2025年中考数学一轮复习学案：圆的证明和计算类重难点综合问题（解析版）

2025年中考数学一轮复习学案(全国版)

第五章圆

5.4圆的证明和计算类重难点综合问题

0

备考指南

考点分布考查频率命题趋势

考点1不含三角函数的问题☆☆☆数学中考中，有关圆的证明与计算的部分，是每

年中考试卷解答题里必考的综合题，每年考查1

考点2含三角函数的问题☆☆

道题,分值为8~12分，一般略简单一些的会设置

2小问，综合一些的会设置3小问。一般会出现

证明某线段是切线，或者证明两个角相等，或者

两条线段相等。然后其他小问让计算某线段长度，

考点3创新型的问题☆☆

或者求某角的大小等。用到的知识比较综合，圆

周角定律、相似三角形性质、勾股定理、三角函

数以及数学思想方法。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

的知识导图［〉

知识清单〉

1.判定切线的方法

(1)若切点明确，则“连半径,证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化

等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

(2)若切点不明确，则“作垂直,证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐

藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进

行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,

形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而

化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

(1)构造思想:①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可

求其它所有线段长)；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构

造三角函数.

(2)方程思想:设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立

方程，解决问题。

(3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题,

通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3.圆中常用辅助线的添法顺口溜

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。

弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。

还要作个内接圆,内角平分线梦圆

如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线,画图注意勿改变

假如图形较分散,对称旋转去实验

基本作图很关键,平时掌握要熟练

解题还要多心眼,经常总结方法显

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变

分析综合方法选,困难再多也会减

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线

£二|考点梳理〉

考点1.不含三角函数的问题

【例题1】（2024甘肃临夏）如图，直线/与。。相切于点。，AB为。。的直径，过点A作AE，/

于点E，延长AB交直线/于点C.

（1）求证：A。平分/C4E；

（2）如果5C=1,DC=3,求。。的半径.

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】【分析】（1）连接OD,根据切线的性质可得出8，/,结合题意可证8〃AE,即得

出ZDAE=ZADO,再根据等边对等角可得出ZDAO=ZADO,即得出ZDAO=ZDAE,即AD

平分/C4E；

（2）设。。的半径为r,则OC=OB+5C=r+l,OD=r.再根据勾股定理可列出关于r的等式，

求解即可.

【小问1详解】

证明：如图，连接OD.

•.•直线/与OO相切于点。,

ODLI.

AELI,

•*.OD//AE,

：.ZDAE^ZADO.

OA=OD，

：.ZDAO=ZADO,

：.ZDAO=ZDAE,即平分/C4E；

【小问2详解】

解：设。。的半径为r,则OC=OB+5C=r+l,OD=r.

在RtZiOCD中，OD2+CD2=OC2

r2+32=（r+1）1,

解得：厂=4,

/.QO的半径为4.

【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线

的判定，勾股定理等知识.连接常用的辅助线是解题关键.

【变式练1］（2024山东济南一模）如图，。。中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC、BD.

D

（1）求证：AAECsADEB；

（2）连接A。，若AO=3,ZC=30°,求。。的半径.

【答案】（1）证明见解析（2）。。的半径为3

【解析】（1）证明：在。。中，

,AD=AD，

/.ZC=ZB,

又•：NAEC=/DEB,

：.AAE8ADEB.

(2)解：VZC=30°,

由(1)可知，ZB=ZC=30°,

•.,直径AB,

：.ZADB=90°,

...在HAADB中，AD=3,ZB=30°,

AB—2AD=6,

/.OA」AB=3,

2

即。。的半径为3.

【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含30°角的直角三角形.主要涉及的知识

点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三

角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.

【变式练2](2024湖北一模)如图，43为的直径，£为。。上一点，点C为窟的中点，过点

C作CDLAE,交AE的延长线于点。，延长。C交A8的延长线于点反

(1)求证：CD是O。的切线；

(2)若。E=l,DC=2,求。。的半径长.

【答案】(1)证明见解析；(2)2.5.

