4鸟与G,A2B2B3C2,gBG，4B4B5C4

都是平行四边形，顶点用，B2,星，B4,旦，…都在x轴上，顶点C2,G，C4，…都在正比例函数

y=；x（x>0）的图象上，且B2CI=24G，B3c2=2A3c2,S4C3=2T14C3,...,连接同与，A2B3,A3B4,

4及，…，分别交射线。。于点G，O2,O3,O4,连接O2A3,O3A4,得到公已为与，AO2A3B3，

^O3A4B4,....若耳（2,0）,小（3,0）,4（3,1）,则A%234（）24%）24的面积为

【分析】根据题意和图形可先求得/与旦人=必出"90P,ZB3B4A3=ZB2B3A2=90°,

x3

NB4B5A4=ZB3B44=9（P,……,NB1tBe4=4及47=9CP,呢M，图'°]，乂3,0

纥卜TJx3,o］，从而得当期KT］x3,0

（3丫侬（3丫022Z3X2023（、2022（、2022一

42网）25=曰'"0,O202352024=«=-x3x^-J=-X|^-J,利用二角形的面积公

式即可得解.

【详解】解：•••百（2,0）,4（3,0）,4（3,1）,

.•.点4（3,1）与点为（3,0）的横坐标相同，OB\=2,B也=3-2=1,/也=1,。&=3,

；.gJ_x轴，

AAXB2O=90°,

*.*B2CX=242cl,

•.•四边形4用32G，3c2,4B3B4C3,42425c4，…都是平行四边形，

A、B[〃A2B2,42c2"OB2,4名〃OB3,42c2=鸟鸟，44=B2cl

Z.ABB—Z.ABB,NC]Ac2=/-CBO,Z.CCA=Z.COB,--~~-——-~~-=—,

XX22232X2122X2B&B2cl2

：.NCfi2A2^Z.CfiB2,

,OB?fB?OB?=2

…C2A2G4B2B3'

B2B3=—OB2=—x3,

B22B333B2.A?233

•=—=1CR3=—OB2=—3,

…B&22B2CX~20~2

:.AB[B3A2s,

/.NB2B3A2=NB[B2Al=9CP,

同理可得ZB3B44=乙&与4=9cp,NB&B5A4=NB3B4A=90P,……NB*B1M4=/以心4T=9CP,

2、3、n-2)

B4Hlx3,0,B5Ix3,0,，B.x3,0,

2022、te2023A

••§2024

X3,。,^2025Ix3,0,

202320222023

332

,*-^2024-^2025Ix3-|x3=

/2022、

•02023x3,〃在上,

4

7

2022c2022

33

^2023^2024=〃=]X3X

2

40462023

R,区]

•q_1RN4-L33_9

AXX2024

^2023^2024^2024[20242025.20232024-2*I2I4(2)-2碗—4，

Q2023

故答案为：

【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似

三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键.

【中考模拟即学即练】

1.(2024•宁夏银川•模拟预测)如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点尸

为位似中心作正方形P444,正方形尸444……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中

正方形的顶点坐标分别为尸(TO),4(-2,1),4(T，O)，4(-2,-1),则顶点小必的坐标为()

（1

A.(1347,0)B.(672,-675)C.(672,675)D.(1350,0)

【答案】A

【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律.根据当4、4、4的坐标的变化情况，总结规律，根据

规律解答即可.

【详解】解：•••4(-1,0),4(i,o),4(3,o),4i(5,o),…，

(2〃-3,0),

V2024=3x675-1,

••.4O24的坐标为(2X675-3,0),即(1347,0),

故选：A.

2.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中有一系列格点其中i=l,2,3,…，耳…，

且现，乂是整数.记如4(0,0)，即q=0,出(1，°)，即％=1，4(1，T)，即见=0，L,以

此类推.则下列结论正确的是()

Ca、2=2〃-3Da,、2=2〃-4

A.%9=5B.。2。24=43（/2n-l）U.（2n-l）

【答案】B

【分析】利用图形寻找规律再利用规律解题即可.

本题考查了坐标的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键.

