2025年中考数学总复习《图形的性质》同步测试题（附答案）

2025年中考数学总复习《图形的性质》同步测试题-附答案

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一、单选题

1.如图，AB为。O的直径，点C在。O上,若NOCA=50。，AB=4,贝！JBC的长为()

R10打

B.豆兀C.=兀

2.下列各组线段中,能构成直角三角形的是()

A.2,3,4B.3,4,6C.7,24,25D.4,6,7

3.如图，。。是△ABC的外接圆，连接OA,OB,ZOBA=50°,则NC的度数为（)

B.40°C.50°D.80°

4.如图，点A,B,C在。O上，若NACB=40。，则NAOB的度数为)

A.40°B.45°C.50°D.80°

5.已知。。的半径为5cm,点P在。。外，则OP的长（)

A.大于5cmB.不大于5cmC.小于5cmD.不小于5cm

6.过。O内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则OM的长为)

A.9cmB.6cmC.3cmD.

7.如图，若AB是。O的直径，CD是。O的弦，NABD=58。，则NC的度数为（）

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D

A.116°B.58°C.42°D.32°

8.如图，为估计池塘两岸边A,8两点间的距离，在池塘的一侧选取点G分别取AC,的中

点，E,测得。石=15m,则A,3两点间的距离是（）

C.30mD.60m

9.秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，一小朋友荡该秋千时，秋千最高处踩板离地面

2米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（）

A.兀米B.2兀米C.git米D.号11米

10.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45。得到正方形AB，CDT边BC与DC，交于

点O,则四边形ABOD，的周长是（）

A.6V2B.6D.3+3V2

二、多选题

11.如图，AB是圆O的直径，点G是圆上任意一点，点C是的的中点，CDJ.AB,垂足为点E,

连接GA,GB,GC,GD,BC,GB与CD交于点F,则下列表述正确的是（）

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G

A.乙ABC=^AGDB.ABCE-LABG

C.GF=DFD.BC||GD

12.如图，ABC。是正方形，E是CD的中点，尸是BC边上的一动点，下列条件中，能得到AABP与

A•器=笈B.P是BC的中点C.乙BAP=LEPCD.AB：BP=3：2

三'填空题

13.如图，点A,B,C在。。上，NACB的度数是20。，AB的长为兀，则。。的半径是.

14.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB=2.5米，当人体进人感应器

的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高L6米的学生CD正对门，缓慢走到离门L2

米的地方时（BC=1.2米），感应门自动打开，贝UAD=米

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15.在平面直角坐标系中，已知点4(1,一2),点B(2,1)，点P在一次函数y=^x+b的

图象上，若满足Z.PAB=45°的点P只有1个，则b的取值范围是.

四'计算题

16.如图，在△ABC中，AB=AC,ADLBC于点D.

D

F

(1)若NC=42。，求NBAD的度数；

(2)若点E在边AB上，EF〃AC交AD的延长线于点F.

求证：AE=FE.

17.如图，AB、CD是。O的直径，弦CE〃AB,AC的度数为70。.求NEOC的度数.

五、解答题

18.如图，△ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,点O在CB的延长线上，且OB=4,以O为圆

心，2为半径的半圆交CB的延长线于点D,E.点T在半圆上，连接TB并延长，交AC于点P.

(1)若PT与半圆相切，求/BPC的度数；

(2)当ATOB的面积最大时，求PC的长；

(3)直接写出点T到DE的距离为多少时，恰有AP=3.

六'作图题

19.如图，按要求作图:

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p

oB

①过点P作直线CD平行于AB；

②过点P作PEJ_AB,垂足为O.

七、综合题

20.已知：AB为O。直径，点C为O。上一点，弦CDLAB,垂足为H,点、E为AD

上一点，连接CE、DE、DB,乙CDE=2乙CDB.

(1)如图1,求证：CE=CD；

(2)如图2,过点4作4MleE,垂足为M,连接BE交CD于G,连接MH,求

证：MH||EB；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接4E,若ED=|,CM=学，求AABE的面积.

21.如图，正方形ABCD中，点E为AB上一动点(不与A、B重合).将△EBC沿CE翻折至

△EFC,延长EF交边AD于点G

(1)连结AF,若AF〃CE.证明：点E为AB的中点；

(2)证明：GF=GD；

(3)若AD=5,设EB=x,GD=y,求y与x的函数关系式.

八'实践探究题

22.【阅读发现】(1)如图1,在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE和等边三角形ADF,连

接ED,FC,交于点M,贝IJ图中2MCEm/DFC,可知ED=FC,求得"MC=.