【解析】(1)证明：连接。C,

・・•点c为冠的中点,

.•.EC=BC，

：.ZEAC=ZBAC,

'：OA=OC,

：.ZBAC=ZOCA,

：.ZEAC=ZOCA,

J.AE//OC,

：.ZADC=ZOCF,

■:CDLAE,

：.ZADC=90°,

：.ZOCF^90°,

即OC±DF,

又OC为OO的半径，

；.CO是0O的切线；

(2)解：连接CE,BC,

由(1)知CD是00的切线，

：.CD2=DE'AD,

'：DE=1,DC=2,

：.AD=4,

在RtAADC中，由勾股定理得AC=VAD^+CD2=5/42+22=2\巧,

在RtADCE中，由勾股定理得CE=VcD2+DE2=V22+12=V5，

:点C是窟的中点，

.•.EC=BC>

：.EC=BC=yf5>

：AB为O。的直径，

AZACB=90°,

由勾股定理得AB=7AC2+BC2=V(2V5)2+(A/5)2=5,

，。。的半径长是2.5.

考点2.含三角函数的问题

【例题2】（2024山东泰安）如图，AB是。。的直径，AH是。。的切线，点。为。。上任意一

点，点。为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点产，若。户=1,tanB=g,

则AE的长为.

【答案】小

【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌

握相关知识是解题关键.先证ZJDAF—XABD可得ADAFS^DBA从而得到

—=—=tanB=-,求得AD=2,再运用勾股定理可得AF=逐，再根据圆周角定理以及角

ADBD2

和差可得乙®=/4/Z＞，最后根据等角对等边即可解答.

【详解】是。。的直径，

/.ZADB=90°,

：AH是。。的切线，

：.ZBAF=90°,

：.ZDAF^ZABD=900-ZDAB,

AZMFSQBA，

DFAD„1

----=-----=tanB=—,

ADBD------------2

,/DF=1,

AD=2，

AF=5

:点。为AC的中点，

AD=CD，

：.ZABD=ZDAC=/DAF,

•：ZADE=ZADF=90°,

：.90°-ZDAE^900-ZDAF,即/4ED=NAFD,

/.AE=AF=B

故答案为：75.

【变式练1]（2024湖南一模）如图，AB为。。的直径，点P在的延长线上，PC,PD与。。

相切，切点分别为C,D.若AB=10,PC=12,则sin/CA。等于（）

13

~5

【答案】D

【解析】连接OC、OD、CD,CD交弘于E,如图,

".'PC,PO与。O相切，切点分别为C,D,

C.OCLCP,PC=PD,OP平分NCPD,

：.OPLCD,

•*.BC=BD-

：.ZCOB^ZDOB,

vZCAD=yZC0D-

：.ZCOB=ZCAD,

'：AB=10,

：.AO=OC=OB=5,

：OC=5,PC=12,

在RtZXOCP中，

OP=VoC2+PC2=752+122=13，

sinZC0P=^-^^--

si—3rop13

19

•e•sin/CAD十廿

故选：D.

【变式练2](2024江苏徐州一模)如图，aABC中，AB=AC,点。为BC上一点，且4。=。。,

过A,B,。三点作。。，AE是。。的直径，连接DE.

(1)求证：AC是O。的切线;

【答案】见试题解答内容

【解析】（1）证明：AD=DC,

:./C=/B,Z1=ZC,

.\Z1=ZB,

又,：ZE=/B,

是（DO的直径，

ZADE=9Q°,

?.ZE+ZEAD=90°,

：.Zl+ZEAD^90°,即NEAC=90°,

：.AE±AC,

；.AC是O。的切线；

（2）解：过点。作。fUAC于点E如图,

"：DA^DC,

.-.CF=AAC=3,

2

在RtZ\C£>/中，VsinC=^=—,

DC5

设QP=4无，DC=5x,

ACF=VCD2-DF2=3X,

/.3x=3,解得％=L

：.DC=5,

，AO=5,

VZADE=ZDFC=90°,NE=NC,

・・・AADEs△DFC,

AAE=AD（即胆=尘，解得46=空

DCDF544

即O。的直径为生.