【详解】解：第1圈有1个点，即4（0,0）,这时％=0；

第2圈有8个点，即4到4（1,1）,这时为=1+1=2；

第3圈有16个点，即&，到冬（2,2）,这时弓=2+2=4；

依次类推，第〃圈，

由规律可知：4是在第4圈上，且4（3,3）,即&9=3+3=6,故A选项不正确：

4（）24是在第23圈上,且4o24（21,22）,即与024=21+22=43,故选项B正确；

第〃圈，所以％,而=2"一2,故c,D选项不正确；

故选：B.

3.（2024・江苏盐城•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数P=3x和了=一》的图象分别为直线

过点（1,0）作无轴的垂线交4于点4,过点4作y轴的垂线交4于点4,过点4作X轴的垂线交4于点4,过

点4作了轴的垂线交4于点4，L,依次进行下去，则点4期的坐标为（）

A.(31010,-31010)B.(-31010,-31011)c.(-31011,-31012)D,(31012,-31012)

【答案】D

【分析】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键.写出一

部分点的坐标，探索得到规律4“_3（3”T,32"T）,4“_2（-32二3"1）,4“T（_32"T,_32"）,4（3筋,-3?"）,（H

是正整数），，即可求解.

【详解】解：依题意，当x=l时，y=3,则4（1,3）,

当＞=3时，x--3,贝I]4（一3,3）,

当x=-3时，y=-9,则4（T-9）,

当了=-9时，x=9,则4（*-9）,

依次得：4（9,27）,4（-27,27）,4（一27,-81）,4⑻，-81）,-

22

由此发现规律：4,_3（32『32"T）,/“（J"-?"）4卜327,-32"）,A4„（3",-3"）,（"是正整数），

2024=4x506,

2X562X5061O121012

A4O24（3°,-3）.BP：4O24（3,-3）,

故选：D.

4.（2024•河南新乡•模拟预测）直角坐标系中，V/3C的三个顶点都在边长为1的小正方形的格点上，RABC

关于y轴的对称图形为A4AC,V/BC与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到

如图所示的图形.若人4名Q是这组图形中的一个三角形，当〃=2024时，点4的横坐标是（）

【答案】D

【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解

题的关键.

【详解】由图可知：4（2,2）,4（6,2）,4（10,2）,L,4（4加一2,2）,

4（1,0）,与（3,0）,4（5,0）,为（7,0）,L,纥（21,0）,

又G（4,0）,C2（8,0）,C3（12,0）,L,C14",0）,

当〃为偶数时，

4与打横坐标相差1，即4横坐标+1=打横坐标,

4与反横坐标相差1,即4横坐标+1=4横坐标,

4与线横坐标相差1，即4横坐标+1=线横坐标，

4与外横坐标相差1，即4横坐标+1=4横坐标，

L,

4（112与82024横坐标相差1，即4（112横坐标+1=与024横坐标，

.♦.4x1012—2=4046,即Al012（4046,2）,

故选：D.

5.（2024•河南省直辖县级单位•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角VO4耳的斜边。4=4,

且。4在x轴的正半轴上，点4落在第一象限内.将Rt^O4鸟绕原点。逆时针旋转45。，得到口以山名，

再将RtAC>452绕原点O逆时针旋转45°,又得到RtZ\O4&，…；依此规律继续旋转，得到口△。"必与期，

则点为必的坐标为（）

C.(272,0)D.(0,20

【答案】C

【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式发现点耳位置变化的规律是解题的关键.根据

所给旋转方式，可得出每旋转八次，点3,（i为正整数）的位置便循环一次，再结合=4便可解决问题.

【详解】解：由所给旋转方式可知,

360°+45°=8,

每旋转八次，点与（1为正整数）的位置便循环一次.

又2024+8=253，

•••点52024的坐标与点线的坐标相同.

4

又：点反在无轴的正半轴上,且"=2夜，

二点耳的坐标为（2行,0）,

即点与024的坐标为（20,0）.

故选：C.

6.（2024•山东临沂•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中/（-1，1）8（-1，-2）,C（3,-2）,。（3,1）,一只蚂蚁

从点N出发以1个单位长度/秒的速度沿/f循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标

为.

【答案】（3,-2）

【分析】本题主要考查了点的坐标的规律型，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时

间是解题的关键.

