2025年中考数学总复习学案：相似三角形（含位似）（含答案）

微专题22相似三角形（含位似）

考点精讲

构建知识体系

,、「比例的性质

［平行线分线段成比例卜

I黄金分割

定义

一边

_角

性质-

-周长

-面积

•■边

判定一角

Ji边+角

|位似图形）一*位似作图

考点梳理

1.比例

⑴比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即？

比例线段

=?那么这四条线段。，b,c,叫做成比例线段，简称比例线段

ad

比例中项如果Q：：C或三='或①，那么b叫做。和C的比例中项

（2）比例的性质

性质1（基本

如果那么②________=bc（b,"0）（反之也成立）

性质）

性质2（合比

如果三=1那么乎=③3,dWO）

性质）bab

性质3（等比如号十=…普，且"+江…+叱。，那么落T

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性质)也

b1

2.平行线分线段成比例

(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).

(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线

段成④______

3.黄金分割比例(2023.6)

图示AC―R

如图，石。把线段A5分成两条线段4。和5C且当二⑤一，那么线

AB--------

定义段被点。黄金分割，点。叫做线段⑷5的黄金分割点，4。与A3的比

叫黄金比，即竺=渔工七0.618,—^0.382,简记为［=”=匹二

AB2AB全长2

【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点

4.相似三角形的性质与判定(6年11考)

pl)相似三角形的对应角⑥________，对应边⑦:

(2)相似三角形中的所有对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于相似

性质

比；

(3)相似三角形的周长比等于⑧________，面积比等于⑨

两角分别相等的两个两边成比例且⑩一相三边⑪—的两个

判定

三角形相似等的两个三角形相似三角形相似

方法AAz\Z\\

5.位似

⑴定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图

形叫做位似图形，这个点叫做位似中心

(2)性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

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②在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为左，那么位似图形上

的对应点的坐标的比等于左或一左

练考点

1.已知士=£=£=£,则a+c+e

bdf3Jb+d+f

2.如图是五条等距离的平行线，同一条直线上的三个点A,B,。都在横线上,

若线段A5=4,则线段的长为.

第2题图

3.如图，若线段A5=2,点。为A5的黄金分割点，KAOBC,则AC的长

III

ACB

第3题图

4.若两个相似三角形的边长之比为1：2,则它们的面积比是

5.如图，A3与。。交于点0.若黑=黑W，则黑=_____________.

UD(JUZ.DD

第5题图

6.如图，△A5C与△£)£：尸是位似图形，且位似中心为O,OB：0E=2：3,若

△A5C的周长为4,则ADE尸的周长为.

第6题图

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高频考点

考点1平行线分线段成比例

例1（北师九上习题改编）如图，直线Q〃Z?〃C,分别交直线加，〃于点A,C,E,

B,D,F,下列结论正确的是（）

.ACBD「ACBFACBD一ACCE

A.—CE=一BFB.一AE=一DFC.一DF=一CED.一BD=一DF

例1题图

变式1（人教九下习题改编）如图，直线AZ）,5。交于点O,AB//EF//CD.

若49=2,0F=l,FD=2,则些的值为.

变式1题图

考点2相似三角形的性质与判定（6年9考）

模型一A字型

[2023.15,2023.22(2)②，2021.21(2),2020.22(2),2019.24(3)]

模型分析

类型正“A”字型斜“A”字型

模型展示

模型特点有共用的一组角NA,并且有另外一组角相等，形似“字母A”

解题思路找同侧的一组相等角找异侧的一组相等角

AE_DEAE_DE

结论^ADE^AABC^-ACBCABCB

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例2（人教九下练习改编）如图，D,E分别是△ABC边A5,AC上的点，ZAED

=ZABC,若AQ=2,BD=4,AE=3,则CE的长为.

例2题图

变式2如图，在△A5C中，ZACB=90°,为斜边A5上的高，若AC=6,

BD=5,则sinB的值为.

A

ICXR

变式2题图

变式3如图，在△A5C中，6。平分NABC交AC于点。，过点。作。石〃5C

交45于点E,若BE=2,BC=3,则配侬=________.

S^ABC

A

M

变式3题图

模型二8字型

[2021.23,2019.10@]

模型分析

模型特点有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”

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解题思路找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例

A_|_SA八八A八八A

结论△A4OBsADOCn4一°二一BO二一AB△A40Bs△C0D=—4°=一B°=—AB

DOCODCCODOCD

例3如图，线段AE,BD交于点C,连接ABDE,若AC=9,CE=4,BC=

CD=6,DE=3,则A".

