2025年中考数学总复习学案：三种方法求阴影部分面积（含答案）

微专题31三种方法求阴影部分面积

一阶方法训练

方法解读

1.公式法

所求阴影部分的面积是规则图形，例如三角形、特殊四边形、扇形时，直接用面

积公式计算.

BC

S阴影=S正方形ABC。

S阴影=S扇形MEN

方法一公式法[6年2考：2023.15>22(2)②，2022.15]

例1如图，在口A5CD中，5。=8,点E在边上，连接5E,CE,若点4到

直线的距离为4,则图中阴影部分的面积为.

变式1如图，在矩形中，AB=2,BC=V3,以点5为圆心，5A长为半

径画弧，交CD于点E,连接5E,则扇形A5E的面积为.

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变式1题图

变式2如图，在△人5。中，AB=AC,ZC=30°,AC=4,以AB为直径的

交BC于点D,连接0。，则图中阴影部分的面积为，

变式2题图

方法解读

2.和差法

(1)直接和差法

所求不规则阴影部分的面积若可以看成几个规则图形，则面积直接相加减.

S阴影=_5AAEF—5ABCE—5ACDF

S阴影=§△ABC-S扇形CAO

⑵构造和差法

所求不规则阴影部分的面积需要添加辅助线构造规则图形，然后进行相加减.

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S阴影=§△OBO+S扇形OOC

S阴影=S\ABC-S&BOD-S扇形。0c

方法二和差法[6年2考:2021.13,2019.22(2)]

一、直接和差法

例2如图，在矩形中，AB=6,BC=8,点、E,尸分别在边A5,AD±,

连接CE,CF,EF.若AE=2BE,AF=DF,则图中阴影部分的面积为.

例2题图

变式3如图，△A5C内接于连接。4,OB,若04=10,ZACB=45

则图中阴影部分的面积为.

变式3题图

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变式4如图，四边形495。是边长为1的正方形，以0为圆心的力交04的延

长线于点。，则图中阴影部分的面积等于

变式4题图

二、构造和差法

例3如图，四边形A5C。，CE/G均为正方形，点。在CE上，其中正方形A5CQ

的面积为16cm2,正方形C"G的面积为36cm2,则图中阴影部分的面积为.

cm7z.

变式5如图，A5为。。的直径，6。与相切，连接AC,与交于点

o0的半径为2.若点D是a的中点，则图中阴影部分的面积为

C

变式5题图

变式6如图，在矩形中，AB=4,fiC=4V2,以点5为圆心，分别以A5,

的长为半径画弧，与BC,分别交于点E,F,则图中阴影部分的面积

为

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变式6题图

方法解读

3.等积转化法

所求阴影部分的面积无法直接计算时，可利用等积转化法将所求阴影部分的面积

转化为规则图形的面积或规则图形面积的和差.

(1)直接等面积转化(A5〃CD)

S阴影ABC

(2)全等转化

D

S阴影=&AOB(DABCD)

A

s阴影=&ACD(。为A5的中点)

方法三等积转化法

例4如图，在口中，点E在边上，连接5E,CE,若S°ABCD=20,则

图中阴影部分的面积为

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例4题图

变式7如图，已知点C,。是以A3为直径的半圆0的三等分点，长的长为壬

则图中阴影部分的面积为.

变式7题图

变式8如图，A5为。。的直径，5。与。0相切，连接AC,与。。交于点。,

。。的半径为2,若NC=45°,则图中阴影部分的面积为.

变式8题图

二阶综合应用

1.如图，A5是。。的直径，0C=6,ZBAC=40°,则图中阴影部分的面积

为，

第1题图

2.如图，E,尸分别是矩形A5co的边ABCD上的一点，连接。E,4尸交于

点尸，连接CE,BF交于点Q,若四边形E尸尸。的面积为15,则图中阴影部分的

面积为.

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3.如图，在矩形A5CD中，BC=4,CD=2,以AZ）为直径的半圆。与相切

于点E,连接5。，则图中阴影部分的面积为.（结果保留九）

4.如图，将边长为旧的正方形绕点5逆时针旋转30°,得到正方形

A3CZ/,点4,C,。分别对应点4,C,D',则图中阴影部分的面积为.

第4题图

5.如图，在正方形A5CD中，AB=4,点E,尸分别是A。，5。的中点，分别以

点A,5为圆心，AE长为半径作弧，两弧交A5于点G,以E/为直径在E尸的

右侧作半圆，则图中阴影部分的面积为.

6.如图，E为正方形A5co内的一点，BELCE,CE=巾,则图中阴影部分的

面积为.

第6题图

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7.如图，在矩形A5CD中，AB=6,BC=10,点、E,尸在边上，点G,H

分别是A5,CD的中点，G尸和EH交于点V,若石尸=%。，则图中阴影部分的

面积为

AEFD

R

第7题图

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一阶方法训练

例116【解析】•「A。〃与。，点A到直线的距离为4,.•.点E到直线

的距禺为4,.,.S^®=|x8X4=16.

变式1y【解析】•.•四边形A5C。是矩形，.•.NA5C=NC=90°,,：BA=

BE=2,BC=43,.*.cosZCBE=—,：.ZCBE=30°,：.ZABE=90°-30°

BE2

2

—乙八。•c—60HX2—如

—60,-S扇形ABE—---一y-

变式2y【解析】VAB=AC=4,ZC=30°,A5为。。的直径，.•.N5=

ZC=30°,OA=OB=-AB=2,，NAO。=2/3=60°,/.S阴影啊.

