2025年中考数学几何模型综合训练：最值模型之几何转化法求最值模型（全等、相似、中位线、对角线性质等）学生版

专题39最值模型之几何转化法求最值模型

（全等、相似、中位线、对角线性质等）

几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。

在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。

本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的

几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何

转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），

希望对大家有所帮助！

.....................................................................................1

模型1.几何转化模型-全等转化法........................................................1

模型2.几何转化模型-相似转化法........................................................2

模型3.几何转化模型-中位线转化法......................................................4

模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法....................................5

模型5.几何转化模型-其他性质转化法....................................................6

习题练模型］

.....................................................................8

模型1.几何转化模型-全等转化法

模型解读

条件：OA=OB,OA'=OB',ZAOB=ZA'OB'；结论：△044'MAOBBLAA'=BB\

该类转化法求最值的模型，三角形0/8和。4'8’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉

手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。

模型运用

例1.（23-24八年级下•江苏连云港•阶段练习）如图，在矩形中，ZDBC=30°,A8=2百，P是BC

边上一动点，连接。尸，把线段。尸绕点D逆时针旋转60°到线段DQ，连接C。，则线段CQ的最小值为.

AD

例2.（23-24八年级上•江苏南通•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标为（。，8）,点8为x

轴上一动点，以AB为边在直线48的右侧作等边三角形48c.若点P为。4的中点，连接尸C,则尸C的长

的最小值为

例3.（2024•四川内江•二模）如图，在AO/8中，NAOB=90°,BO=AO=2g，尸是03的中点，若点。

在直线上运动，连接OD,以为腰，向OD的右侧作等腰直角三角形ODE,连接尸£,则在点D的

运动过程中，线段PE的最小值为.

例4.（2024・陕西西安•模拟预测）如图，在V/BC中，AACB=90°,=4,点。是48的中点，以BC为

直角边向作等腰RtASCO,连接O。，当。。取得最大值时，AOB。的面积为.

模型2.几何转化模型-相似转化法

条件：OB=kOA,B'O=kOA',ZAOB=ZA'OB'-,结论：AOAA'S^OBB',BB'=k-AA'.

该类转化法求最值的模型，三角形045和04'夕在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉

手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。

模型运用

例1.⑵-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图‘在四边形"2中,2"女喘=》八1"=2,

则对角线/C的最小值为

例2.（2024上•浙江宁波•九年级校联考期中）如图，O。的直径长为16,点E是半径。/的中点，过

点E作CAL48交。。于点C,。.点尸在函5上运动，点。在线段C尸上，且尸。=2CQ.则E。的最大

能是_____________.

例3.（23-24八年级下•云南曲靖•期中）如图，在矩形中，4B=3,BC=4,/C与AD交于点。,

分别过点C,D作BD,/C的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点尸是四边形。CED边上的动点，

则尸G的最小值是（）

AD

模型3.几何转化模型-中位线转化法

模型解读

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

条件：如图，在三角形/8C的AS,NC边的中点分别为。、E,

结论：（A）DE//BC&DE==BC,（2）^ADE^LABC.

2

证明：如图1,过点。作交延长于点尸，：./A=NECF,ZF=ZADE,

是V/8C的中位线，：.AD=BD,AE=CE,.•.△/£>£丝△。尸£（AAS）,/.DE=FE,CF=AD,

:.CF=BD,DE^-DF,又,：CF//BD,四边形BCFO是平行四边形，

2

BC=DF,BC//DF,：.DE//BC,DE=-BC；

2

DE//BC,/.ZADE=ZB,ZAED=ZC,：.AADEsAABCO

模型运用

例1.（2024•山东德州•二模）如图，在平行四边形N2CO中，/。=6,BD=8,ADLDB,点、M、N6

别是边/8、BC上的动点（不与/、B、C重合），点£、F分别为DN、的中点，连接好，则好

的最小值为（）

例2.（2024・广东肇庆•一模）如图，点。在以48为直径的半圆上，。是半圆上不与点C重合的动点.连

接CQ,〃■是C。的中点，过点C作CPLN8于点P.若48=9,则的最大值是.