变式4如图，正方形A5CD的边长为5,正方形E/GC的边长为3,点5,C,

G在一条直线上，连接交CD于点H,则图中阴影部分的面积为.

变式4题图

模型三手拉手型

[2024.22(2)]

模型分析

模型展示：

模型特点：1.如图①，DE//BC,ZBAC=ZDAE-,

2.如图②，将AADE绕点A旋转一定角度后，连接50,CE,延长BQ交CE

于点F

名吉论：@AADE^AAfiC；②若AZ)=4E,AB^AC,则△A5OZ4ACE

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例4在△ABC中，D,E分别是ABAC的中点，连接OE,将△AOE绕点4

逆时针旋转到如图所示的位置，连接5ZT,CE',若AZ)=|AE,BD=4,则C?

的长为.

AE,

BC

例4题图

变式5如图，在△ABC和△ADE中，点。在边上，ZB=ZADE=30°,

ZBAC=ZDAE=9^,贝喘的值为--------

A

BDC

变式5题图

模型四一线三垂直型

[2021.23]

模型分析

例5如图，在矩形A5co中，A5=6,点E,尸分别在边A5,BC±.,且EE

若CF=2BE,则5/的长为.

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AL

例5题图

变式6如图，在△人台。中，NBAC=90°,点4的坐标为(0,2),顶点。在反

比例函数丁=与%>0)的图象上.若AB=24C,且。4=05,则左的值为.

变式6题图

考点3位似

例6如图，线段A5的两个端点的坐标分别为A(l,2),5(2,0),以原点为位似

中心，将线段A3放大得到线段8,若点。的坐标为(5,0),则点。的坐标

为.

例6题图

真题及变式

命题点1黄金分割数(2023.6)

1.(2023广东6题3分)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优

选法中有一种0.618法应用了()

A.黄金分割数B.平均数C.众数D.中位数

拓展训练

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2.（2024东莞一模）宽与长的比是个（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形

蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画

出黄金矩形：作正方形A5cD,分别取A。，5。的中点E,F,连接石尸：以点尸

为圆心，以FD为半径画弧，交5。的延长线于点G；作交AZ）的延

长线于点“，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

AEDAEDH

RFC.RFCC

第2题图

A.矩形A5/石B.矩形E尸CDC.矩形EFGHD.矩形。CG”

命题点2相似三角形的性质与判定（6年11考）

拓展训练

3.（2024梅州一模改编）如图,在△A5C中，于点Z）,5EUC于点E,

与8相交于点E若乙钻石=30。，则啜的值为_______.

CE4EF

第3题图

4.如图，在AABC与AADE中，ZBAC=ZDAE,ZABC=ZADE,连接50,

CE.^S^ADB：5AA£C=16：9,△405的周长为2,求△AEC的周长.

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5.如图为两个全等的等腰直角△A5C和△AOE,已知NR4C=NAEZ)=90°,

AD,AE分别交5。边于点尸，G,BC=5V2.

(1)求证：AG2=BGFG；

(2)求证：ZkABGs△尸C4；

(3)设5G=x,CF=y,求y与％之间的函数表达式，并写出％的取值范围.

新考法

6.［数学文化］(2024佛山二模)《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方

圆”.度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形45CD的对角线的交

点为位似中心，作它的位似图形ABC7)，，若A5：A'B'=1：2,则四边形A5CZT

的面积为()

A.9B.6C.4D.3

第6题图

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7.［数学文化］四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时

代.如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1米的正方

形45CZ）的一个顶点处安装一根方向杆.若将该四分仪的方向杆对准远处的目标

物E,在四分仪上读出。尸的长度为20厘米，已知点5,C,E在同一条直线上,

则目标物E与点5之间的距离BE为（）

RC

第7题图

A.1米B.4米C.5米D.6米

8.［跨物理学科］（2024山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方

形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,5分

别在习字格的边尸。上，旦AB〃NP,“晋”字的笔画的位置在A5的

黄金分割点C处,且筹=『.若N尸=2cm,则BC的长为cm（结果保

AB2-------------------

留根号）.

卡

第8题图

9.［结合网格］如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积

为.