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(2)若乙4DE=20°,求的度教.

参考答案

1.【答案】B

【解析】【解答】VZOCA=50°,OA=OC,

ZA=50°,

AZBOC=100°,

TAB=4,

ABO=2,

：.BC的长为:_1_0_0__7_1__X_2=_1_0_JT

1809

故答案为：B.

【分析】先根据圆周角定理得到NBOC=100。，再用弧公式进行计算即可得到所求结论.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：A、22+32=13,42=16,13n6,故不能构成直角二角形，不符合题意;

B、32+42=25,62=36,25力36,故不能构成直角三角形，不符合题意；

C、72+242=625=252,故能构成直角三角形，符合题意；

D、42+62=52,72=49,52为9,故不能构成直角三角形，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】若一个三角形的三边满足a2+b?=c2,则该三角形为直角三角形，据此判断.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：：OA=OB,ZOBA=50°,

.\ZOAB=ZOBA=50°,

ZAOB=180°-50°x2=80°,

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ZC=IZAOB=40°o

故答案为：Bo

【分析】根据等边对等角及三角形的内角和得出NAOB=80。，进而根据同弧所对的圆周角等于圆

心角的一半得出NC=|ZAOB=40°„

4.【答案】D

【解析】【解答】解：•.•NACB=40。，

.".ZAOB=2ZACB=80°.

故答案为：D.

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到NAOB=2NACB,代入计算求出

结果.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：设点P与圆心O的距离为d,

•.•点P在O0夕卜，

/.d>r,

Vr=5cm,

.,.d>r,

即：OP>5cm.

故答案为：A.

【分析】若圆的半径为r,点到圆心的距离为d,当d<r时，点在圆内；当d=i•时，点在圆上；当

d>r时，点在圆外，据此即可得出答案.

6.【答案】C

【解析】【解答】最长弦为直径，最短弦为过M点与直径相互垂直的弦，根据垂径定理和勾股定

理可以计算出0M长为3cm.

【分析】本题考查过圆内点的弦长问题，要对此进行正确的判断，熟练运用垂径定理和勾股定理

解决问题.

7.【答案】D

【解析】【分析】；AB是。0的直径，.•.NADB=90。.

；ZABD=58°,,ZA=32°.ZC=32°.

故选D.

8.【答案】C

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【解析】【解答】•••D,E是AC,BC的中点,

DE是ACAB的中位线，

1

・•.DE=^AB=15,

・•・AB=30.

故答案为：C.

【分析】根据三角形中位线定理得出OE=\AB=15,再求出答案即可。

9.【答案】B

【解析】【分析】先根据题意画出图，然后再利用弧长公式计算。

【解答】如图所示：

因为cosN2噎另

所以N2=60。，ZBAC=120°

该秋千所荡过的圆弧长=二鬻=米

loU

故选B.

【点评】辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生

的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意。

10.【答案】A

【解析】【解答】解：连接BC,

,旋转角NBAB，=45。，ZBAD'=45°,

；.B在对角线AC上，

：BC=AB，=3,

在R3ABC中，AC=\A'B'2+B'C'2=3a，,B，C=3V2-3,在等腰RtAOBC中，0B=BC=3

V2-3,

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在直角三角形OBC中，OC=V2(3V2-3)=6-3V2,，OD=3-OC=3V2-3,

二四边形ABOD的周长是：2AD+OB+OD=6+3V2-3+3V2-3=6/.

故选：A.

【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45。得到正方形AB,CD,利用勾股定理

的知识求出BC的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO,OD,从而可求四边形

ABOD的周长.本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质.此题难度适

中，注意连接B。构造等腰RtAOBC是解题的关键，注意旋转中的对应关系.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：：AB是圆O的直径，CDLAB,

：.AC=AD,

：.^ABC=^AGD,

故A符合题意；

：AB是圆O的直径，GDIAB,

：.^AGB=乙BEC=90°,

,:乙BCE=LBGD于乙OBG,即ZBCE。乙4BG,

也没有其他条件可以证得△BCE和A/BG的另外一组内角对应相等，

...不能证得△BCEfABG,

故B不符合题意；

:点C是片G的中点，

.•.比=阮，

：.AGDC=乙BGC,

：AB是圆O的直径，CD1AB,

...阮=BD,

"BGC=乙DGB,

:.乙GDC=乙DGB,

：.GF=DF,

故C符合题意;