23603

例220【解析】•：AE=2BE,AF=DF,AB=6,BC=S,.,.AE=|AB=4,BE

111

======

-AB2jAFDF-AD-BC4,S阴影=S矩形ABCD—SAAEF一BCE-SACDF

ill

=6X8--X4X4--X8X2--X6X4=20.

222

变式325兀一50【解析】•••/AC5=45。，，/AO5=2NAC5=90°,又

=05=10,.\S阴影=S扇形A08—5"。8=叱—三0405=胆叱一10X10=25兀

36023602

-50.

变式4；【解析】•.•四边形A05C是边长为1的正方形，.\AC=AO=1,

42

ZOAC=90°,OC=V2,ZAOC=45°,，S阴影=S扇形c。。—&AOC=^^一

360

-xixi=---.

242

例310【解析】•.•四边形ABC。，CE/G均为正方形，且面积分别为16cm2,

1

=

36cm?,・・BC=CZ)=4cm,CGC£=6cm,・・S阴影=S^BEG—S△BDG=~^(4+6)义6

-jx(4+6)X4=10cm2.

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变式52+K【解析】如解图，连接0。，,点。是&的中点，••.NA0D=NJD05

=90°,AAO。是等腰直角三角形，的半径为2,•*S阴影=$(△AOD~\~S扇形。。8

190HX22_cI

=-X2X24------=2十兀.

2360

变式5题解图

变式68【解析】如解图，连接5尸，,四边形A5C。为矩形，.••NA5C=NA4。

=90°，VAB=4,BF=BC=A>TL：.AF=BF2~AB2=4,.'.△AB尸是等腰直

角三角形，ZABF=ZCBF=45°，:・S阴影=S扇形A5尸一S扇形=]?

360

+1X4X4-90TTX42=8

2360

变式6题解图

例410【解析】如解图，连接,四边形A5C。是平行四边形，.•.AO〃BC,

1•

5ABCD=-S^ABCD=10?S阴影=SA5CD=10・

R

例4题解图

变式75【解析】如解图，连接8，OC,OD,VC,。是以A5为直径的半

6

圆的三等分点，ZAOC=ZCOD=ZDOB=60°,AC=CD,XVOA=OC=

OD,：.△OAC,△OCD是等边三角形，.••N40C=N0C。，.•.CD〃A5...SAACD

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=8。皿，:力的长为设半圆。的半径为r,•••嘿::/，解得r=1,.\S阴

31803

2

—c_60HX1_Tl

影=3扇形COD=r/c=二・

变式7题解图

变式84【解析】如解图，连接5。，OD•「BC与。O相切，.•.NA5C=90°,

•.•NC=45°,••.△A5C为等腰直角三角形，为直径，.•.NAO5=90°,J

点。是AC的中点，是△人与。的中位线，,.,BCLA5,.,.0Z)，A5,即NAO。

=N5OZ)=90°,••.扇形40。的面积与扇形50。的面积相等，易得S阴影=SaBDC，

.•.在R35QC中，SABDC=|BD-CD=|X(V2AO)2=4,即S阴影=4.

变式8题解图

二阶综合应用

1.871【解析】:⑷？是OO的直径，.•.NAC5=90°,又YOA=OB,，线段

CO是RtAA5C斜边A5上的中线，J&AOC=%COB，・♦・S阴影=S扇形BOC，ZBAC

=40°,ZB0C=2ZBAC=SQ°,VOC=6,扇形BOC=^^=8TI,，S阴影

360

=871.

2.15【解析】如解图，连接EF,*••四边形ABC。是矩形，・・・AB〃CZ),・•・△£尸。

的边FC上的图与^BCF的边FC上的IWJ相等，・•・SzkE/c=S2k5cv,-5AFQC

=

—5ABCF-S&FQC,:♦S&EFQ=S&BQC,同理,5AEFDS^ADFF:.SAEFP=S〉APD,*•*S

四边形石尸尸Q=SAEFP~\~S&EFQ=15?••S阴影=$*△APD~\~5ABQC=S四边形石尸尸Q=15.

AEB

nF

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第2题解图

3.7i【解析】如解图，连接0E交于点尸,♦..四边形A5C。为矩形，

ZFBE=N0,又•二A。为圆O的直径，半圆O与BC相切于点E,：.OE±BC,

易得BF=DF,BE=OD=^BC=2,.*.△ADOF(SAS),阴影=S扇形EOD=

^nr2=^n：X22=n.

44

第3题解图

4.3-V3【解析】如解图，设AZ),CD交于点E,连接5石，二•四边形A5CQ

是正方形，:.AB=BC,ZA=ZABC=ZC^90°,由旋转的性质，得NC5C=

30°,BC'=BC,ZC'=ZC=90°,ZA=ZC'=90°,AB=C'B,又♦:BE=

BE,.*.RtAABE^RtAC'BE,：.ZABE=ZC'BE=^ZABC'=^(90°-NCBC)=

==

30°,S&CBE=S&ABE，在RtAABE中，AEAB-tdn^ABE1,S阴影=S正方形ABCQ

一s四边形ABC,E=gxV^—2x]x1XV3=3-V3.

第4题解图

5.8【解析】如解图，设E尸的中点为O,连接GO并延长，交CD于点H,,:E

为中点，AG=AE,AD^AB,，点G为A3的中点，易得OE=OF=DE,扇

形EOH与扇形G5尸面积相等，扇形”0尸与扇形石AG面积相等，可得S阴影=5

=

矩形A8产£，二•点E是的中点，AB^AD=4,：.AE=2,：.S阴影=S矩形ABFE4X2

=8.

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第5题解图

6.1【解析】如解图，