第9题图

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考点精讲

①"jc②ad③手④比例⑤裂⑥相等

dAC

⑦成比例⑧相似比⑨相似比的平方⑩夹角

期比例

练考点

1.-2.23.V5-14.1：45.-6.6

32

高频考点

例1D【解析】...丝=丝ACBD言暇一•.选项A,B,C

CEDFAEBF

错误，不符合题意；D正确，符合题意.

变式1|【解析「."〃"〃。,.凄=合=*,h°=2,°尸=1,FD

•BE_2+1

例21【解析】•.,/AEZ)=NABC,NZMEnNCAB,；.△.•.空

变式2|【解析】VZA=ZA,ZADC=ZACB=9Q°,.'.AADC^AACB,

•ADAC

詈嬴,解得，Ad=-9（舍去），AD2=4,则sinN“冷盘

变式3三【解析】•.•5。平分NA5C,...NA5D=NC5D;。石〃5。，...NED5

=/CBD=/ABD,：.DE=BE=Z'：DE〃BC,：.AAEDsAABC,：.怅皿=喀辛

例31【解析】•.,AC=9,CE=4,JBC=CO=6,.嗡=||=|.•.,NAC5=NZ)CE,

APArOQ

.•.△ACBsADCE,•:DE=3,：.AB=~.

DEDC22

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变式4—【解析】VZFEH=ZBCH,ZEHF=ZCHB,：.^EHF^ACHB,

•EF_EH_3EH3CEQ1IQ27

•CBCH5・•.=s^••&EFH=-EH.EF=-X-X3=-.

例46【解析】VD,E分别是A5,AC的中点，.,.DE〃5C,.,.分=若,由

ABAC

旋转得，

ZDAE=ZD'AE',AD^AD',AE=AE',ABACZDAD'+ZD'AE

=ZD'AE+ZCAE',：.ZDAD'=ZCAE,：.^ABD'^AACE',

CE'AE'AE

2

VBDr=4,：.CEr=6.

3

变式5—【解析】/胡。=/加石=90°,••.tanNJB="，tanNADE=些，

3ABAD

ZB=ZADE=30°,=tan30°=上又♦:/BAC=/DAE,：.ZBAC~

ABAD3

ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NBAZ)=NC4E,△A^QSAACE,.•.空=任=理.

BDAB3

例53［解析】丁EFLDF,：.ZEFD=90°，即NBFE+ZCFD=90°.VZBFE

+NBEF=9U°,:"BEF=/CFD,又•：NB=NC=90°,：.^BEF^ACFD,

,：CF=2BE,AB=CD=6,解得5尸=3.

CFCD2BE6

变式63【解析】如解图，过点。作轴于点,.2(0,2),OA=OB,

：.OA=OB=2,VZBAC=90°,：.ZOAB+ZCAH^90°,VZABO+ZOAB

=90°,ZABO=ZCAH,又「NAO5=NA〃C=90°,.*.△ABO^ACAH,

.二证—=2,.•.S=A"=1,.•.O”=OA+AH=3,..yi,3),二.点。在

尸例图象上，，仁1X3=3.

变式6题解图

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例6(|,5)【解析】由题意得,△。45与408为位似图形，OABs^ocD,

•.•点5(2,0),0(5,0),：.OB=2,OD=5,.*.△OAB与工OCD的相似比为2：5,

•・•点A坐标为(1,2),...点。的坐标为(1义|,2X|),即(|,5).

真题及变式

1.A

2.D【解析】设正方形的边长为2,则8=2,。尸=1在直角三角形。。尸中,

DF=V5,CG=V5-1,•••累=9二，•••短形。CG"为黄金矩形.

3.|【解析】•.•CZ)_LA5,JBE_LAC,.•./5。尸=/。石尸=90°,：.ADFB^/\EFC,

：.ZDBF=ZECF=30°，处=竺=々在R3ECF中，NECF=30°,：.EF=-CF,

CECF42

4.解：VZBAC=ZDAE,ZABC=ZADE,

.'.AABC^AADE,

•ABAC叩ZBAD

-9ADAEJACAE

'：NBAC=ZDAE,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,即/BAD=ZCAE,

AAADB^AAEC；

S^ADB-AEC=16:9,

CAADB:CAA£C=4:3.

•CAADB=2,

••CAAEC~~-

5.(1)证明：由题意可知，NE4G=NABG=45°,

,?ZAGF=ZBGA,

：.AABG^^FAG,

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•AG_BG

••,

FGAG

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