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•.•点C是廓的中点，

...比=阮，

：AB是圆O的直径，CDLAB,

:.时=BD,

二比=肛

，乙CBG=乙BGD,

：.BC||GD,

故D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】利用垂径定理的性质、平行线的判定方法、相似三角形的判定方法和性质逐项判断即

可。

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】A、•.•正方形ABCD,.•.NB=NC=90。，•.•器=黑，.•.△ABPsAECP,；.A

符合题意；

B、：正方形ABCD,P是BC的中点，E是CD的中点，；.PB=PC=CE,.♦.△PCE是等腰直角三

角形，AABP不是等腰直角三角形，与AECP不相似，，B不符合题意；

C、•.•正方形ABCD,ZB=ZC=90°,'：^BAP=Z.EPC,A△ABP^APCE,，C符合题意；

D、•.•正方形ABCD,；.AB=BC=CD=AD,ZB=ZC=90°,'：AB：BP=3：2,...设AB=3a,则

BP=2a,PC=a,CE=1.5a,.•.磊=,，A△ABP^AECP,；.D符合题意；

故答案为：A、C、D.

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：如图，连接OA、0B.

,/ZACB=20°,

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・•・ZAOB=40°,

VAS的长为兀，

・40;rXr_

,,T80-F

・,・_r—29.

故答案为I.

【分析】连接OA、OB.根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出NAOB=40。，根据弧长公

式列出方程求解即可。

14.【答案】1.5

【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DELAB于点E,

想应器

H

：AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，贝!JAE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(米).

在RtAADE中，由勾股定理得AD2=AE2+DE2=0.92+1.22=1.52,

；.AD=1.5(米).

【分析】过点D作DELAB于点E,构造RtAADE,利用勾股定理求得AD的长即可。

15.【答案】b>—|

【解析】【解答】解：•・•力(1,-2),B(2,1)

AB=J(2—1尸+(1+2尸=V10

4。=J/+(_2)2=V5

BO-Vl2+22=>/5

222

AAB=AO+B0,AO=BO

・•・hAOB是等腰直角三角形

Z.OAB=^OBA=45°

,:OB"AC

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・•・乙CAB=45°

.・.满足"AB=45°的点P在射线AC和射线AO上

-1

把4(1,-2)代入y=^x+b

解得：b=—|

••・满足乙PAB=45°的点P只有1个

故答案为：b>

【分析】由点A,B的坐标，利用勾股定理求出AB,AO,BO的长，利用勾股定理的逆定理可

证得△AOB是等腰直角三角形，从而可证得NOAB=NOBA=45。，利用平行线的性质可求出

/CAB=45。，由此可得满足^PAB=45°的点P在射线AC和射线A0上，将点A的坐标代

入函数解析式，可求出b的值；根据满足APAB=45。的点P只有1个,可得到b的取值范围.

16.【答案】(1)解：VAB=AC,ADLBC于点D

AZBAD=ZCAD,ZADC=90°,又NC=42。.

二ZBAD=ZCAD=90°-42°=48°

(2)证明：VAB=AC,ADLBC于点D,

AZBAD=ZCAD

VEF//AC,

ZF=ZCAD

AZBAD=ZF,.\AE=FE

【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一得到NBAD=NCAD,再根据直角三角的两锐

角互余即可得出NBAD=NCAD=90。-42°=48°；

(2)根据等腰三角形的三线合一得到NBAD=NCAD,根据二直线平行内错角相等得到NF=

ZCAD,由等量代换得到/BAD=/F,根据等角对等边得出结论。

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17.【答案】解：连接0E,

.\ZAOC=ZBOD=70°,

\・CE〃AB,

AZBOD=ZC=70°,

VOC=OE,

・・・NC=NE=70。，

・,.ZEOC=180°-70°-70°=40°

【解析】【分析】首先连接OE,由AC的度数为70。，可求得NAOC的度数，又由弦CE〃AB,

即可求得NC的度数，继而求得答案.

18.【答案】解：(1)如图1,

〈PT与半圆相切，

AOT±TB,

.\ZOTB=90°,

VOT=2,OB=4,

.\ZOBT=30°,

・・・NCBP=30。，

・・・NBPO60。；

(2)如图2,

当OT,OB时，点T到OB的距离最大，最大值为2,此时AOBT的面积最大，

VZOBT=ZCBP,

ARtAOBT^RtACBP,

.OT_OBnn2_4

^PC=BC9即玩二?