【例题3](2024云南省)如图，AB是。。的直径，点。、p是。。上异于A、B的点.点。在

。。外，C4=CD,延长月尸与C4的延长线交于点M,点N在B4的延长线上，NAMN=NABM,

3力加=筋•肱V.点H在直径AB上，NAHD=90°，点E是线段QW的中点.

(1)求4FB的度数；

(2)求证：直线。0与。。相切：

(3)看一看，想一想，证一证：

以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB<CB,CE+EB=CB,CE+EB>CB,

你认为哪个正确？请说明理由.

【答案】(1)90°(2)见解析(3)CE+EB=CB,理由见解析

【解析】【分析】(1)直接利用直径所对的圆周角是直角，即可得出结果；

(2)证明NABMSAAMN,得到ZMAN=ZMAB,根据平角的定义，得到ZMAN=ZMAB=90°,

即可得证;

(3)连接。4,8,5。，连接OC交A£>于点G,易得OCJLAO,圆周角定理得到NADfi=90。,

推出OG〃5£>,进而得到NAOC=NAB£),根据三角函数推出=NABC,得到瓦及C三

点共线，即可得出结果.

【小问1详解】

解：是。。的直径，点尸是。。上异于A、3的点，

：.ZAFB^900■,

【小问2详解】

证明：VAMBM=ABMN,

,AM_MN

"AB~BM'

又NAMN=ZABM,

AABM^AAMN,

ZAMB=ZN,AMAN=ZMAB,

•••ZMAN+ZMAB=180°,

/.ZMANZMAB9Q0,

：.OA±CA,

Q4是半径，

直线CM与。。相切；

【小问3详解】

我认为：CE+EB=CB正确，理由如下：

连接连接OC交AD于点G,如图，贝U：OA=OD,

...点。在线段A。的中垂线上,

■:CA=CD,

...点。在线段的中垂线上,

:.OCVAD,

：.ZOGA=90°,

：AB是。。的直径，

ZADB=9Q°,

/.ZOGA=ZADB,

:.OG//BD,

：.ZAOC^ZABD,

•：ZAHD=90°,

ZDHB=90°,

DHFH

；.tanNHBD=——，tanZHBE=——,

BHBH

'：E为DH的中点,

FH1DH1

/.tanNHBE=——=---------=-tanZHBD,

BH2BH2

ArAri

VtanZA(9C=——,tanZABC=——，且A0=—AB,

AOAB2

1Af1

tanZABC=——-=-tanZAOC,

2OA2

•/ZAOC=ZABD,

tanZHBE=tanZABC,

ZHBE=ZABC,

瓦及C三点共线，

:.CE+EB=CB.

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相

关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

【变式练1］（2024广州一模）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物

剖面图，图②是其示意图.图②中，点A在直线/上往复运动，推动点8做圆周运动形成。。，AB

与30表示曲柄连杆的两直杆，点C、。是直线/与。。的交点；当点A运动到E时，点8到达C；

当点A运动到尸时，点8到达D若A5=12,OB=5,则下列结论正确的是（）

C.当AB与。。相切时，石A=4D.当时，EA=AF

【答案】AC

【解析】【分析】如图，由题意可得：AB=CE=n,AB+BO=OE=11,FD=AB=12,

OC=OB=QD=5,从而可判断A,B,如图，当A3与。。相切时，求解==13,

可得E4=£。一AO=17—13=4,可判断C；当OB，CD时，如图，可得AO=应二#=J语，

==17-^19，AP=AO—OP=—2—5=，可判断D；从而可得

答案.

【详解】如图，由题意可得：

攵'、

EAF\COD,

AB=CE=12,AB+BO=OE=17,FD-AB=12,OC=OB=OD=5>

AFC=FD-CD=12-1Q=2,故A符合题意；

EF=CE-CF=12-2=10,故B不符合题意；

如图，当AB与。。相切时，

：.ZABO=9Q°,

：.EA=EO-AO=H-13=4,故C符合题意;

,,AO=V122—52=J119，

•••AE=EO-40=17-而^，=AO-OF=^/^9-2-5=^/^9-7,

AAE^AF，故D不符合题意；故选AC

【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数

形结合的方法解题是关键.