例3.（2023・四川成都•一模）已知矩形48。中，/8=240=8,点E、F分别是边48、CD的中点，点P

为/。边上动点，过点尸作与48平行的直线交相于点G,连接PE,点〃■是尸£中点，连接MG,则MG的

最小值=•

模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法

模型解读

该模型主要运用（特殊）平行四边形对角线的性质（如：平行四边形对角线互相平分、矩形的对角线相等）

来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。

模型运用

例1.（24-25九年级上•广东河源•阶段练习）如图，在矩形4BCD中，AD=6,AB=8,W为线段5。上

一动点，MPLCD于点、P,于点。，则尸。的最小值为.

例2.（23-24九年级上•广东茂名•期末）如图，尸是Rt2\4BC的斜边/C（不与点/、C重合）上一动点，

分别作于点PNLBC于点、N,。是的中点，若48=5,BC=12,当点P在/C上运动时,

BO的最小值是.

例3.（2024・河南周口•一模）如图，RtA48C中，乙4cB=90。，AC=4,BC=6,点尸为N8上一个动

点，以尸C,尸2为邻边构造平行四边形尸8QC,连接尸。，则尸。的最小值为（）

A.-A/T3B.Vi-3C.A/T3D.yf\3

模型5.几何转化模型-其他性质转化法

模型解读

如图1,等腰三角形/5C中，AB=AC,ZBAC=120°,则2C=6NC

如图2,等腰直角三角形/3C中，AB=AC,NA4c=90。，贝|5C=也/C

模型运用

例1.（23-24九年级上•广西柳州•期末）如图，正方形4BCD,边长/8=2,对角线/C、8。相交于点O,

将直角三角板的直角顶点放在点。处，三角板两边足够长.与BC、CD交于E、尸两点，当三角板绕点O

旋转时，线段斯的最小值为（）

A.1B.2C.V2D.272

例2.（23-24九年级上•广东深圳•阶段练习）如图，在“8C中，AB=AC=4,/BAC=120°,P为BC边

例3.（2024•江苏无锡•三模）如图，在四边形4BCD中，AD//CB,对角线/C、BD交于点、O,且

ZAOB=12.0°.^AC+BD=4,则ND+8C的最小值为（）

例4.（2024•陕西渭南•二模）如图，在菱形48CD中，N/BC=120。，AB=24,点E、尸分别是4D、BC

边上的两个动点，连接心,EF,若FA平分NBFE,则。£的最大值为（结果保留根号）

习题练模型

1.（23-24九年级上•山西临汾•期中）如图，在“BC中，AB=BC=10,AC=12,点D,E分别是4B,3C

边上的动点，连结。E,F,M分别是的中点，则厂”的最小值为（）

A.12B.10C.9.6D.4.8

2.（2023•浙江杭州•二模）如图，点。为VABC的内心，/B=60。，BM手BN,点M,N分别为BC

上的点，且（W=ON.甲、乙两人有如下判断：甲：ZMON=\20°：乙：当JWJ.3C时，△跖•的周长有

最小值.则下列说法正确的的是（）

A.只有甲正确B.只有乙正确C.甲、乙都正确D.甲、乙都错误

3.（23-24八年级下•广东江门•期中）如图，已知正方形48。的边长为4,点尸是对角线8。上一点，PEL8C

于点E,尸尸_LCD于点尸，连接4P,EF.给出下列结论：®AP=EF^.APLEF；®ZPFE=ZBAP；③

一定是等腰三角形；④四边形尸EC厂的周长为4五；⑤斯的最小值为2/；@PB2+PD2=2PA2.其

中结论正确的是（）

A.①③④⑤B.②③④⑥C.①④⑤⑥D.①②⑤⑥

4.（2024•江苏扬州•三模）如图，正方形/BCD边长为4,以B为圆心，42为半径画弧，£为弧NC上动

点，连BE,取BE中点尸，连CF,则DE+CF最小值为

AD

5.（24-25九年级上•福建厦门・期中）如图，若RtZX/BC中，ZACB=90°,ZB=30°,/。=26，P是BC

边上一动点，连接4P,把线段4P绕点A逆时针旋转60。到线段/。，连接CQ,则线段CQ的最小值为（）

A.1B.3C.V3D.26

6.（2023九年级下•安徽•专题练习）如图，在ABCP中,BP=4i，尸C=4,现以BC为边在8c的下方作

正方形48。并连接4P,则/P的最大值为（）

A.275B.6C.4+2夜D.726

7.（23-24八年级下•辽宁阜新•期中）如图，边长为20的等边三角形中，M是高CH所在直线上的一

