2025年中考数学专项复习：等腰三角形问题（含解析）

等腰三角形问题

一阶方法突破练

1.如图，点A,B在正方形网格的格点上，请在所给的网格中确定格点C,使得.AABC是以AB为腰的等腰三

角形.

第1题图

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+11与x轴交于点B,A(2,3)在直线上，在x轴上有一点C，使得△

4BC是以AB为底的等腰三角形，求点C的坐标.

第2题图

3.如图，已知抛物线)/=|%2_打_2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,连接AC,点P是y轴上一点,

若.△P4C是等腰三角形，求点P的坐标.

第3题图

二阶设问进阶练

例如图，直线.y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两

点，与y轴交于点C.

(1)如图①，连接BC,在y轴上存在一点D,使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；

⑵如图②，在抛物线上是否存在点E,使△瓦4c是以AC为底的等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不

⑶如图③，连接BC,在直线AC上是否存在点F,使△BCF是以BC为腰的等腰三角形?若存在，求出点F的坐

标；若不存在，请说明理由；

例题图③

⑷如图④，若抛物线的顶点为H,连接AH,在x轴上是否存在一点K,使△4HK是等腰三角形?若存在，求

出点K的坐标；若不存在，请说明理由；

(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△4CG是等腰三角形?若存在，求出点G的坐标；若不存

在，请说明理由.

例题图⑤

三阶综合强化练

1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=必+4久-1与直线］:y=久-佼于A,B两点

(1)求A,B两点的坐标；

(2)若点M是直线AB下方抛物线上一动点(不与A,B重合),过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N,

设点M的横坐标为m,用含m的式子表示出MN的长,并求出MN的范围；

(3)(y轴上的动点)在y轴是否存在一点C,使得△ABC是等腰三角形?若存在，请求出点C的坐标；若不存

在，请说明理由.

作图区答题区

备用图①

备用图②

2.如图，抛物线y=|x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,直线BC的解析式为y=x-6.点

P是x轴上的一个动点，过点P作直线.PE1%轴交直线BC于点E,交抛物线于点F.

⑴求抛物线的解析式；

(2)创新题•探究角的数量关系若点P在线段OB上运动(且不与点O重合)，当AE=2m时，请你猜想.乙4EP

与乙4co的数量关系，并说明理由；

(3)(x轴上的动点)是否存在点P,使得△CEF是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明

理由.

作图区答题区

3如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左

侧)，与y轴交于点C(0,3),且0B=304=3V3.

⑴求抛物线的解析式；

(2)点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD,与BC交于点E,求器的最大值；

AE

(3)(对称轴上的动点)若点M为抛物线的对称轴上一动点，是否存在点M,使得.△BCM为等腰三角形?若存

在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图①

备用图②

考向1等腰三角形问题

一阶方法突破练

1.解：格点c的位置如解图所示.

第1题解图

2.解:.直线y=x+l与x轴交于点B,A(2,3),

..B(-L0),NABO=45°,..AB=3V2,

当AB为底边时，如解图，作线段第2题解图AB的垂直平分线交x轴于点C,连接AC,|yz

..AC=BC=3,lx；i

."ABC为等腰直角三角形，同。上

.­.C(2,0),第2题解图

3.解:,.抛物线y=|%2_枭_2与X轴交于A,B两点与y轴交于点C,

.-.A(3,0),B(-l,0),C(0,-2),

.'.OA=3,OC=2,AC=V13.

1,点P在y轴上，

设点P的坐标为(0,m),

则PC=\m+2\,PA=Vm2+9,

如解图，①当PA=CA时，以点A为圆心,AC长为半径画弧交y轴于点Px,此时点A在CP的垂直平分线上,

OPz=0C=2,.-.P式0,2);

②当.PC=CA=旧时，以点C为圆心,AC长为半径画弧，交y轴于点P2,P3,

|m+2|=V13,BPm+2=±V13,

解得小=旧一2或徵=-2-V13,

22(0，旧一2),「3(0,-2-V13);

第3题解图

③当PC=PA时,作线段AC的垂直平分线交y轴于点P4,

|m+2|=Vm2+9,BP(m+2)2=m2+9,解得m=^,

•.P4(0,

综上所述，点P的坐标为(0,2)或(0,V13-2)或(0,-2-VH)或(0，)