【变式练2］（2024福建一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早

的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城).小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型,

他绘制了如图2的车轮侧面图.如图2,当过圆心。的车架AC的一端/落在地面上时，AC与。。的

另一个交点为点力，水平地面切。O于点A

图1图2

(1)求证：ZA+2ZC=90°；

(2)若">=2m,AB=3m,求。。的直径.

【答案】(1)见解析(2)5/4m

【解析】(1)证明：如图所示，连接°3,

,:OB=OC,

NOBC=NC,

ZAOB=ZOBC+ZC=2ZC,

•.•水平地面A3切。。于点B,

ABA.OB,即ZABO=90°,

ZA+ZAOB=90°,即ZA+2NC=90°；

(2)解：设。。的半径为rm,则OD=OB=rm,

.OA=O£>+AD=(r+2)m

在Rt△回。中，由勾股定理得OT=OB2+AB2,

..(+2)2=32+/,

解得r=5/4m,

/.。。的半径为5/4m.

日|真题在线〉

考点1.不含三角函数的问题

1.(2024辽宁)如图，。。是AABC的外接圆，AB是。。的直径，点。在上，AC=BD，E

在胡的延长线上，NCEA=NCAD.

(1)如图1,求证：CE是。。的切线；

(2)如图2,若NCEA=2ZDAB,OA=8,求8。的长.

【答案】(1)见详解(2)2兀

【解析】【分析】⑴连接CO,则4=N2,故N3=N1+N2=2N2,由AC=BD，得到N4=N2,

而ZACB=90°,则ZC4Z)+2Z2=90°,由NCEA=NCAD,得ZCE4+2Z2=90°,因此

ZCEA+Z3=90°,故NECO=90。，则CE是。。的切线；

(2)连接C。,。。，可得N3=2N2=2N4=NCE4,则/3=/。必=暨=45。，故/4二22.5。，

2

45xyrx8

由8。=8。，得=2N4=45°，那么台。长为----------=2汽.

180

【小问1详解】

证明：连接CO,

OC=OB,

AZ1=Z2，

/.Z3=Z1+Z2=2Z2,

AC=BD，

，N4=N2,

A3为直径,

，ZACB=90°,

；•NC4£>+N4+N2=90°,即NC4D+2N2=90°,

,：ZCEA=ZCAD,

；•ZCE4+2Z2=90°,

ZCE4+Z3=90°,

，NECO=90。，

/.OCLCE,

CE是。。的切线；

小问2详解】

解：连接CO,CO,

由（1）得N3=2N2=2N4,

•；NCEA=2/DAB,

：.ZCEA=Z3,

,：NECO=90°,

90°

Z3=ZCEA=—=45°,

2

AZ4=22.5°,

•BD=BD，

•••ZDOB=2Z4=45°,

,45x乃x8

,,BDk为：-2〃.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等,

正确添加辅助线是解决本题的关键.

2.（2024深圳）如图，在△相£）中，AB=BD,为△A3。的外接圆，3E为。。的切线，AC

为。。的直径，连接。。并延长交助于点E.

（1）求证：DE上BE；

⑵若AB=5瓜,BE=5,求。。的半径.

【答案】（1）见解析（2）3石

【解析】

【小问1详解】

证明：连接30并延长，交AD于点H,连接0D,

,:AB=BD，OA=OD,

30垂直平分A。，

/.BH±AD,AH=DH,

1/3E为。。的切线，

；•HBLBE，

：AC为。。的直径，

ZAZ）C=90°,

四边形为矩形，

；•DE上BE；

小问2详解】

由（1）知四边形为矩形，BHJ.AD,AH=DH，

：.AH=DH=BE=5,

BH=ylAB2-AH2=5A/5，

设。。的半径为，贝U：OA=OB=r,OH=BH-OB=5y/5-r,

在中，由勾股定理，得：/=（5『+卜君—『『，

解得：r=3A/5：

即：0。的半径为3j?.

考点2.含三角函数的问题

1.（2024福建省）如图，在AABC中，NR4C=90°,AB=AC,以A3为直径的。。交于点

AELOC,垂足为的延长线交于点尸.

（3）求证：A。与所互相平分.