根据点4B、C、。的坐标可得4氏的长，从而求出矩形/BCD的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要

14秒，然后再进行计算即可.

【详解】解：•••/（-U）8（T，-2）,C（3,-2）,0（3,1）,

AB=CD=3,AD=BC=4,

•*-C矩形ABCD=2{AB+40)=14.

2023=144x14+7,

.•.当”2023秒时，蚂蚁在点（3,-2）处，.•.此时点蚂蚁的坐标为（3,-2）.

故答案为：（3--2）,

7.（2024•山东东营•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为1的正方形。4BC,点3在无轴

的正半轴上，如果以对角线。5为边作第二个正方形0B4G，再以对角线04为边作第三个正方形0452c2,

…，照此规律作下去，则为的坐标是;不必的坐标是.

【分析】本题主要考查了规律型一点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律.

根据已知条件和勾股定理求出的长度即可求出员的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，

都顺时针旋转45。，边长都乘以血,所以可求出从3到鸟必变化的坐标.

【详解】解：••・四边形Q48C是正方形，OB=亚,

0Bt=J（伪：+（£）、=2,

OB2=[OB；+B\B；=2V2,

二打的坐标是（0,2收），

根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45。，边长都乘以近，

旋转8次则02旋转一周，

从B到82024经过了2024次变化,

2024+8=253,

从B至！]52024与B都在x轴正半轴上，

••.点名必的坐标是（亚

故答案为：（0,2&）；（（亚『25,0）.

8.（2024•河北秦皇岛•一模）如图，点。为正六边形的中心，P、。分别从点41,0）同时出发，沿正六边形

按图示方向运动，点尸的速度为每秒1个单位长度，点。的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点

的坐标为,则第2024次相遇地点的坐标为

【分析】本题考查正六边形的性质和寻找规律，解题关键是找出尸、0两点相遇的循环规律.

如下图，分析可知P、。两点依次在点河、N、/三处循环相遇，然后利用余数定理便可求得第2024次相

遇的位置.

【详解】解：由题意可得：OA=OB=AB=1,

正六边形的周长为1x6=6.

•••点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，

.••第一次相遇的时间为6+(1+2)=2(S),

此时点尸的路程为1x2=2,点尸，。第一次相遇的地点为点C,

依次类推，得出：点尸，0第二次相遇的地点为点E,点P,。第三次相遇的地点为点力,点尸，0第四次

相遇的地点为点C,…，

点P,Q两点的相遇是3次一循环，

2024=3x674+2,

.•.第2024次相遇的地点为点E,

VOC=OA=\,ZCOM=-ZBOC=30°,

2

ii瓜H

：.CM=-OC=~,OM=—OC=—,

2222

故答案为:

2'2

9.(2024・浙江•模拟预测)生活中很多图案都与斐波那契数列1，1,2,3,5,8,…相关，如图，在平面直

角坐标系中，依次以这组数为半径作90。的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为耳鸟(0,1),

6(1,0),L则点A的坐标为

【答案】(9,-2)

【分析】此题考查了在平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规

律，观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出E的坐标，即可解决问题;

【详解】解：观察发现：6(-1,0)先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到吕(0,1)；心(0,1)先向右

平移1个单位，再向下平移1个单位得到A(1,0)；

鸟(1,0)先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到巴；

巴(-1,-2)先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到E(-4,1)；

P5先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到1(1,6)；

根据1,1,2,3,5,8,13,…的变化规律可知，

P6(1,6)先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P,(9,-2)；

故答案为（9,-2）

10.（2024•山东聊城•三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，OA=\,反比例函数y与该回

形图的交点依次记为片、B］、B3......则与。24的坐标为.

【答案】（白,507）

【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键.分

111

别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第〃个回形4个点的规律，分别是（凡一），（一,〃），（-〃,-一），

nnn

,然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案.

n

【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为（xj）,观察图象，可以发现：

第1个回形有2个点，4（1,1）,当（-1,-1）

第2个回形有4个点，分别是反（2,；），4（；,2）,55（-2,-1）,56（-1,-2）

第3个回形有4个点，分别是5（3,；），2（；,3）,59（-3,-1）,510（-1,-3）

L

第2）个回形有4个点，分别是（〃，3，（-,??）,

nnnn

（2024—2）+4=505……2

505+1+1=507

那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为（击,507）

故答案为：（7”;,507）

11.（2024•黑龙江齐齐哈尔•二模）如图，在抛物线＞=/的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个

顶点落在抛物线上，按此规律类推，第2024个正方形的边长是.