二阶设问进阶练

例解：(1)..直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,.-.A(-3,0),C(0,3),

抛物线y=-尤2—2久+3与x轴交于点B,

如解图①，当ABCD是以BC为底的等腰三角形，作BC的垂直平分线交y轴于点D,则有BD=CD,

1,点D是y轴上的点，

.•.设DOd),.BD2=d2+l,

•・・CD2=(3-d)4BD=CD,

・•.BD2=CD弓即d2+1=(3—d)弓解得d=g

.•点D的坐标为

(2)存在.

如解图②，过点0作直线OP_LAC于点P,交抛物线于点E1,E2,则点E/2即为所求.

-,OA=OC=3,

-OP是线段AC的垂直平分线，

・•.AP=CP,EiA=E1C,E2A=E2C.

，直线OP的解析式为y=-x,

y=­x

联立

y=—%2—2%+3'

1-V13(1+V13

X=----X=----

解得•22

1+713,1—同'

2

1-V13.

丁);

例题解图

(3)存在.

①当BC=BF时，如解图③，以点B为圆心,BC长为半径画弧，交直线AC于点F1,设F/,f+3),由题意可得，B

C2=10,BF^=(/-I)2+(/+3)2=2/2+4/+10,

2

BC=BFltBC=BF,,

10=2产+4f+10,解得兀=0(舍去),.f2=—2.，Fi(-2,l)；

②当BC=CF时，如解图③，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交直线AC于点FzR,设F(m,m+3),

由题意可得CF2=62++3—3)2=2m2,BC2=10,

•.CF=BC,/.CF2=BC2,

•1-2m2=10,解得m=—时或m=V5.

•••F2(-V5*-V5+3),F3(A/5-V5+3).

综上所述，点F的坐标为(-2,1)或((-有，-遥+3)或(V5-V5+3);

(4)存在.

抛物线的解析式为y=—久2_2%+3=—0+1)2+4,

•••A(-3,0),.-AH=2V5,

①如解图④，当AH为AAHK的底时，作AH的垂直平分线LL交x轴于点Q交AH于点L,

•,.L(-2,2),

设直线AH的解析式为y=kx+b,将A,H两点坐标代入符y=2x+6,

•••KiL1AH,

，设直线KJ的解析式为y=-^x+c,

将L（-2,2）代入得c=l,

直线KJ的解析式为y=-i%+l,

.•令y=0,得x=2,.*i（2,0）;

②如解图④，当AH为AAHK的腰时，以点A为圆心,AH为半径画弧，与x轴交于点K2,K3,

止匕时AH=AK2=4K3=2V5,

.­.AT2（2V5-3,0）,&（-3-2V5<0）;

同理，以点H为圆心，AH为半径画弧，与x轴交于点心此时K4与点B重合，即K4（l,0）.

综上所述，点K的坐标为（2,0）或（2遍-3,0）或（-3-2遥，0）或Q,0）；

由题意得，抛物线y=-%2-2%+3的对称轴是直线x=-l,...设G(-l,n),

：.AC2=32+32=18,AG2=[-1-(-3)]2+n2=4+n2,CG2=12+(n-3)2=n2-6n+10.

当AACG是等腰三角形时，分以下三种情况：

①当AG=AC时，如解图⑤，以点A为圆心,AC长为半径画弧，交对称轴于点Gi,G2,

AG2=AC2,：.4+n2=18,解得n=±V14,

G1(-1-714),G2(-1--V14);

②当CA=CG时，如解图⑤，以点C为圆心,CA长为半径画弧，交对称轴于点G3,G4,

•••AC2=CG2,.-.18=n2-6n+10,解得n=3±V17,

G3(-l<3+V17),G4(-l<3-V17);

③当GA=GC时，如解图⑤，作AC的垂直平分线交对称轴于点G5,

AG2=CG2,--4+n2=n2—6n+10解得n=l,

综上所述，点G的坐标为（（-1，VI号或（-1,-旧）或（T，3+旧）或（-1，3-旧）或（-LD

三阶综合强化练

1.解:⑴,・抛物线y=*+4%-1与直线l:y=x-l交于A,B两点

.联立,曾不，解得仁：鹿二

⑵设点M的坐标为((m，巾2+4m-1)则点N的坐标为(m,m-l),

...MN=m—1~(m2+4m_1)=—m2—3m=­(m+|)2+

•.点M是抛物线上A,B两点之间的一个动点(不与A,B重合),.一3<01<0,

-3<-1<0,-+1)+：的最大值为鲁

MN的取值范围为0<MN<2;

4

(3)存在.