【答案】（1）|（2）证明见解析（3）证明见解析

AC

【解析】（1）先证得AC=2AO,再在RSAOC中，tanZAOC=—=2.在Rt^AQE中,

AO

AFAF

tanZAOC=—,可得——=2,再证得结果；

OEOE

（2）过点B作交EO延长线于点先证明AAOE短△5QM,可得

AE=BM,OE=OM,再证得NR4E=NCBE,再由相似三角形的判定可得结论；

AJ74R2AOAO

（3）如图，连接DE,。b，由（2）AAEBS/^BEC,可得——=—=——=——,ZEAO=ZEBD,

BEBC2BDBD

从而得出△AOES^BDE,从而得出NBED=NAEO=90°,得出NAFB=NDEF,再上平行线

判定得出A口〃DE,再证得A石〃ED，从而得出四边形AEZm是平行四边形，最后由平行四边形

的性质可得结果.

【小问1详解】

：AB=AC,且A5是。。的直径,

:.AC=2AO.

:ZBAC=90。,

Ar

•.在Rt^AOC中，tanZAOC=—=2.

AO

\-AELOC,

AE

MAO石中，tanZAOC=——.

OE

.，2,

OE

0E1

,.•-;

AE2

小问2详解】

过点8作〃/IE,交£。延长线于点M.

/BAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

AO=BO,

AAOE^ABOM,

AE=BM,OE=OM.

OE_1

~AE~2)

BM=2OE=EM,

ZMEB=ZMBE=45°,

ZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

ZAEB=/BEC.

AB=AC,ABAC=90°,

ZABC=45°,

ZABM=ZCBE,

:.ZBAE=ZCBE,

AAEB^ABEC.

【小问3详解】

如图，连接。尸.

•.・旗是。。的直径，

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB^AC,ZBAC^9Q0,

BC=2BD,ZDAB=45°.

由（2）知，AAEB—4BEC，

—=—==—,ZEAO=ZEBD,

BEBC2BDBD

:.AAOE^ABDE,

:.ZBED=ZAEO=90°.

：.ZDEF=90°.

:.ZAFB=ZDEF，

：.AF//DE.

由（2）知，ZAEB=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

■.■ZDFB=ZDAB=45°,

:.ZDFB=ZAEF，

:.AE//FD,

四边形AEDF是平行四边形，

AZ）与石尸互相平分.

【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性

质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基

础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等.

2.（2024甘肃威武）如图，AB是。。的直径，BC=BZ＞，点£在AD的延长线上，且

ZADC=ZAEB.

（1）求证：BE是。。的切线；

（2）当。。的半径为2,8。=3时，求tan/AEB的值.

【答案】（1）见解析（2）tanZAEB=—

3

【解析】【分析】（1）连接BD，OGOD,证明。8垂直平分。），得出ZAFD=90°，证明CD//BE，

得出NABE=NAFD=90°,说明ABL5E，即可证明结论；

（2）根据A5是。。的直径，得出ZACB=90°,根据勾股定理求出

AC7AB2—BC?="_32=切，根据三角函数定义求出tan/A3C=4C=立，证明

BC3

ZAEB=ZABC,得出1211/4石5=1211/43。=立即可.

3

【小问1详解】

证明：连接6D，OC,OD,如图所示:

BC=BD，

BC=BD，

'：OC=OD,

.•.点。、8在CD的垂直平分线上,

；.。3垂直平分CD,

：.ZAFD=90°,

■:ZADC=ZAEB,

:.CD//BE,

ZABE=ZAFD=90°,

ABLBE，

,/AB是。。的直径,

，BE是。。的切线；

【小问2详解】

解：:。。的半径为2,

AB=2x2=4>

,/AB是。。的直径，

ZACB=90°,

：BC=3,

AC=y/AB2-BC2=V42-32=百，

•••tanZABC=—=—«

BC3

AC=AC'

ZADC=ZABC,

•/ZAEB=ZADC,

:.ZAEB=ZABC,

•••tanNAEB=tanZABC=—

3

【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判

定，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

3.（2024广西）如图，已知。。是446C的外接圆，AB=AC.点。，E分别是BC,AC的中

点，连接OE并延长至点凡使DE=EF，连接A尸.