【答案】2024收

【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为

y=x,联立方程求得4的坐标，进而求得第一个正方形的边长和用的坐标，即可得到直线耳4的表达式为:

y=x+2,联立方程求得4的坐标，进而求得第二个正方形的边长和当的坐标，即可得到直线与4的解析

式为：y=x+6,联立方程求得4的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第2024个正方形的

边长是20240.

【详解】•••正方形的对角线在了轴上

4=45。，4和G关于了轴对称，4和G关于了轴对称，4和C3关于了轴对称L

至ijx轴和歹轴的距离相等

直线。4的表达式为y=x

\y=x

「•列方程组：f2

=0fx=l

解得n或1

h=oU=i

・•・根据两点间距离公式：。4=也

•・•=90。,ZAQB]=45°

A]B]—OAl=V2

OBX=个仲：+0A：=2

，耳（0,2）

设g4的表达式为：y=kx+b

•••G(-u)再(0,2)在函数上

[~x+b=1

'[b=2

[x=\

解得：\bA=2、

，直线g4的表达式为：y=x+2

y=x+2

，列方程组:

y=x2

x=-lx=2

解得尸1或

y=4

•••4(2,4)

同理可得：4耳=20，OB2=6

二直线与4的表达式为：y=x+6

y=x+6

列方程组:

y=x2

x——2、jx=3

解得或

y=4[y=9

•••4(3,9)

同理可得：44=3啦，OB3=12

L

按此规律类推，第〃个正方形的边长为2〃，第2024个正方形的边长是2024收

故答案为：202472.

题型二：实际生活中函数图象问题

指I点I迷I津

读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等，并作出正确的结论判断.具体分

析如下：

关键信息函数意义

坐标轴弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量

拐点图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映函数图象在这一时

刻开始发生变化

水平线函数值随自变量的变化而保持不变

【中考母题学方法】

【典例2】（2024•江苏常州•中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能,

运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速"（单位：min/km）.小华参力口5km的骑行比赛，他骑行

第1km第2km第3km第4km第5km路程

A.第1km所用的时间最长

B.第5km的平均速度最大

C.第2km和第3km的平均速度相同

D.前2km的平均速度大于最后2km的平均速度

【答案】D

【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键.根据配速的定义依次进行判断即可.

【详解】解：“配速”是每行进1km所用的时间，故从图中可知，第1km所用的时间最长，故选项A不符合题

忌；

平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程+时间，由图可知，配速最小，故第5km所用时间最短,

故第5km的平均速度最大，故选项B不符合题意；

第2km所用的时间与第3km所用的时间一致，故第2km的和第3km的平均速度相同，故选项C不符合题意;

由于前2km的时间大于最后2km的时间，故前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，故选项D符合题

思；

故选D.

【变式2-1】难点分析两个函数图象

1.（2024•江苏南通・中考真题）甲、乙两人沿相同路线由/地到2地匀速前进，两地之间的路程为20km.两

人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示.根据图象信息，下列

B.乙全程共用2h

C.乙比甲早到8地3hD.甲的速度是5km/h

【答案】D

【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、乙比甲晚出发lh,原说法错误，不符合题意;

B、乙全程共用2-l=lh,原说法错误，不符合题意;

C、乙比甲早到5地4-2=2h,原说法错误，不符合题意;

D、甲的速度是20+4=5km/h,原说法正确，符合题意;

故选D.

2.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象反映的

过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆.图

中用x表示时间，y表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论:

（1）体育场离该同学家2.5千米;

（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；

（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；

（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，贝ij“的值是3.75；

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键.利用图象信息

解决问题即可.

【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；

该同学在体育场锻炼了30-15=15（分钟），故（2）正确；

该同学的跑步速度为2.5+15=：（千米/分钟），步行速度为2.5+（65-30）=；（千米/分钟），则跑步速度是

117

步行速度的点力（倍，故（3）错误；

若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为L5x'=!（千米/分钟），

64

所以。=；x（103-88）=3.75,故（4）正确，

故选：C.