个动点，连接"B,将线段3M■绕点3逆时针旋转60。得到8N,连接HV,则在点M运动的过程中，线段HN

A.3B.10C.5D.6

8.（2023•广东湛江•二模）如图，在OO上有顶点。和动点尸，位于直径的两侧，过点。作。尸的垂线

4

与尸8的延长线交于点。.已知。。的直径为10,tanZABC=-f则C0最大值为（）

15—2520

A.5B.—C.—-D.—

243

9.（23-24九年级上•辽宁辽阳•期末）如图，在矩形/5C。中，AB=3,BC=4,AC与BD交于点、O,分

别过点C,。作BD,/C的平行线相交于点尸，点G是CD的中点，点P是四边形OCED边上的动点，则尸G

的最小值是（）

10.（2023•浙江绍兴•模拟预测）如图，在RtaEC中，已知//C8=90。，ZC=8,3c=10,。为平面上一

点，且50=6,M为CD上一点，且CA/：MD=3：2,则4W的最小值为.

11.（2024•陕西咸阳・模拟预测）如图，在口/5OC中，连接8C,BC=4,ZABC=120°,£是边CD上一

动点，连接BE,以BE为边向左侧作等边△5EF,连接FC,则FC的最小值是.

12.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，在"BC中，乙4cB=90。,AC=BC=4,P是AASC的高CD上一

个动点，以3点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45。得到BP,连接。P,则DP的最小值

是

B

P'

/尸\

CA

13.（2023•内蒙古呼和浩特•一模）如图在菱形A8C。中，。为对角线/C与BD的交点，点?为边4B上的

任一点（不与A、8重合），过点尸分别作尸ML/C,PN1BD,M、N为垂足，则可以判断四边形KPNO

的形状为.若菱形的边长为。，120°,则MN的最小值为.（用含。的式

子表示）

14.（23-24八年级下•江苏盐城・期中）如图，“8C中，AB=AC=5cm,3c=8cm,P是边/C上的一

个动点，以8c为对角线作平行四边形APCD,则DP的最小值为cm.

D

15.（2024•山东泰安•二模）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样

一类特殊的四边形:两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形/8C。中，AC1BD,

垂足为O,对角线/C=4,BD=6,^S=AD+BC,贝ijs的最小值等于.

C

16.（2024•江苏徐州•三模）如图，在平面直角坐标系中，点4坐标是（-1,0）,点5的坐标是（2,0）,长为2

的线段CD在〉轴上移动，则力C+助的最小值是.

17.（23-24八年级下•浙江金华•阶段练习）如图，菱形48co的边长为4,ND=60。，点£在线段48上,

以BE为边在左侧构造菱形8EFG,使G在CB的延长线上，连接CF、GE,分别取CRGE的中点H,O,

连接贝IJO〃=；当点£在边上运动（不含4D）时，5H的最小值为.

18.（2024•山东济南•二模）在菱形48co中，N/=60。,48=8,E为菱形内部一点，且8£=6,连接DE,

点尸为。E中点，连接CF,点G是CF中点，连接BG,则8G的最大值为.

19.（2023•辽宁铁岭•模拟预测）如图，“3C与ACDE是等边三角形，连接4D,取/。的中点尸，连接8尸,

将ACDE绕点C顺时针旋转.若BC=2CD=4,则在ACDE旋转过程中，则线段3尸的最大值为.

20.（2024•广西南宁•模拟预测）如图，在边长为6的正方形48co中，点E,尸分别是边NB,8c上的动

点，且满足="与DE交于点。，点M是。厂的中点，G是边48上的点，NG=2G8,则（W+；尸G

的最小值是

21.（23-24九年级上•贵州遵义•期末）如图，正方形/8C。，边长13=2,对角线NC、3。相交于点。，

将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于£、E两点,当三角板绕点O

旋转时，线段EF的最小值为.

23.（23-24九年级上•河南驻马店•阶段练习）如图，点3、M、C三点在同一直线上，四边形是菱

形，△MDC是边长为4的等边三角形，把△MDC绕点M逆时针旋转，当MD（即与交于一点E,

MC（即MC）同时与AD交于一点尸时，点E、9和点A构成八AEF,则AAEF的周长的最小值是