（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；

（2）求证：A尸与相切；

3

（3）若tan/BAC=—,BC=12,求。。的半径.

4

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）10

【解析】【分析】（1）先证明或＞=8,DE=EF,再证明八4£/名△CED,可得AF=CD,

NF=NEDC,再进一步解答即可；

(2)如图，连接AD,证明ADIBC,可得AD过圆心，结合新〃BD，证明AFLAD,从而

可得结论；

(3)如图，过B作3。，AC于Q,连接0B,设BQ=3x,则AQ=4x,可得CQ=AC—AQ=x,

求解x==可得AB=5x=6jIU，求解^人声笈—5=18，设。。半径厂

V105

可得QD=18-r,再利用勾股定理求解即可.

【小问1详解】

证明：：点D,E分别是BC，AC的中点，

ABD=CD,AE=CE,

又,：ZAEF=NCED,DE=EF,

:.AAEF冬ACED,

：.AF=CD,NF=NEDC,

:・AF=BD,AF//BD，

...四边形ABDF是平行四边形;

【小问2详解】

证明：如图，连接AD,

­：AB=AC,。为中点，

/.AD1BC,

；•AD过圆心，

,:AF〃BD,

：.AFYAD,

而Q4为半径，

二A”为。。的切线;

【小问3详解】

解：如图，过B作3QLAC于Q,连接03,

AF

3

tanZBAC=-,

4

.毁=3

"AQ~4'

设BQ=3x,则AQ=4x,

；•AC=AB=^AQ1+BQ2=5x>

:.CQ=AC—AQ=x,

•••BC='BQ2+CQ2=yflQx，

•••VlOx=12,

；•AB=5x=6710，

,：AB=AC,BC=12,ADIBC,

***BD=CD=6,

AD=^AB2-BD-=18，

设。。半径为，

OD=18-r,

222

r=（18-r）+6,

解得:r=10,

。。的半径为10.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形

的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键.

考点3.创新型的问题

1.（2024广州）如图，在菱形A3CD中，NC=120。.点E在射线上运动（不与点B,点。重

合），关于AE的轴对称图形为△AEF.

A

(1)当/=30°时，试判断线段”和线段A。的数量和位置关系，并说明理由；

(2)若A3=6+6G，为△AER的外接圆，设。。的半径为人

①求厂的取值范围；

②连接阳，直线ED能否与0。相切？如果能，求助的长度；如果不能，请说明理由.

【答案】(1)AF=AD，AF±AD

(2)@r>3+H.r2^/3+6；②能，BE=12

【解析】【分析】(1)由菱形的性质可得44。=NC=120。，AB=AD,再结合轴对称的性质

可得结论；

(2)①如图，设ZXAEF的外接圆为。0,连接AC交5D于连接。4,OE,OF,OC,证

明AABC为等边三角形，共圆，ZAOE=2ZAFE=120°,。在BD上，

ZAEO=ZEAO=30°,过。作Q7LAE于J,当AELBC时，AE最小，则AO最小，再进一

步可得答案；②如图，以A为圆心，AC为半径画圆，可得反。,£。在OA上，延长C4与OA交

于L,连接“，证明NCEE)=180°—30。=150°,可得NObC=60°,△OCR为等边三角形，

ffiBJlZBAF=120°-30°=90°,可得：ZBAE=ZFAE=45°,BE=EF,过后作砂工诙于

M,再进一步可得答案.