3.（2024•山东潍坊・中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔

生理学或医学奖.某科研小组用石油酸做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究

提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：

由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（）

A.1OOmin,50℃B.120min,50℃C.lOOmin,55℃D.120min,55℃

【答案】B

【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键.根据图像即可得到最佳时

间和温度.

【详解】解：由图像可知，在120min时提取率最IWJ,

50c时提取率最高，

故最佳的提取时间和提取温度分别为120min,50℃,

故选B.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・贵州・模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作

报告中一个新关键词“人工智能+”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚.如图①是某

餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变,

慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的时间为x（s）,聪聪和慧慧行走的路程分别为

乂（cm）、y2（cm）,%，%与苫的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（）

图①图②

A.客人距离厨房门口450cm；B.慧慧比聪聪晚出发15s；

C.聪聪的速度为10cm/s；D.从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值

为140cm；

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数的运用,理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题

的关键.根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解.

【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变,

OD表示的是聪聪行走的时间与路程的关系,

设OD的解析式为乂=G（女尸0）,图象经过点（45,450）,

450=45%，

解得，左=10,

/.的解析式为必=10x,

由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为31-15=16（s）,

:.A、客人距离厨房门口450cm,正确，不符合题意；

B、慧慧比聪聪晚出发15s,正确，不符合题意；

C、'：kA=10,

聪聪的速度为10cm/s,正确，不符合题意；

D、当0WxV15时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，

.•.当x=15（s）时，yx=10x15=150（cm）,

当15<x431时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，

当x=31时，M=10x31=310（。机）,%=450（。加），

y1-yx=450-310=140（cm）,

当31<xV45时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到0,

V150>140,

；.D选项不正确，符合题意；

故选：D.

2.（2024•湖北黄冈•模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为

30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，

售价为x元/件.

（1）当售价在40—50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？

（2）当售价在50—70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y与x的关系式；

（3）小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠为整数）元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大,

请你帮她计算机的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.

【答案】（1）每月的总利润最多是1200元

（2）y——2x+160（50<x<70）

(3)m的最小值是30,售价为70元时，她每月获利最大

【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键.

(1)根据题意得出总利润w=60x-1800,再由一次函数的性质即可求解；

(2)当售价在50VXW70元时，设每月销售量了=丘+6,利用待定系数法进行计算即可；

(3)求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可.

【详解】(1)解：当售价在404x450元时，每月的总利润为w元.

则总利润w=60(x-30)=60x-1800,

•/60>0,

，当x=50时，总利润最多，为60x50—1800=1200(元)，

厂.每月的总利润最多是1200兀；

(2)解：当售价在504xW70元时，设每月销售量丁=日+如

50左+6=60

70左+6=20

解得

厂•每月销售量y=-2x+l60(50<x<70).

(3)解：当售价在50«xK70元时，设每月的总利润为z元.

「•每月的总利润z=(x—30—次)歹=(x—30—m)(-2x+160)=-2i+220x-4800+2m:

2204

-160m=-2x9+(z220+2m)x-4800-160m,二.二次函数的对称轴为直线x=一"

•・•-2<0,且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，

/.55+—>70,尚军得加230,

2

m的最小值是30,

此时2=-2x2+280尤一9600=-2(x-70丫+200,

.•.当x=70时，z取得最大值，最大值为200元,

的最小值是30,此时售价为70元时，她每月获利最大.

题型三：动点的函数图象问题

:指I点I迷I津

］类型一动点与函数图象判断的解题策略

!方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增

减变化趋势；

方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；

；方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进

!行排除；

；方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除.

;类型二动点与函数图象计算的解题策略

一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；

!二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；

；三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；

-四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解.

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【中考母题学方法】

【典例3】（2023・四川资阳•中考真题）如图，在平行四边形中，40=120。，2百厘米，AB=4也

厘米，点尸从点。出发以每秒百厘米的速度，沿。-3f/在平行四边形的边上匀速运动至点A.设

点尸的运动时间为/秒，△/DP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与/之间函数关系的是（）

s