2025年中考数学总复习学案：等腰三角形与直角三角形（含答案）

微专题18等腰三角形与直角三角形

考点精讲

构建知识体系

边

角彩体

周长

对怵性

面也

考点梳理

1.等腰三角形与直角三角形的性质（6年7考）

等腰直角

图形名称等腰三角形等边三角形直角三角形

三角形

N

图形/\11.

L__h__\a

aa

勾股定理：若直角三

角形的两直角边分

边两腰①_____三边相等两直角边相等

别为a,b,斜边为c,

贝IJ有⑪—

三角相等，且

两锐角相等且

性角两底角②—每一个角都等两锐角之和等于⑫

都等于45°

质于⑧—

等腰三角形顶

⑴斜边上的中线等1.满足“三线

角的③____、

特殊满足“三线合于⑬_____合—A

@______、1

性质（2）30°角所对的直2.斜边上的中

相互重合（简记

角边等于⑭_____线等于⑮_____

为“三线合

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一”)

等腰三角形是等边三角形是

等腰直角三角

轴对称图形，有轴对称图形，

形是轴对称图

对称⑥____条对称有⑨____条对

——形，有⑯_____

性轴，对称轴是—称轴，对称轴

条对称轴，对称

0____是⑩

轴是⑰_____

面积计s=@

S="S=|c/z=®___S=|c/z=@___

算公式

2.等腰三角形与直角三角形的判定(6年6考)

一边相等。叭।•加是s

声京帼等:麻V~

t•角，足史

边相等

角相等

-一个个为WT

两条较小边民的平方和点/严优用边经

等十J1大边长的平方旧

两个角注余

练考点

1.在△A3。中，AB^AC.

(1)若△ABC的周长为12,一边长为5,则5。=；

(2)若△ABC的一个内角为80°,则N5=°；

(3)如图，延长5。至点。，使得。Z)=AC,CE平分NACO交A。于点E,若A5

=5,AD=8,则CE=.

.4

Ax£

/\

/\/\

Rcn

第1题图

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2.如图，在R3A5C中，ZBAC=90°，AZ)是边上的中线.

Hh

第2题图

(1)若N5=2NC,则NB=；

(2)在(1)的条件下，若A5=4,则AL>=,ZADB=0；

(3)若△ABC中两边长分别为3,4,则△人与。的周长为.

3.如果△A5C的三边长a,8,c满足a：b：c=l：1：VL那么△45。是()

A.等边三角形

B.钝角三角形

C.锐角三角形

D.等腰直角三角形

高频考点

考点1等腰三角形的相关证明及计算(2020.20)

例1如图，已知在△ABC中，AB=AC,A。为5。边上的中线，尸为CA的延

长线上一点，过点尸作尸G,5。于点G,交A3于点E.

(1)求证：AD//FG-,

(2)试判断尸的形状，并说明理由；

(3)如图②，连接CE,CELAB,AB=13,BC=1Q,求CE的长；

(4)若NB=60°,BC=S,E为A5的中点，求5G的长.

HGI)(：

图①

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Rcnc

图②

例1题图

考点2直角三角形的相关证明及计算(6年3考)

例2如图①，已知在AABC中，CD是边A5上的高，ZA=ZBCD.

(1)试判断△A5C的形状，并说明理由；

(2)若N4=30°,BD=W,求4。的长；

(3)若AC=遮，BD=4,求AO的长；

(4)如图②，4E平分NCA5交于点尸，交CB于点E,求证：CE=CF.

图②

例2题图

真题及变式

命题点1特殊三角形的判定(6年7考，常在计算题中涉及考查)

1.(2020广东20题6分•人教七上习题改编)如图，在△斗台。中，点。，E分别是

AB,AC边上的点，BD=CE,ZABE=ZACD,BE与CD相交于点F.求证：△ABC

是等腰三角形.

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第1题图

2.(2020广东21(2)题5分)若a=—4旧,b=12,一个三角形的一条边的长为2连,

另外两条边的长是关于x的方程x^+ax+b^的解.试判断该三角形的形状，并

说明理由.

变式

2.1变条件——将已知条件变为与非负性结合

已知△ABC的三边长a,Z?,c满足(a—Z?)2+12a—b—3+Ic—3V2I=0,则△ABC

是()

A.等边三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.等腰直角三角形

命题点2与特殊三角形有关的计算(6年7考，常在几何题中涉及考查)—

3.(2021广东20题6分•北师八下习题改编)如图，在R3A5C中，ZA=90°.

作的垂直平分线交4。于点。，延长AC至点E,使CE=AB.

(1)若AE=1,求的周长；

(2)若AD=^BD,求tanZABC的值.

新考法

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4.［综合与实践］

数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动.

【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是个，则这个三角形是黄金三角

形.

【动手操作】如图①是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角

都是36°,并制作了相同五角星如图②所示，NA的度数为36°,且AZ)=A5

=1,于是猜测是黄金三角形.