【小问1详解】解：AF=AD,AFYAD-,理由如下：

:在菱形A3CD中，ZC=120°,

/.ZBAD=ZC=120°,AB=AD^

,：ZBAF=30°,

：./FAD=120°-30°=90°,

/.AF^AD,

由对折可得：AB=AF，

：.AF=AD-

【小问2详解】解：①如图，设所的外接圆为。。，连接AC交于".连接。4,OE,

OF,oc,

A

:四边形A3CD为菱形，ZBCD=12Q°,

：.AC1BD,/8C4=60。，BA=BC,

/."RC为等边三角形，

ZABC=ZAFE=60°=ZACB,

A,E,£C共圆，ZAOE=2ZAFE=120°,OBD上,

'：AO=OE,

ZAEO=ZEAO=30°,

过。作Q7LAE于J,

：.AJ=EJ,AO=^AJ,

3

•••AO=~AE,

3

当AEL3c时，AE最小，则AO最小，

=AB=6+66，ZABC=60°,

AE=A3.sin60°=(6+6@x#=36+9，

40=当3百+9)=3+36；

:点E不与B、C重合，

AE>9+3A/3)且AE/6+65

的取值范围为厂23+36且厂/26+6；

②。/能为。。的切线，理由如下：

如图，以A为圆心，AC为半径画圆，

•：AB=AC=AF=AD,

氏。,工。在在A上,

延长C4与OA交于L，连接",

同理可得△ACD为等边三角形，

ZCAD=6Q°,

NCW=30。，

ZCFD=180°-30°=150°,

。/为的切线，

NO/©=90°,

ZOFC=60°,

OC=OF,

△OCE为等边三角形，

...ZC(9F=60°,

NCAF=-ZCOF=30°,

2

：.ZDAF=60°-30°=30°,

/.ZBAF=120。—30°=90°,

由对折可得：ZBAE=ZFAE=45°,BE=EF，

过E作励/LA尸于M,

.•.设==

•••NEFM=60°，

・・FM--EM=—x，

33

••X+

3

解得：x=6百,

•••FM=—X6A/3=6,

3

；•BE=EF=2FM=n.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用,

锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，切线的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的

关键.

SA|专项练习〉

考点1.不含三角函数的问题

1.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以AB为直径的。。交AC于点E,点。是边上的中点，

连接。E.

(1)求证：OE与OO相切；

(2)连接。C交。E于点R若。。的半径为3,DE=4,求处的值.

【解析】（1）连接。E、BE,如图所示:

VZABC=90°,

：.ZA+ZACB=90°,

,：AB是直径，

ZA£B=90°,

：.ZBEC=9Q°,

是BC的中点，

：.DE=^BC=CD,

2

ZDEC=ZACB,

u

：OA=OEf

：.ZA=ZAEO,

：.ZAEO+ZDEC=90°,

：.ZOED=90°,：.OELDE,

•••。片为。。的半径，

JOE与。。相切；

(2)连接OD,如图所示：

・.・OE=LC=4,・・.8。=8,

2

:48=2X3=6,

：.AC=V82+62=10)

VZABC=90°,

.♦.BC与O。相切，根据切割线定理得：BC2=CE・AC,

.Z.P-BC28232

AC105

是AB的中点，。是BC的中点，

/.。。是△ABC的中位线，

：.OD//AC,OD=^AC=5,

2

：./\ODF^/\CEF,

.OF二OD二5二25

,,cF"CE=32_=32'

~5~

2.如图，在AABC中，AB=AC,以A3为直径的。。交于点。，交线段。L的延长线于点E，

连接3E.

E

。A

BD

(1)求证：BD=CD；

(2)若tanC=—，BD=4,求AE.

2

【答案】（1）证明见详解（2）述

5

【解析】【分析】（1）连接A。，由为直径可得再根据等腰三角形的三线合一性质即

可证明结论.

（2）由（1）可得CZ>4,BC=8,根据1血。=」即可求得4£>=2,进而利用勾股定理即可求得AC,

2

由A3为。。的直径，得NBEC=/ADC=90°,NC为公共角，可得△ADC~Z\BEC,根据三角形

相似的性质即可求得CE,进而可求解.

【详解】（1）证明：连接A。，如图所示：

A3为。。的直径，

：.AD±BC,

又：AB=AC,

三角形ABC为等腰三角形，

为8C的垂直平分线，

：.BD=CD.

⑵由（1）可得BD=CD=4,

ADAD1

tanC--------------——9BC=2BD=8,

CD42

:.AD=2，

在用△AC£)中，

AC=^AD~+CD~=拉+42=2A/5，

又「AB为。。的直径，

AZBEC=ZADC=90°,且NC=/C,

：.AADC~ABEC,

.AC_CD264

••一,即------=-----,

BCCE8CE

5

AE=CE-AC=^^--2y[5=^--

55

【点睛】本题考查了三角形与圆的综合问题，考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、相似三

角形的判定及性质、锐角三角函数及勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质及三角形

相似对应边成比例的性质是解题的关键.