•.A(-3,-4),B(0,-l),'AB=3V2,

①如解图，当AB是AABC的底时，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D,交y轴于点C1,

-.C1D±AB,

，设直线CiD的解析式为：:y=-x+b,将点D(-1，-1)代入得b=-4,

，直线QD的解析式为::y=-x-4,.-.C1(0,-4);

②如解图，当AB是SBC的腰时，分别以点A,B为圆心，以AB长为半径作圆，交y轴于点C2,C3,C4,

・•.AB=AC2=BCR=BC4=3V2.

BC2=6,

劭或(0,3V2—1)或

C2(0--7),C3(O>3V2-1),C4(O--1-3&),综上所述,C点坐标

(0--1-3V2).

第1题解图

2.解:⑴・••直线BC分别与x轴,y轴交于点B,C,/.B(6,0),C(0,-6).

,・抛物线y=|x2+bx+C经过点B,C,

，将B,C两点坐标代入，

得｛18+。6”(=0,解得忆二;

；抛物线的解析式为y=|%2-2%-6;

(2)NAEP+NACO=90°.

理由：由⑴知抛物线的解析式为y=|x2-2%-6,令y=0,解得XI=-2,X2=6〃1A(-2,0),「QA=2,AC=

Vox2+OC2=2V10.

•••AE=2V10,

.,.AC=AE,/.zACE=zAEC,

.•.zACO+zOCB=zPAE+zCBO.

•.OB=OC,/.zOCB=zCBO=45°,

，NACO=NPAE.

.NAEP+NPAE=90°,

.•.zAEP+zACO=90°;

(3)存在.

设P(m,0),则F(m^m2—2m—6^,E(m1m—6),EF2=|m—6—Qm2—2m—6)]=|m2+3m),

CE2=m2+(m-6+6)2=2m2,

CF2=m2+Qm2-2m-6+6)=m2+m2

当ACEF是等腰三角形时，分三种情况讨论：

①当CE=EF时,

.­.CE2=EF2,2m2=—Im2+37n)

解得m=0倍去)或m=6+2&或m=6-2V2,

P(6+2A/2-0)或P(6-2&,0);

②当CE=CF时，点(:在EF的垂直平分线上，

•••+yF=2x(-6),

m—6+-m2—2m—6=—12,

2

解得m=0(舍去)或m=2,

③当CF=EF时,.CF2=EF^

22

•••m2+m2—2—|m+3m)

解得m=4或m=0(舍去).

.■.P(4,0).

综上所述，点P的坐标为(6+2V2-0)或(6-2鱼，0)或(2,0)或(4,0).

3.解:(1)OB=30A=3V3,OA=V3,

.­.A(-V3,0),B(3V3,0),

.C(0,3),

抛物线的解析式为y=ax2+bx+3,

，将A,B两点坐标代入抛物线解析式，

3a—y[3b+3=0角妆曰a=—|

得27a+3回+3=0邮可

，抛物线的解析式为y=-^2+vx+3：

(2)【思路点拨】看见求比例关系或线段比值，可考虑利用相似三角形的比例关系求解.

如解图①，过点D作DG±x轴于点G,交BC于点F,过点A作AK，x轴交直线BC于点K,

设直线BC的解析式为y=kx+d(k/O),将B(3遍,0),C(0,3)分别代入y=kx+d,

得+d=0

d=3

心-今,

解得

Id=3

，直线BC的解析式为y=-%+3,

••-X(-V3-0),

AT（-V3-4）,AK=4,

设点D[p'-^p2+誓P+3）,则F（p--yp+3）,

...DF=—|p2+V3p,