,.PC=*

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(3)如图3,作THLBE于H,连结OT,

VAP=3,

・・・CP=CA-AP=4-3=1,

VZOBT=ZCBP,

.,.RtAHBT^RtACBP,

.TH_BH即TH_BH

.•国=豌'即丁=H

・・・BH=3TH,

设TH=x,贝！］BH=3x,0H=3x-4,

在RtAOHT中,・.,OT2=OH2+TH2,

(3x-4)2+x2=22,

•Y_6±A/6

：.点T到DE的距离为包普或室I时,恰有AP=3.

【解析】【分析】(1)根据切线的性质得NOTB=90。，由OT=2,OB=4得至lj/OBT=30。，根据对

顶角相等得/CBP=30。，所以/BPC=60。；

(2)要使△OBT的面积最大，则OTLOB,再证明RtAOBT^RtACBP,然后利用相似比可计

算出PC的长；

(3)作THLBE于H,连结OT,证明RtAHBT^RtACBP,根据相似比得到BH=3TH,设TH=x,

则BH=3x,OH=3x-4,在RtAOHT中，根据勾股定理可计算出x.

19.【答案】解：如图，CD和点。为所作.

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c

【解析】【分析】利用体重的几何语言画出相应的几何图形.

20.【答案】(1)证明：-AB为直径，CDLAB,

：.RC=BD,

"CEB=(BED=乙CDB,

:•乙CED=2乙CDB,

又•：乙CDE=2乙CDB,

CED=乙CDE,

ACE=CD

(2)证明：\UAE=AE,

：.^LACE=^ABE,

U：AM1CE,CHLAB,

：.^AHC=Z.AMC,

则NAHM=NACM,

AZAHM=ZABE,

・・・MH〃BE

(3)解：连接BC、AD>,过力作力尸1,

则^AEF=^ACD=乙ADC=Z.AEC,AE=AE,

：.AAEF=AAEM(AAS),

：.AF=AM,EF=EM,

9CAB为直径，CD工AB,

：.AC=AD,

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：.AC=AD,

：.AAFD=AAMC(HL),

：.MC=FD=FE+ED,

：.MC=EM+ED,

.厂n,3,915

,，CM=2+4=T'

1qQ

ACE=CM+ME=+7=6，

44

ACD=6,CH=3,

9：MH||BE,

.CM_CH

9UME=HG'

所以HG=卷,CG=g,

品=",

:.乙BCD=ACEB,

：.ACGB-AECB,

相似比CG:CE=兽:6=4:5,

.•.设BG=16k,BC=20k,BE=25k,

过点C作CNLBE于N,

;乙CBE=UDE=2乙CEB,

作NQ=NB,

贝ljQC=QE=BC=25k,

qA.C.

BQ=5k,BN=^k,EN=,

,：CB2-BN2=CE2-EN2,

(20fc)2-(|fc)2=62-(竽，

解得k=春，

：.BC=20k=4,

BH=47,

BC2=BH-BA,

42="BA,

BA==2R

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•••。。半径为竽.

【解析】【分析】(1)由AB为直径，CDXAB,得配=助),从而/CEB=/BED=NCDB,即

可得到NCED=2NCDB,结合NCDE=2NCDB,即可求解;(2)由AE=AE可得NACE=NABE,

由AM_LCE,CH_LAB,可得/AHC=NAMC,则/AHM=/ACM,故NAHM=NABE,即可求

解；(3)证明△AEF之Z\AEM(AAS)、AAFD^AAMC(AAS)、△CGB^AECB,即可求解.

21.【答案】(1)证明：由翻折的性质可知，ZBEC=ZFEC,EB=EF,

：AF〃CE,

ZBEC=ZEAF,ZFEC=ZEFA,

NEAF=NEFA,

；.EA=EF.

EA=EB,即点E为AB的中点

(2)证明：如图所示，连接CG.

:四边形ABCD是正方形，

AZD=ZB=90°,DC=BC,

由翻折的性质可知：ZEFC=ZB=90°,BC=FC,

AZGFC=ZD=90°,FC=DC,

又：CG=CG,

Z.RtAGFC^RtAGDC(HL),

AGF=GD；

(3)解：：AD=5,EB=x,GD=y,

「・AG=5-y,AE=5-x,GE=x+y,

则在RtAAEG中，AG2+AE2=GE2,

/.(5-y)2+(5-x)2=(x+y)2,

整理，得：y=在黑

x+5

即y与x的函数关系式是y25-5%

x+5

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【解析】【分析】（1）由翻折的性质可知，NBEC=NFEC,EB=EF