3.如图，在Rt/VRC中，NACB=90°,以8C为直径作。。，交A3边于点O,在C。上取一

点、E,使BE=CD，连接OE，作射线CE交AB边于点尸.

(1)求证：ZA=ZACF；

4

(2)若AC=8,cosZACF=-,求g尸及OE的长.

42

【答案】(1)见解析(2)BF=5,DE=一

25

【解析】【分析】(1)根据RtZXABC中，NACB=90°,得至U/A+/B=/ACb+/BCF=90°,根

据BE=CD，得至IJ/B=NBCF,推出NA=/ACT；

(2)根据ZA=ZACF,得至I]AF=CEBF=CF,推出AF=24;AB,根据

AC4_________

cosZACF=cosA=—=-,AC=8,得至］」A3=10,得至U8F=5,根据BC=1AB。-AC?=6,

AB5

Be3

得到sinA=——二一，连接CD,根据BC是。。的直径，得至ijNBDC=90。，推出NB+NBCQ=90。,

AB5

推出/A=NBCD,得到sinN8CD=g2=。，推出更，得到=3尸—3。=］，根据

BC555

DEDF

/FDE=NBCE,NB=/BCE,得至ijNbDE=NB,推出DE//BC,得到△尸OEs△/5C,推出——二——,

BCBF

42

得到。石二本.

25

【详解】⑴解：・・・RtZ\ABC中，ZACB=90°,

・•・ZA+ZB=ZACF+ZBCF=90°,

,:BE=CD，

：./B=/BCF,

：.ZA=ZACF；

(2)VZB=ZBCF,ZA=ZACF

：.AF=CFfBF=CF,

：.AF=BF=^AB,

/人丁xAC4

***cos/LACF—cosA-----——，AC=8,

AB5

.*.AB=10,

：.BF=5,

'­'BC7AB2—AC?=6,

.-.sinA=^=3

AB5

连接CD是。。的直径，

NBDC=90°,

：.ZB+ZBCD=90°,：.ZA=ZBCD,

RD3

sinZBCD=——=-,

BC5

・・.BD=—

5f

7

・・.DF=BF-BD=-,

5

•:NFDE=/BCE,NB=/BCE,

：.ZFDE=ZB,：.DE//BC,

：・>FDEs>FBC,

DEDF

BCBF

42

DE=——.

25

【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌

握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质.

考点2.含三角函数的问题

1.如图，△ABC中，以为直径的交8c于点E,AE平分/BAC,过点E作EQ_LAC于点。，

延长DE交AB的延长线于点P.

（1）求证：PE是。。的切线；

【答案】（1）证明过程见解答；（2）。的长为名.

3

【解析】（1）证明：如图，连接0E,

平分NBAC,

ZOAE=ZDAE,

'：OE=OA,

：.ZOEA^ZOAE,

：.ZDAE=ZOEA,

：.OE//AD,

'：ED±AC,

：.OE±PD,

是。。的半径，

是。。的切线；

(2)解：：sinNp=』=典，8尸=4,OB=OE,

sin—r3OP

.QE_1

"OE+4T

：.OE=2,

：.AB=2OE=4,

：.AP=AB+BP=8,

在RtZ\APD中，sinZP=—=

AP3

.\AD=^AP=^-,

33

「AB为O。的直径，

ZA£B=90°=ZAEC,

：AE平分NBAC,

：.ZBAE=ZCAE,

"：AE=AE,

：.AAEB^AAEC(ASA),

：.AB=AC=4,

考点3.创新型的问题

1.为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材

由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相

切于点C,推杆A3与铅垂线AD的夹角为/B4D点。A,B,C,，在同一平面内.当推杆A3与铁环

0°相切于点6时，手上的力量通过切点6传递到铁环上，会有较好的启动效果.

⑴求证：ZBOC+ZBAD^90°.

(2)实践中发现，切点6只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点6是该区域内

最低位置，此时点A距地面的距离AD最小,测得ABAD=60°.已知铁环QO