【解决问题】

(1)/CBD=°；

(2)求证：△A3。是黄金三角形；

(3)如图③，在R3A5C中，ZACB=90°，ZBAC=18°，BC=1,求AB的长.

图①图②图③

第4题图

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考点精讲

①相等②相等③平分线④底边上的高⑤底边上的中线⑥1⑦底边上

的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线⑧60°(9)3⑩每条边上

的高(或中线或内角平分线)所在的直线@L2+b2=c2

@0°倒边的一半倒边的一半⑮斜边的一半复圆边上的高(或中

线或顶角的平分线)所在的直线⑱碗睡屋遢仍㉑之次㉒90°(直角)

㉓60。㉔相等

练考点

1.(1)2或5；(2)50或80；(3)3

2.(1)60°；(2)4,60；(3)12或7+夕

3.D

高频考点

例1(1)证明：•.•A5=AC,为边上的中线，

：.AD±BC,

\'FG±BC,

.'.AD//FG-,

(2)解：zkAE尸等腰三角形，理由如下：

,JAB^AC,为边上的中线，

ZBAD=ZCAD,

由(1)知AD//FG,

：.ZF=ZCAD,ZAEF=ZBAD,

：.ZF=ZAEF,

：.AF^AE,

即尸是等腰三角形；

(3)解：,：AB=AC,40为边上的中线，

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：.BD=CD=5,AD±BC,

.•.在RSA3。中，根据勾股定理，得AZ)=^AB2~BD2=J132-52=12,

,?CELAB,

11

SAABC=^BCAD=^ABCE,

即三X10X12=^X13XCE,解得CE=四；

2213

(4)解：VZB=60°,AB=AC,

A5C是等边三角形，

：.AB=BC=S,

\'FG±BC,

：.ZBEG=90°-ZJB=30°,

•「E是AB的中点，

1

：.BE=-AB=4,

2

•.•在RSBEG中，NBEG=3U°,

1

：.BG=-BE=2.

2

例2⑴解：△45。是直角三角形，理由如下：

「CD是边A5上的高，

ZADC=90°,即NA+N4CD=90°.

,?ZA=ZBCD,

：.ZACD+ZBCD=90°=ZACB,

...△A5C是直角三角形；

(2)解：VZACB=90°,ZA=30°,

：.AB=2BC,N5=60°,

〈CD是斜边A5上的高，

ZBDC=90°,

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ZDCB=90°~ZB=30°,

：.BC=2BD,

BC=2相,

...在R3A5C中，由勾股定理，得AC=JAB2~BC2=6；

(3)解：\'CD±AB,

ZADC=ZACB=90°,且N04。=NBA。，

：.AACD^AABC,

•AC_AD

•A•BAC,

9：AB=BD+AD,

•AC_AD

-9BD+ADAC"

VAC=V5,BD=4,

.V5_AD

4+AD后

解得AD=-5(舍去)或AD=1,

：.AD=1；

(4)证明：在R3AEC中，ZCEA=9Q°—Nl,

在R3AED中，ZAFD=90°—N2,

•「AE平分NC45,

.*.Z1=Z2,

ZAFD=ZCEF,

又•：/CFE=/AFD,

：.ZCEF=ZCFE,

：.CE=CF.

真题及变式

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1.证明：在^BDF和^CEF中,

团BFD

即BFFECF,

(BD=CE

△BDF^ACEF(AAS),

：.BF=CF,

：.ZFBC=ZFCB,

：.ZDBF+ZFBC=ZECF+ZFCB,

即ZABC=ZACB,

：.AB^AC,

A5C是等腰三角形.

2.解：该三角形是等腰直角三角形，理由如下：

•：a=-4A/3,8=12,J关于％的方程%2+依+。=0即为％2—4\/"X+12=0,

解得XI=X2=2V3,

•••该三角形是等腰三角形，

,/(2V3)2+(2V3)2=(2V6)2,

•••该三角形是等腰直角三角形.

(a-b=0ra=3

变式2.1D【解析】由题意得，2a—b—3=0,解得b=3,'：a2+b2=c2,

(c-3V2=0(C=3或

且a=b,...△A5C是等腰直角三角形.

3.解：(1)如解图，设。尸交5。于点尸，由题意得A5=CE,。/垂直平分5C,

连接5。，

：.BD=DC,

：.△ABD的周长=人5+4。+5。=。石+人。=4石=1；

(2)设AD=x,由AZ)=1B。，得50=3%,在R3A5Z)中，ZA=90°,

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：.AB=BD2~AD2=2V2x,

由(1)得CD=BD=3x,

：.AC=AD+CD=4x,

.,.tanZABC=—=^-=V2.

AB2V2x

8Z/

---

第3题解图

4.⑴解：36；

【解法提示】•24=36°,AB=AD,：.ZAZ)B=|(180°—NA)=72。，又

,?ZADB=ZC+ZCBD,ZC=36°,ZCBD=ZADB-ZC=36°.

⑵证明：VZA=ZC=ZC